几类广义逆矩阵的关系及其应用

几类广义逆矩阵的关系及其应用*

周玉兴1，涂火年2

(1.广西师范学院师园学院，广西 南宁 530226;2.广西财经学院

信息与统计学院，广西 南宁 530003)

摘要：运用满足消去律的几个矩阵方程，研究广义逆矩阵(AA*)(1)，(A*A)(1)，A{1，2，3}和A{1，2，4}的关系，得到若干新的结果.

关键词：广义逆；消去律；矩阵；关系；应用

文章编号：1007-2985(2015)01-0011-03

中图分类号：O153.3 文献标志码：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.01.004

收稿日期：*2014-05-31

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11161004)；广西自然科学基金资助项目(2013GXNSFAA019008)

作者简介：周玉兴(1973—)，男(壮族)，广西邕宁人，广西师范学院师园学院讲师，硕士，主要从事数值代数和矩阵研究.

doi自1955年著名学者Penrose给出伪逆pseunverses的代数定义以来，广义逆理论得到快速发展和完善[1-3].目前，广义逆理论已经渗透到矩阵理论、算子理论、C*代数、Banach代数和环论等领域.文献研究了矩阵的A{1，3}，A{1，4}及其应用.文献讨论并给出A{3}，A{4}和A{3，4}的通式.文献研究了A{1，3}，A{1，2，4}，A{1，3，4}和A{1，3，4}的通式.文献运用矩阵伪逆的一个等价定义，研究了矩阵A的自反广义逆、最小二乘广义逆、极小范数广义逆、Moore-Penrose、A{1，2，3}、A{1，2，4}及A{1，3，4}的一些相互关系.文献研究了A{1，3}+B{1，3}=(A+B){1，3}和 A{1，4}+B{1，4}=(A+B){1，4}成立的充要条件.

众所周知，矩阵方程不满足消去律.例如:若AB=AC，则未必有B=C.笔者根据由AA*=0推出A=0的性质，导出满足消去律的几个矩阵方程，然后应用它去研究广义逆矩阵(AA*)(1)，(A*A)(1)，A{1，2，3}和A{1，2，4}的关系，得到若干新的结果.

1相关定义及引理

定义1[1-3]设矩阵A∈Rm×n，若存在唯一矩阵X∈Rn×m满足下列方程，则称X为A的Moore-Penrose逆或伪逆，记作A+：

AXA=A，

(1)

XAX=X，

(2)

(AX)*=AX，

(3)

(XA)*=XA.

(4)

若X满足上述方程(1)，则称X为A的(1)逆，记作A(1).A(1)逆的全体记作A{1}.类似地，A(1，2)表示矩阵A的(1，2)逆；A(1，2，3)表示矩阵A的(1，2，3)逆.

引理1设矩阵Am×n，若AA*=0，则A=0.

证明因为A+=A+AA+=A+(AA+)*=A+A+*A*，所以A=(A+)+=(A+)+(A+)+*(A+)*=AA*A+*，即A=AA*A+*.从而由条件AA*=0得A=AA*A+*=0.

推论1(右消去律) (ⅰ)若BAA*=CAA*，则BA=CA;(ⅱ)若BA*A=CA*A，则BA*=CA*.

证明 (ⅰ)由BAA*=CAA*得(B-C)AA*=0，两端右乘(B-C)*得(B-C)AA*(B-C)*=(BA-CA)(BA-CA)*=0.由引理1得BA-CA=0，即BA=CA.

(ⅱ)证法同(ⅰ).

推论2(左消去律)(ⅰ)若A*AB=A*AC，则AB=AC;(ⅱ)若AA*B=AA*C，则A*B=A*C.

证明(ⅰ)由A*AB=A*AC两端取转置得B*A*A=C*A*A.由推论1得B*A*=C*A*，两端取转置得AB=AC.

(ⅱ)证法同(ⅰ).

2主要结果

为了避免混淆及书写简便，下面将(AA*)(1)记作(AA*)g1，(A*A)(1)记作(A*A)g1.

定理1若H∈A*(AA*)g1，则H∈A{1，2，4}.

证明设G=(AA*)g1，则H∈A*G.由G=(AA*)g1得AA*GAA*=AA*，由推论1得AA*GA=A，即A*G=A(1).因此，H∈A{1}.由推论2得A*GAA*=A*，两端右乘G得A*GAA*G=A*G，即A*G=A(2).因此，H∈A{2}.又因为A*G*A=A*G*(AA*GA)=A*G*AA*GA，而A*G*AA*GA是Hermitian的，所以A*G*A是Hermitian的，即(A*G*A)*=A*G*A.而A*GA=(A*G*A)*=A*G*A.因为A*G*A是Hermitian的，所以A*GA也是Hermitian的，即(A*GA)*=A*GA，故A*G=A(4).因此，H∈A{4}.综上所述，H∈A{1，2，4}.

定理2若Q∈(A*A)g1A*，则Q∈A{1，2，3}.

