参考答案（三）

1 直线方程、两直线的位置关系

1. D 设直线l的方程为y-2=k（x-1），其在x轴上的截距为1- . 令-3<1- <3，解不等式可得k> 或k<-1.

2. D 当O落在C时折痕所在直线的斜率为k=0；当O落在B时折痕所在直线的斜率为k=- =- =-2？圯-2≤k≤0.

3. D 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图12所示，则A（0，0），B（4，0），C（0，4）. 设△ABC的重心为D，则点D的坐标为 ， . 设点P的坐标为（m，0），则点P关于y轴的对称点为P1（-m，0）. 因为直线BC的方程为x+y-4=0，所以点P关于直线BC的对称点为P2（4，4-m）. 根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，所以k =k ，即 = ，解得m= 或m=0. 当m=0时，P点与A点重合，故舍去. 所以m= .

图12

2 圆的方程

1. （x-1）2+（y+4）2=8 由已知，过点P且与直线l垂直的直线方程为y=x-5，由圆的几何性质可知圆心为直线y=x-5与y=-4x的交点，即圆心坐标为A（1，-4），故半径为点A到直线x+y-1=0的距离，即r= =2 . 故圆的方程为（x-1）2+（y+4）2=8.

2. （x-2）2+（y-2）2=10 l是线段PP′的垂直平分线，其方程为y- =x- ，即x-y-1=0. 设圆C：（x-3）2+（y-1）2=10关于直线l对称的圆C′的方程为（x-a）2+（y-b）2=10，则点（3，1）与（a，b）关于直线l对称，于是由 =-1， - -1=0，解得a=2，b=2.所以圆C′的方程为（x-2）2+（y-2）2=10.

3 直线与圆、圆与圆的位置关系

1. D 将y=3- 变形为（x-2）2+（y-3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3），表示以（2，3）为圆心，2为半径的下半圆，如图13所示. 若直线y=x+b与曲线y=3- 有公共点，只需直线y=x+b在图中的两条直线之间（包括图中的两条直线）.

y=x+b与下半圆相切时，圆心到直线y=x+b的距离为2，即 =2，解得b=1-2 或b=1+2 （舍去）.

所以b的取值范围为1-2 ≤b≤3. 故选D.

图13

2. 3 根据两圆相交的性质可知，两点（1，3）和（m，-1）的中点 ，1在直线x-y+c=0上，并且过两点的直线与x-y+c=0垂直，故有 -1+c=0， ×1=-1，解得m=5，c=-2，所以m+c=3.

3. （1）曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点为（0，1），（3±2 ，0）. 故可设圆C的圆心的坐标为（3，t），则有32+（t-1）2=（2 ）2+t2，解得t=1. 则圆C的半径为 =3，所以圆C的方程为（x-3）2+（y-1）2=9.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组x-y+a=0，（x-3）2+（y-1）2=9，消去y得到方程2x2+（2a-8）x+a2-2a+1=0. 由已知可得判别式Δ=56-16a-4a2>0.

由根与系数的关系可得x1+x2=4-a，x1x2= ①.

由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0. 又y1=x1+a，y2=x2+a，所以2x1x2+a（x1+x2）+a2=0 ②.

由①②可得a=-1，满足Δ>0，故a=-1.

4 圆锥曲线的概念及性质

1. C 设A是双曲线的右焦点，由 = （ + ）可知，点E是线段FP的中点.

又点O是FA的中点，所以OE∥PA，且PA=2OE=a.再根据双曲线的定义可知，PF-PA=2a，可得PF=3a，所以在直角三角形PFA中，有（3a）2+a2=（2c）2，对该式化简可得e= .

2. 15 PF1+PF2=10，PF1=10-PF2，PM+PF1=10+PM-PF2，易知点M在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P，此时PM-PF2取最大值MF2，故PM+PF1的最大值为10+MF2=10+ =15.

5 圆锥曲线的方程

1. + =1 设椭圆的标准方程为 + =1（a>b>0），由题可知，OF=c，OB=b，所以BF=a.

因为∠OFB= ，所以 = ，a=2b.

所以S△ABF= ·AF·BO= （a-c）·b= （2b- b）b=2- ，得b2=2，b= . 所以a=2 ，所以椭圆的方程为 + =1.

2. y2=3x 如图14，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1.

图14

由抛物线的定义知，AF=AA1，BF=BB1. 因为BC=2BF，所以BC=2BB1，所以∠BCB1=30°，所以∠A1AF=60°. 连结A1F，则△A1AF为等边三角形. 过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于N，则NF=A1F1= AA1= AF，即p= ，所以抛物线的方程为y2=3x.

