关于正则条件概率的几点注记

王志明，魏文晶

(武汉科技大学理学院，湖北 武汉，430065)

关于正则条件概率的几点注记

王志明，魏文晶

(武汉科技大学理学院，湖北 武汉，430065)

本文证明了关于正则条件概率与正则条件期望的几个恒等式，并将所得结果应用到未必起始于固定点的Brown运动上，同时证明：一个Brown运动如果不起始于固定点而是起始于一个随机变量，则在关于初值的正则条件概率下，对于几乎所有的初值，该运动仍是Brown运动。

正则条件；正则条件概率；条件概率；条件期望；条件分布；Brown运动

条件概率和条件期望属于概率论中最基本的概念，是概率论区别于测度论的标志。虽然在初等概率论中关于条件概率与条件期望有明确的计算公式，但在一般测度论基础上，条件概率和条件期望是通过Radon-Nikodyn导数定义的，因此其非常抽象，难以进行具体计算，而这常常会带来许多理论及应用上的困难。但是在另一方面，条件概率和条件期望与无条件概率和期望又有着许多内在的联系，而这些联系可以提供很多有用的性质，为相关推理和计算带来方便。本文的研究目的就是探讨条件概率与条件期望的几点性质，并说明其应用。

1 相关概念

一般情况下，条件概率并不是真正意义上的概率，因为它一般不满足可列可加性，而条件期望也不能表示为条件概率的积分。为克服这一技术性困难，人们往往需要从条件概率中选择一个“好版本”，使其成为真正的概率——这就是正则条件概率。因此本文先引入相关概念。

给定x∈X，设ξ为非负随机变量，有

E[ξ|η]=f(η)

故本文定义

E[ξ|η=x]=f(x)

2 主要结果

P(x,dω)=P(dω|X=x)=Px(dω)

表示正则条件概率。再设

记

ν(dx)=P(X∈dx)

则对ν-a.e.x，有

证明：因为

但

于是

由于g是任意的，故

Ex[Y(ω)f(ω)]=Ex[Z(ω)f(ω)],ν-a.e.

(1)

对每一个n，由式(1)，可选An，使得ν(An)=0，且对任意x∉A有

Ex[Z(ω)fn(ω)]=Ex[Y(ω)fn(ω)]

Ex[Z(ω)fn(ω)]=

Ex[Y(ω)fn(ω)]，∀x∉A，∀n≥1

于是，对任意有界可测函数f，取{nk}使得

则由有界收敛定理，对x∉A，有

=Ex[Y(ω)f(ω)]

因此对任意x∉A，有

证毕。

对于给定σ-代数时的正则条件概率，本文得出以下结论。

但

由此得到所证结论。证毕。

3 推论及其应用

证明：本文只证明推论1中的结论(i)，结论 (ii)的证明类似。由Brown运动的Lévy定理[1-2]，对于s

再用一次Lévy定理即得到结论(i)。证毕。

在实际应用中，常常会遇到初值为随机变量的Brown运动与随机微分方程，这会给相关推理带来麻烦。但应用上述定理，则可以先固定变量初值，再根据推论1可知，在初值固定时的条件概率下，原先的Brown运动就变成了固定初值的Brown运动，而这会极大地简化计算和证明。例如，对于文献[3]中证明的固定初值时多值随机微分方程的大偏差原理，应用本文的结果就可以很方便地证明随机初值时类似的大偏差原理。同样，文献[4]中所证明的多值随机微分方程的存在唯一性也可推广到随机初值的情形。

下面进一步说明，在独立的条件下，正则条件概率下的分布与无条件概率下的分布相等。

证明:设F的特征函数为f，即对任意t∈R，有

由于ξ与η独立，故

E[eitξ|η]=E[eitξ]=f(t)

因此，由定理1，对ν-a.e.s，有

Es[eitξ]=f(t)

因此由特征函数的逆转公式知：ξ在Ps下的分布函数为F。证毕。

也可以从直观上来理解这个推论。假设一个人抛掷一枚硬币多次，每次之间是独立的。以η记得到第100次正面时抛掷的总次数，ξ记此后开始得到第200次正面时所需抛掷次数，则η和ξ是独立的。那么上述推论说明：无论假定η是多少，在给定η的条件下ξ的分布都是相同的。很显然，这样一个结论可应用到所有具有某种独立性的赌博游戏中。

[2] 黄志远.随机分析学基础[M].北京：科学出版社，2001: 117-118.

[3] Ren Jiagang, Wu Jing, Zhang Hua. General large deviations and functional iterated logarithm law for multivalued stochastic differential equations[J].Journal of Theoretical Probability，2015,28(2):550-586.

[4] Ren Jiagang, Wu Jing, Zhang Hua. On existence, uniqueness and convergence of multi-valued stochastic differential equations driven by continuous semimartingales[J]. Science China: Mathematics, 2014,57(3):589-607.