证明设P=(A*A)g1，则Q∈PA*.由P=(A*A)g1得A*APA*A=A*A，由推论2得APA*A=A，即PA*=A(1).因此，Q∈A{1}.由推论1得A*APA*=A*，两端左乘P得PA*APA*=PA*，即PA*=A(2).因此，Q∈A{2}.又因为AP*A*=(APA*A)P*A*=APA*AP*A*，而APA*AP*A*是Hermitian的，所以AP*A*是Hermitian的，即(AP*A*)*=AP*A*.又因为APA*=(AP*A*)*=AP*A*，所以APA*也是Hermitian的，即(APA*)*=APA*，即PA*=A(3).因此，Q∈A{3}.综上所述，Q∈A{1，2，3}.

定理3设G=(AA*)g1，P=(A*A)g1，则A+=A*GAPA*.

证明因为G=(AA*)g1，所以由定理1得AA*GA=A(A*GA)*=A*GA，又因为P=(A*A)g1，所以由定理2得APA*A=A，(APA*)*=APA*，于是

A(A*GAPA*)A=AA*G·APA*A=APA*A=A，

(A*GAPA*)A(A*GAPA*)= A*GAPA*AA*GAPA*=A*G·(APA*A)A*GAPA*=

A*GAA*GAPA*=A*G(AA*GA)PA*=A*GAPA*，

(AA*GAPA*)*=(APA*)*=APA*=(AA*GA)PA*=AA*GAPA*，

(A*GAPA*A)*=(A*GA)*=A*GA=A*GAPA*A.

满足Moore-Penrose逆4个条件，因此A+=A*GAPA*.

定理4设H∈A{1，2，4}，Q∈B{1，2，4}，则：(ⅰ)BH=0的充要条件是BA*=0;(ⅱ)AQ=0的充要条件是AB*=0.

证明(ⅰ)因为H∈A{1，2，4}，所以AHA=A，HAH=H，(HA)*=HA，故BH=BHAH=BH(AHA)H=B(HA)*(HA)*H=BA*H*A*H*H=B(AHA)*H*H=BA*H*H，即BH=BA*H*H.

“⟹”.由BH=0得BA*H*H=0.由推论1得BA*H*=0，两端右乘A*得BA*H*A*=0，即B(AHA)*=0.因此，BA*=0.

“⟸”.因为BH=BA*H*H，所以由BA*=0得BH=BA*H*H=0.

(ⅱ)因为Q∈B{1，2，4}，所以BQB=B，QBQ=Q，(QB)*=QB.于是，AQ=AQBQ=AQBQBQ=A(QB)*(QB)*Q=AB*Q*B*Q*Q=AB*(QBQ)*Q=AB*Q*Q.因此，AQ=AB*Q*Q.

“⟹”.由AQ=0得AB*Q*Q=0.由推论1得AB*Q*=0，两端右乘B*得AB*Q*B*=0，即A(BQB)*=0.因此，AB*=0.

“⟸”.因为AQ=AB*Q*Q，所以由AB*=0得AQ=AB*Q*Q=0.

定理5设P∈A{1，2，3}，M∈B{1，2，3}，则：(ⅰ)PB=0的充要条件是A*B=0;(ⅱ)MA=0的充要条件是B*A=0.

证明同定理4.

参考文献：

ADIBEN-ISRAEL，THOMASNEGREVILLE.GeneralizedInverses:TheoryandApplications.SecondEdition.NewYork:Springer-Verlag，2003.

何旭初，孙文瑜.广义逆矩阵引论.南京：江苏科技出版社，1990.

陈永林.广义逆矩阵的理论与方法.南京：南京师范大学出版社，2005.

朱超，曹丽琼，陈果良.几类广义逆矩阵的若干性质.华东师范大学学报：自然科学版，2006，5(3):26-31.

何楚宁.广义逆A{3}和A{4}的通式.湖南工业大学学报：自然科学版，2008，22(5):5-6.

吴大伟，张永康.关于广义逆的唯一性问题.南京师大学报：自然科学版，2001，24(4):16-19.

周玉兴.矩阵伪逆的一个等价定义及其应用.江南大学学报：自然科学版，2014，13(3):371-373.

XIONG Zhiping，QIN Yingying，ZHENG Bing.The Least Squaresg-Inverses for Sum of Matrices.Linear and Multilinear Algebra，2013，61:448-462.

Relations Between Kinds of Generalized Inverse

Matrices and the Application

ZHOU Yuxing1，TU Huonian2

(1.College of Shiyuan，Guangxi Teachers’ Education University，Nanning 530226，Guangxi China;2.College of Information and

Statistics，Guangxi University of Finance and Economics，Nanning 530003，Guangxi China)

Abstract:Several matrix equations satisfying cancellation law are applied to study the relationship between the generalized inverse matrix (AA*)(1)，(A*A)(1)，A{1，2，3} and A{1，2，4}.Some new results are obtained.

Key words:generalized inverse;cancellation law;matrices;relation;application

(责任编辑向阳洁)