6 直线与圆锥曲线的位置关系

（1）由题意知， = ，b=1，c2+b2=a2，解得a=2，b=1，c= . 所以椭圆C的方程为 +y2=1，圆O的方程为x2+y2=1.

（2）（i）设P（x0，y0），因为l1⊥l2，则d +d =PM2=x +（y0-1）2. 因为 +y =1，所以d +d =4-4y +（y0-1）2= -3y0+ + . 又-1≤y ≤1，故当y = - 时，d +d 取得最大值 .

（ii）设直线l1的方程为y=kx+1，由y=kx+1，x2+y2=1解得A- ， ；由y=kx+1， +y2=1解得C- ， . 把A，C中的k置换成- 可得B ， ，D ， ，所以 =- ， ， - ， ， = ， ， = ， . 由3 · =4 · 得 = ，解得k=± . 所以l1的方程为y= x+1，l2的方程为y= - x+1；或l1的方程为y=- x+1，l2的方程为y= x+1.

7 圆锥曲线与其他知识交汇

点（0，b）到直线x-2y-a=0的距离为d= = ×（a+2b）× + = ×3+ + ≥ ×（3+2 ）= ，当且仅当a2=2b2，a+b=ab，即a=1+ ，b= 时取等号. 所以点（0，b）到直线x-2y-a=0的距离的最小值为 .

8 圆锥曲线中的探索性问题

1. （1） + =1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）.

因为 =λ ，所以（x1，y1-y0）=λ（1-x1，-y1），所以λ= ，同理，μ= .

所以λ+μ= + = .

联立l：y=k（x-1）3x2+4y2-12=0 得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，所以x1+x2= ，x1x2= .

所以x1+x2-2x1x2= -2× = ，

x1x2-x1-x2+1= - +1= .

所以λ+μ=- =- .

（3）当l⊥x轴时，易得AE与BD的交点为FK的中点P ，0.

下面证明：BD过定点P ，0.

B，D，P共线？圳kBP=kDP？圳 = ？圳 y2=x2y1- y1？圳3y2=2x2y1-5y1？圳3k（x2-1）=2x2k（x1-1）-5k（x1-1）？圳2kx1x2-5k（x1+x2）+8k=0？圳2k· -5k· +8k=0？圳2k（4k2-12）-40k3+8k（4k2+3）=0成立. 得证.

同理，AE过定点P ，0，所以直线AE与BD相交于一定点 ，0.

2. （1）设l：x=my+2（m∈R），设点A，B，D，E的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），联立直线l与抛物线C2的方程并消去x得y2-4my-8=0. 由判别式Δ=16m2+32>0对任意m∈R恒成立，故y +y =4m，y y =-8. 所以 · =x1x2+y y = · +y1y2= +y y =-4<0，所以∠AOB为钝角，即∠DOE为钝角，所以点O在以DE为直径的圆的内部.

（2）设∠AOB=∠DOE=α，则 = = . 设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，由弦长公式可得OA= y ，OD= y ，OB= ·y ，OE= y ，所以 = ，即 = ①.

又由O，D，A三点共线得 = ，且x1= ，x =41- ，所以y = ，同理y = ，代入①得 = ，再由韦达定理代入并整理得 = ≥ ，即 ≥ >3，所以不存在直线l使S2=3S1.

综合测试

1. B 设P（x，y），由PA=2PB，得 =2 ，整理得x2-4x+y2=0，即（x-2）2+y2=4，故S=4π.

2. B 由题意可知向量 的模是不变的，所以当 与 同向时 + 最大，结合图形可知， + max= +1= +1=3.

3. D 两圆圆心之间的距离d= . 因为θ为锐角，所以0

4. C 不妨设F1为椭圆的左焦点，F2为椭圆的右焦点.

过点M作x轴的垂线，交x轴于N点，则N点的坐标为 ，0，并设 =2 =2 =2t，根据勾股定理可知， 2- 2= 2- 2，得到c= t，而a= ，则e= = .

5. D 由题意可知k≠0，设直线AB的方程为x= y+2，与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB的方程与抛物线的方程联立得ky2-8y-16k=0，y +y = ，y y =-16. · =（x1+2）（x2+2）+（y1-2）（y2-2）= +2· +2+（y -2）（y -2）=0，整理并结合y +y = ，y y =-16得k2-4k+4=0，解得k=2.

6. -∞，- ∪ ，+∞ 直线l的方程为y=kx-1，即kx-y-1=0，则由题意得d= ≤2 ，即k2≥ ，解得k≤- 或k≥ .

