基于tCopula的一篮子信用违约互换定价模型

张茂军　赵雪妮

摘要为了刻画分布函数的厚尾特征和违约的传染性，构建了单因子tCopula模型，以此研究一篮子信用违约互换（BDS）的定价问题。依据风险中性定价原理和顺序统计量方法， 分别得到了第k次违约和n个参照实体中m个受保护的BDS价格的解析式.为了说明定价模型的有效性，用随机模拟方法分析了相应的数值算例.

关键词信用违约互换；顺序统计量；tCopula方法；随机模拟

中图分类号F380 文献标识码A

AbstractThe one factor tCopula model was established to depict the fattail feature of the distribution and default contagion in order to research the pricing of the basket default swaps （BDS）. The closed solutions of prices at the kth default and m out of n reference entities in BDS were obtained using the riskneutral pricing principle and the method for order statistics. Moreover， some numerical examples were analyzed to indicate the effectiveness of the pricing model in terms of the stochastic simulation method.

Key wordscredit default swaps； order statistics； tCopula method； stochastic simulation

1引言

2008年美国次贷危机揭露了信用风险是金融体系中一类非常重要的系统性风险.公司违约风险相互传导使得投资者经常面临着多重违约风险.一篮子信用违约互换（Basket Default Swap，简称为BDS）是针对多个公司发生违约事件的保险合约.银行等机构投资者可以利用BDS对冲债券等标的资产的信用风险.而如何确定BDS的价格是投资者非常关心的问题，尤其是计算BDS中参照实体的联合违约概率.人们经常用信用风险模型计算违约概率，这些模型主要分为结构化模型和简约模型.结构化模型是以Merton1的期权定价理论为基础，假设公司资本结构由资产和负债两部分构成，如果公司资不抵债就发生违约.Zhou2假设参照实体的价值服从几何布朗运动，用首达结构模型研究了含有2个参照实体的BDS定价问题，得到了BDS价格的精确解.在简约模型中，违约由企业价值和外部环境决定，根据不同的违约强度过程计算违约概率.如Duffie3在违约强度模型的基础上，用随机模拟方法得到了参照实体首次违约时BDS的价格. Kijima 4在违约事件的发生是条件独立的假设下，采用了Vasicek强度过程得到了BDS价格的封闭解.然而，这两类信用风险模型适用于计算单个违约事件的分布函数，不太适合计算多个违约事件的联合分布函数，其原因在于用这两类模型得到的联合分布函数的表达式非常复杂，很难应用于实际的投资决策中.

Copula方法是计算联合分布函数的有效方法，已经在信用风险管理中得到了广泛应用.Li5首次利用高斯Copula 模型分析了债券组合的联合违约概率.Madan等6用单因子高斯Copula 模型为BDS的第k次违约进行定价.詹原瑞等7研究了基于Copula函数族的信用违约互换组合定价模型.Choe和Jang8在单因子正态Copula模型的基础上，利用顺序统计量研究了BDS定价.然而， Gapko和Smid9发现违约分布具有厚尾特征，学生t分布函数可以反映这种特征.Demarta 和McNeil10认为tCopula模型不仅可以刻画分布函数的厚尾特征和违约传染性，而且可以简化联合违约分布函数的计算复杂性.

因此，本文用单因子tCopula模型刻画参照实体违约分布的厚尾特征，进而研究BDS的两类定价问题，包括参照实体第k次违约时和n个参照实体中m个受保护时BDS的价格.并且用随机模拟方法分别给出两类BDS定价的数值算例，以此说明模型和方法的有效性.本文研究的主要贡献在于：其一、构建了为BDS定价的单因子tCopula模型，使以此模型得到的BDS的价格更能反映违约分布的厚尾特征，更加符合市场的实际情况；其二、提出了求解BDS价格的顺序统计量方法，简化了联合违约分布函数的公式，使得更加容易计算BDS的价格.

3一篮子信用违约互换定价

在BDS中有多个参照实体，它们违约的时间不同，因此依据参照实体违约时间的顺序，BDS的定价又可分为一次性保护违约互换的定价和多重保护违约互换的定价.前者规定互换的卖方只对参照实体的第k次违约支付补偿，而前k-1次违约并不支付补偿；而后者对所有第i（i≤k）次违约事件均提供补偿，参照实体出现一次违约事件后，合约不会终止，直到被保护的合约都违约后卖方才向买方提供损失补偿.如果参照实体的违约次数k等于参照实体的总数，则意味着互换的买方将信用风险转移给卖方.本文分别给出了一次性保护和多重保护的信用违约互换定价.为表达方便，变量定义如下：

5结论

信用违约互换是一类非常重要的信用衍生产品，为银行等金融机构提供了规避信用风险的有力工具.一篮子信用违约互换（BDS）中一个参照实体的违约可能引起其它参照实体的违约，而且违约时间的分布具有厚尾的特征.因此，为了描述这种厚尾现象.本文将单因子正态Copula模型推广到单因子tCopula模型，用t分布刻画厚尾现象.在单因子tCopula模型框架下，给出了违约时间的分布函数，进一步提出了用计算顺序统计量的方法得到了第k次违约时间的分布函数的显性表达式.然后根据风险中性定价原理，得到了第k次信用违约互换定价公式和n个参照实体中m个参照实体受保护的信用违约互换价格的解析式.最后，为了说明理论模型的有效性，分别进行了数值实例分析.本文的研究为计算BDS的理论价格提供了一种有效方法，有助于投资者对BDS实际价格进行预测和套期保值策略的分析.

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