取象于形，观照于心的初中数学顿悟教法应用

仲崇猛

[摘 要] 近年来，一些前沿教育工作者致力于培养学生的数学直觉能力，关注怎么样利用学生的直觉顿悟能力，使其增加数学知识，增强解题技巧. 然而数学的直觉与顿悟能力并非生而知之，这既需要学习者的数学知识系统为基础，也需要教授者在教学实践过程中随时加以指导性训练. 指导性训练方法有很多，其中直觉感知应用、错题分析理解、知识层面拓展等方法因其操作简便，较值得重视.

[关键词] 顿悟；教法；应用顿悟指的在偶然间寻求到问题的处理办法，中国禅宗的顿悟侧重于哲学思想，而现代意义上的顿悟思维则起源于格式塔心理学家代表者库勒，其对黑猩猩学习问题进行研究，从而提出观点：动物（包括人类在内）解决陌生问题实际上是顿悟的过程. 库勒将学习给予“知觉接纳重组”的解释，该解释是库勒为格式塔心理学所做的最大研究贡献. 按照库勒的观点，顿悟是对一种新研究对象的直接洞察，它侧重于直觉悟性，不用或者少用逻辑推理，具有非常明显的临时非预期效果，其认识过程充溢着模糊性、跳跃性及独创性. 从表面上看来，数学知识的逻辑性强、思维过程清晰，并不适用于顿悟思维，而实际上，顿悟思维的产生与应用恰恰可以使学生的数学认知阻碍得到瞬间破解，从而利于发现数学情境里面各组因果关系的真正含义，达到准确快速处理问题的效果. 因此，笔者认为教师应当认识到学生顿悟思维应用的作用，采取合理手段使其功能最大限度地发挥出来.

从直觉感知能力中提炼顿悟精神

关注并加强学习者对于直觉思维的感知应用能力，可以让学生在直觉思维的带领下领悟到顿悟精神的妙处. 在初中阶段，学生思维正处在相对活跃状态，对于外界刺激容易感知. 因此在数学课堂教学过程中，教师完全可以按照学生心理发展规律，直接针对其直觉感知能力予以训练，从而使学生可以更加深刻地了解并接受数学知识，更有效地处理陌生数学问题.

在初中数学阶段，求取三角形面积数值的问题对于学生而言是常见难题，有相当一部分学生会受到不同三角形形状、各边不同关系的困扰，从而对求取面积算法感觉茫然. 此时教师便可以从增强学生三角形感知能力着手，借助三角形稳定性这一主要特征，使其变换形状，从而增强学生的认识把握能力. 例如：△ABC中，G为重心，D，E，F分别为BC，AC，AB三条边的中点，且AG=6 cm，BG=8 cm，CG=10 cm，求△ABC的面积.

在本题里面，并未说明△ABC各边长，而仅仅给出各边中点及中线之长. 但是题中已经给出的三个数据6、8、10则极容易使我们联想到勾股定理. 因此，教师可以利用改变三角形形状的办法给学生提供增强直觉感知能力的机会：若是用题目里面已知条件新建一个各边长度分别是6 cm、8 cm、10 cm的三角形，那么问题便会很快得到解决.

这样，教师出于增强学生的直觉感知能力的目的，借助勾股定理刺激顿悟，将重心G定为基本出发点，将GD向前延伸至点H，带领学生构建一个新直角三角形△HDC，按照△GDB≌△HDC，即可以得到结论：HC=BG=8 cm，从而了解到△GHC亦为直角三角形，也就是说△GHC面积是△ABC的，因此△ABC面积便可得到.

总之，教师应当按照学生既有思维习惯，将复杂问题简单化，带领学生将思维认知层次循序渐进地发展上去，从直觉思维里面寻求顿悟能力的根本精神.

从病题诊断过程中规避定势思维

从病题诊断过程中除了可以离误向正，同样可以离开定式思维，发展发散思维，这是思维顿悟目标的良好导引渠道. 学生在处理问题过程中经常因为错用概念、定理、性质等，得到一些谬误结论. 为了让学生同时避免错误与思维定式，教师可对学生易犯错误结论予以诊断，从而使学生顿悟思维进一步成为可能.

如图1：试证圆内接四边形对角成互补.

[D][A][B][C]

图1

错误形式如下：如图1所示，矩形ABCD为圆内接四边形，其内角均为直角，也就是∠A=∠B=∠C=∠D=90°，因此∠A+∠C=∠B+∠D=180°，也就是圆内接四边形对角呈互补状态.

该题误证过程极具典型性，教师带领学生诊断错误类型、原因，学生极容易走向正确思维途径，从而避免思维定式的复现.