7. （0，2） 设Q（t，-2），A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线方程变为y= x2，则y′= x，则在点A处的切线方程为y-y1= x1（x-x1），化简得y= x1x-y1；同理，在点B处的切线方程为y= x2x-y2. 又点Q（t，-2）的坐标满足这两个方程，代入得-2= x1t-y1，-2= x2t-y2，则说明A（x1，y1），B（x2，y2）都满足方程-2= xt-y，即直线AB的方程为y-2= tx，因此直线AB恒过定点（0，2）.

8. 3+ 依题意得圆x2+y2+kx=0的圆心- ，0位于直线x-y-1=0上，于是有- -1=0，即k=-2，因此该圆圆心的坐标是（1，0），半径是1.

由题意可得AB=2 ，直线AB的方程是 + =1，即x-y+2=0，圆心（1，0）到直线AB的距离等于 = ，点P到直线AB的距离的最大值是 +1，所以△PAB面积的最大值为 ×2 × =3+ .

9. （1）设M（x1，y1），N（x2，y2），F（c，0），则 =（c-x1，-y1）， =（x2-c，y2）.

当λ=1时， = ，所以-y1=y2，x1+x2=2c.

因为M，N两点在椭圆C上，所以x21=a21- ，x22=a21- ，所以x21=x22.

若x1=-x2，则x1+x2=0≠2c（舍去）， 所以x1=x2.

所以 =（0，2y2）， =（c+4，0），所以 · =0，所以 ⊥ .

（2）当λ=1时，由（1）知x1=x2=c，所以Mc， ，Nc，- ，

所以 =c+4， ， =c+4，- ，所以 · =（c+4）2- = . （？鄢）

因为 = ，所以a2= c2，b2= ，代入（？鄢）式得 c2+8c+16= ，

所以c=2或c=- （舍去）.

所以a2=6，b2=2，所以椭圆C的方程为 + =1.

10. （1）当t=3时，PQ的中点为（0，3），所以b=3. 又椭圆的焦点为F1（-4，0），F2（4，0），所以c=4，a2=b2+c2=25，所以椭圆的标准方程为 + =1.

（2）因为Q在直线AF2： + =1上，所以Q4- ，t. 由P与Q关于y轴对称，得P -4，t；又由QR∥AF1，得R（4-t，0）.

设△PRF1的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有

16-4D+F=0，（4-t）2+（4-t）D+F=0， -4 +t2+ -4 D+tE+F=0， 解得D=t，E=4- t，F=4（t-4），所以该圆的圆心C- ， t-2满足7×- +4 t-2+8=8-8=0，即圆心C在直线7x+4y+8=0上.

11. （1）由题意，知 = ，所以a2=2c2. 又2 =2b，得b=1，a= . 所以曲线C2的方程为y=x2-1，椭圆C1的方程为 +y2=1.

（2）设直线AB：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知M（0，-1）. 联立方程组y=kx，y=x2-1？圯x2-kx-1=0， · =（x1，y1+1）·（x2，y2+1）=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=-（1+k2）+k2+1=0，所以MA⊥MB.

（3）设直线MA：y=k1x-1，MB：y=k2x-1，k1k2=-1，M（0，-1），由y=k1x-1，y=x2-1解得x=0，y=-1或x=k1，y=k21-1，所以A（k1，k21-1）.

同理，可得B（k2，k22-1）.

故S1= MA·MB= · k1k2.

联立y=k1x-1， +y2=1，解得x=0，y=-1或x= ，y= ，所以D ， .

同理，可得E ， . 故S2= MD·ME= · · ，

所以， =λ= = ≥ .

所以λ的取值范围是 ，+∞.

12. （1）由题意知，椭圆的离心率e= = ，所以e2= = = ，即a2=2b2.

又△EGF2的周长为4 ，即4a=4 ，所以a2=2，b2=1.所以椭圆C的方程为 +y2=1.

（2）由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0.

设直线AB的方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）.

联立y=k（x-2）， +y2=1，可得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0.

由Δ=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）>0，得k2< .x1+x2= ，x1x2= .

因为 + =t ，所以（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），x= = ，y= = [k（x1+x2）-4k]= .

因为点P在椭圆C上，所以 +2 =2，所以16k2=t2（1+2k2）.

因为 - < ，所以可得 x1-x2< ，所以（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]< ，所以（1+k2）· -4· < ，所以（4k2-1）（14k2+13）>0，所以k2> .

所以

因为16k2=t2（1+2k2），所以t2= =8- .

又 <1+2k2<2，所以

所以实数t的取值范围为-2，- ∪ ，2.