几种GPS高程拟合方法的分析与比较

李和旺

摘 要：文章论述了几种常用的GPS高程拟合的方法，并在MATLAB中编制了相应的程序，建立了相应的GPS高程拟合模型，并通过实例数据进行建模分析，对比各方法的拟合结果的精度高低，得出了一些有益结论。

关键词：GPS；高程拟合；高程异常

1 概述

GPS高程测量具有劳动强度小、工作效率高、高程误差不累积等优点，但测得的高程不能直接用于生产实践中，对于GPS高程应用的不便性，国内外学者给予了普遍的关注。GPS高程转换是GPS应用研究领域的一个难点问题，也是GPS应用研究的热点问题。为了提高GPS高程转换的精度，国内外许多学者在GPS高程转换方法上进行了深入的研究，提出了很多种拟合方法[1-2]，以便使GPS高程能够更广泛的应用到测量领域，充分发挥GPS高程测量的优越性。

文章主要探讨多项式曲线拟合法、样条曲线拟合、平面函数拟合法、二次曲面拟合法、多面函数法等方法[3]在GPS高程拟合中的运用，并通过实例数据进行分析比较，对比各方法的精度高低，得出了一些有益结论。

2 GPS高程拟合方法

2.1 多项式曲线拟合

若将坐标系转换成与测线x方向重合，与测线y方向垂直，则设高程异常值 和坐标x间存在下列函数关系：

（1）

已知点的高程异常和拟合得到的高程异常之差： ；

根据最小二乘原理，在？撞Ri2=min条件下求解各参数ai，然后利用（1）式求出各点的高程异常 ，从而求出各点的正常高。

2.2 二次曲面拟合法

二次曲面拟合法的数学模型为：

（2）

式中，x，y分别为点的纵、横坐标；a0，a1…a5为拟合系数。

由（2）式可知，二次曲面方程有6个待定系数a0，a1…a5，至少需要6个已知点才能进行计算。若已知点的个数为6个，可求出系数a0，a1…a5；若已知点的个数大于6个，系数a0，a1…a5由已知点通过最小二乘原理VTPV=min求得。

假设已知点点数为n，由（2）式可列误差方程：

（3）

表示成总误差方程形式：

V=BX-L （4）

式中，V=[v1，v2…vn]T； ；

X=[a0，a1，a2，a3，a4，a5]T；L=[？孜1，？孜2，…，？孜n]T。

由最小二乘原理VTPV=min，得到解为：

X=（BTB）-1BTL （5）

式中，V为改正数向量；L为高程异常值向量；X为拟合系数向量；B为系数矩阵。由此即可获得似大地水准面二次曲面拟合模型。

求得a0，a1，…a5后，即可根据点位的平面坐标利用（2）式子计算出待求点的高程异常 ，再利用GPS观测的大地高减去求出的高程异常 得到正常高[5]。

3 GPS高程拟合的精度评定

对拟合后的结果要进行精度评定，鉴于样本中既有拟合点又有检核点，一般采用内符合精度指标？滋1和外符合精度指标？滋2來评价拟合结果的好坏。

（6）

（7）

其中，v1为拟合高程异常的残差，n1为拟合计算点的个数，v2为拟合外推高程异常的残差，n2为拟合外推计算点的个数。内、外符合精度越小，表明拟合和预测的精度越高；反之，则说明拟合和预测的精度越差。

4 算例分析

某沿江地形平缓区域的GPS控制网共有无粗差且精度相同的水准点17个，平均边长约1km，区域面积约10km2，按国家GPS网B级要求施测，采用二等水准联测各GPS点，即：17点每个点都获取了平面位置和高程异常[7]。

为了消除点位分布因素的影响，选择均匀分布在整个测区内的8个点作为拟合点，剩下的9个点作为检核样本点。

用matlab编程建立模型，采用多项式拟合、三次样条曲线拟合、平面拟合、二次曲面拟合、多面函数拟合法进行GPS高程拟合，拟合结果见表1。

表1 几种拟合方法的结果比较

由表1可以看出，多面函数拟合的精度为2.0mm，二次曲面拟合的精度是1.8mm，这两种方法的精度都很高，平面拟合的内、外符合精度分别为2.4mm和4.1mm，其拟合精度也较高，三次样条曲线的的精度较差，多项式拟合的拟合精度稍高。

为了更好地对比这几种方法的拟合效果，作出了这几种方法的残差序列对比图，见图1。

图1 几种拟合方法拟合残差序列

从图1可以看出：二次曲面拟合、多面函数拟合、平面拟合残差震荡小、变化比较平稳，多项式拟合、三次样条曲线拟合的残差变化上下起伏较大。

5 结束语

通过对实验结果的分析，在较小范围的地势平坦的区域，可得到如下的结论：（1）与平面拟合相比，多面函数拟合不是利用单纯的平面或曲面拟合，而是利用多个曲面逼近似大地水准面，拟合的精度较高。（2）平面拟合、二次曲面拟合、多面函数拟合都比三次样条曲线拟合的精度高，是因为测区不是呈线状分布的，还有三次样条曲线拟合区域似大地水准面只考虑一个方向。（3）平面拟合、二次曲面拟合、多面函数拟合都比多项式拟合精度高。因为多项式拟合适用于线状分布的区域，而试验一中区域是呈面状分布的。

参考文献

[1]王旭，刘文生.GPS高程拟合方法的研究[J].测绘科学，2010，35：28-30.

[2]杨江波，李为乐，余代俊，等.GPS高程拟合方法的实验研究[J].测绘科学，2009，34（3）：54-57.

[3]乔仰文，等.GPS高程转换的若干问题的研究[J].测绘通报，1999（11）：17-19.

[4]胡永刚，武文波，刘利君.GPS水准高程拟合模型在线状工程中的研究及应用[J].测绘科学，2009，34（4）：203-205.

[5]高原，张恒 ，赵春江.多项式曲面模型在GPS高程拟合中的应用[J].测绘科学，2011，36（5）：179-181.

[6]Hardy RL.The application of multi quadraic equations and point mass anomaly models to crustal movement studies[J].NOAA Technical Report NOS，1978，76（11）.

[7]胡伍生，高成发.GPS测量原理及其应用[M].北京：人民交通出版社，2004.