对于极容易出现错误的问题，教师平时即应当多加留意，随时提供到学生面前，这就是所谓的诱发性问题，这类问题在使学生“犯错”的过程中启发顿悟，也利于思维缜密性的提升. 接下来再以一个教学课前导入片段加以展示：

T：将3做底，将1做腰，能不能构成三角形？

S：不能.

T：等腰三角形的一条边是4 cm，另一条边是5 cm，那么其周长为多少？

S：14（也有学生回答13）.

T：在以4做底时，其周长为14 cm，在以5做底时，其周长是13 cm，这道题有两种解法.

S：（顿悟）.

T：等腰三角形其中一个边是4，另个一边是9，求其周长.

S：17或者22.

T：一个边是4，另个一边是9，能形成三角形么？

S：（顿悟）.

在类似的教学中，教师故布疑阵，诱导学生出错，从而使学生在错中顿悟，亦不失为一种良好思维启发方法.

从知识层面拓展中培养创新思维

在数学课堂上，教材里面所给出的公式及例题对于学生知识提升、思维启发都具有重要意义. 当学生接触了最基本的公式之后，教师需要给学生提供听讲典型例题的机会，使学生得以探索挖掘，进入到思维的深层次，从而加深基础知识记忆. 与此同时，教师也应将新知识同旧知识结合起来，教材同课外习题结合起来，以便在巩固学生既有课堂基础知识的前提下，引导学生进行联想思维的应用，使学生思维得以在拓展中创新，在创新中顿悟.

例如，对于初中学生来说，函数通常不易掌握，很多学生找不到函数及其关系图形的共通点，这就会使得貌似简单的函数式无法在坐标图形里面正常表达出来. 比如已经知道一次函数：y=3x-1和y=-3x+5，现请给出两个函数处于坐标轴里面的交点. 教师在带领学生处理此问题时，勿须急于给学生提供解题思路与解题答案，而是要带领学生从思维体系中已有内容出发，寻求到不同的解决途径. 两个一次函数处于坐标轴里面的图象均为直线，按照“平面内直线若不平行即为相交”的基本原则，可以将这两个函数构成一个方程组求解，交点便自然得到. 在该问题里面，教师亦可以指导学生尝试画图，利用亲身的观察与实践，得到交点也不是难事.

总之，在本问题中，理解知识内容本身固然重要，同时指导学生运用函数知识将已经掌握的方程式加以关联，亦是训练发散思维，从而增强顿悟能力的一种方法，可以让学生在上下求索的过程中迅速找到思维的适应点，从而达到灵光乍现的理想状态.

从大胆推测猜想中激发顿悟潜能

获取顿悟思维是一个长期的过程，而教师指导获取顿悟同样不是短时期的事，逐步引导才能使其深化顿悟思维，继而形成处理问题的灵感. 当学生已经初步具备顿悟的灵感以后，教师即要给学生提供尝试顿悟的机会，最好的办法是让学生在问题面前大胆推测猜想，从而寻求到可能存在的内部规律. 初中数学教学内容中，相同数学表面特征通常包含着相似本质特征，学生从条件、结论等的外表形象，很多时候都可以猜测到已经熟知的定理、图形等，从而给解题提供便利.

例如此题：若某流水线上有按照顺序排列的n台机床，怎样寻求零件供应站点P，以便让点P至n台机床的距离和最小？

该问题的不易解答之处在于：n值并不确定，因此解法同样不容易得到. 所以教师可以鼓励学生利用猜想具体值的办法求解：当n为2时，点P当处何处？当n为3时，点P应处何处？n为4、为5，甚至更大数值呢？利用推测的特殊情况，可以得到什么样的规律，并可以做哪些进一步猜想？这是学生需要继续解答的问题，加以深入思考，柳暗花明只在眼前.

数学猜想属于探索思维的一种，它和数学灵感也就是顿悟思维的关系非常密切，所以波利亚才说过：先猜后证对于数学问题的解决永不过时. 我们也可以说，先猜后解，对于培养顿悟思维永不过时.

总 结

对于初中数学教师而言，应该了解到：学生头脑并不是空白的纸面，他们对于知识的吸纳与接收往往要参照既有经验及信息，在两相比照的过程中分析其合理性. 因此教师需要在了解学生既有知识储备及思维习惯的前提下建构合情、合理的课堂结构体系，充分利用猜测推想、错题分析、知识拓展等方法，有意识地锤炼学生思维、破解学生困惑，从而促进学生顿悟能力的形成，惟其如此，方能收到事半而功倍的良好教学效果.