[责任编辑 尚 晶]

《武汉科技大学学报》2015年总目次

第38卷第1期

高磷赤铁矿采用CaCl2气化脱磷的试验研究

王 辉，邢宏伟，田铁磊，刘 帆(1)

高炉铸铁冷却壁结构优化

洪 军，左海滨，张建良，徐润生，沈 猛，铁金艳(5)

钛铁合金所含杂质对Ti-IF钢洁净度的影响

闫小柏， 包燕平，王 敏,林 路，李 翔(8)

旋转磁场对Zn-7Cu-0.25Mn合金水平连铸坯组织性能的影响

陈 飞，曹志强，曹安琪，李振宇，胡长青，李廷举(12)

热轧轧制计划的多目标优化模型及算法

贾树晋，李维刚，杜 斌(16)

用后镁碳砖基转炉终渣改质剂的配料优化

郑 万，任金琴，温正勇，许威威，冯学龙，郑永飞，刘 磊(23)

无烟煤配煤对焦炭质量的影响

周尽晖，丁 玲，王世杰，王海蓉(27)

基于有限元法的某型大学生方程式赛车车架优化设计

胡 溧，施耀贵，杨啟梁(31)

发动机激励下客车车身怠速振动仿真研究

袁 爽，杨啟梁，胡 溧，龚海清(35)

货车车轮与重载道岔曲尖轨的接触分析

江荷燕，张 军，张 铁(41)

机械手夹持机构运动与控制的联合仿真

李海斌，陈奎生，罗 洁(46)

不同弹体对高压气瓶的撞击性能分析

岳应娟，刘 备，秦忠宝，陈 飞(50)

面向返工量变化的产品设计过程分析与优化

容芷君，荣文谦，但斌斌，陈奎生(54)

低压配电网三相负荷不平衡优化模型的研究

张 明，谢珊珊，罗云峰(59)

基于ZigBee和GPRS的大气污染监测系统设计

梅志坚，马娅婕,肖凡男(63)

一种三阶曲率补偿带隙基准电压源的设计

张献中，张 涛(67)

一种运用随机算法改进的图像检索方法

卢艳君，徐望明(72)

赋权合作博弈中的可行联盟结构与收益分配

陈少白，张 嫚，胡朝娣(77)

第38卷第2期

添加合金元素对耐热铸铁显微组织和抗拉强度的影响

朱婷婷，刘 可，薛正良，邹 峰，熊 锐(81)

熔渣中铁离子的循环伏安分析

潘 元，高运明，杨创煌，姜亚龙，陈 则(85)

莱钢高炉合理渣系的研究

罗霞光，王习东(90)

一种新的铝电解质初晶温度实时测量方法

史 冬，高炳亮，王兆文(93)

随机分布纳米颗粒增强陶瓷基复合材料性能数值模拟分析

浦毅杰，罗冬梅，蔡 健(96)

水热合成单分散碳球的制备与表征

江学良，余 露，张 姣，孙 刚(101)

支持张量机在柴油机故障预测中的应用研究

许小伟，严运兵，王小辉(106)

柔性作业车间调度优化的改进模拟退火算法

李 俊,刘志雄,张 煜,贺晶晶(111)

水介质爆炸容器动力响应的数值模拟

钟冬望，黄小武，殷秀红，李琳娜，司剑峰(117)

露天矿微差爆破振动对多层建筑的影响

操 鹏，钟冬望，何 理，司剑峰，黄小武(122)

埋藏裂纹应力强度因子的有限元分析

岳应娟，李 宁，陈 飞，孙 钢(125)

基于大涡模拟的通海阀噪声分析

桂瞬丰，幸福堂，李群燕(129)

基于改进分水岭算法的球团矿图像分割

秦长泽，刘 琼(134)

基于无线传感网的图像监测系统的设计与实现

邓伯韬，孙 涛(138)

基于无标度网络的LDPC码的构造

李 谦，陈和平(143)

双色激光激励对空气中太赫兹辐射增强的研究

戴厚梅，孙 伟，汪东亮(148)

排污权交易的网上双边拍卖机制设计

王雅娟，殷志平(152)

基于PATTERN的土地整理潜力评价

唐荣彬，陈 勇，邵建平，岳 哲，张小倩，邵艳顺(157)

第38卷第3期

湍流抑制器对中间包钢液流动的影响

阮文康,包燕平,李怡宏,王 敏,田永华(161)

LF精炼过程中SAE8620钢所含MgO复合夹杂物分析

李文博，包燕平，王 敏(165)

热轧不锈钢复合板冲击性能研究

张心金,郭秀斌，孟庆领，何 毅,李萌蘖(169)

热处理条件对VO2粉体晶体结构和相变性能的影响

毕爱红，董奎义，朱金华(174)

伺服阀滑阀阀口系数影响因素分析

金晓宏，艾亚辉，黄 浩，杨 科(179)

偏心转角对飞剪剪刃位移差的影响分析

严国平(183)

基于Workbench的除尘管道流固耦合数值分析

黄 浩，李立民(186)

面向产品设计结构的聚类分层分析

容芷君，李 名，但斌斌，陈奎生(190)

干熄焦工艺对6 m焦炉焦炭质量的影响

周尽晖，丁 玲，韩 军，王世杰，王光辉(197)

小龙潭褐煤稠环芳烃的溶出与分析

闫 洁，肖 剑，丁 曼，窦有权，赵云鹏(200)

油页岩二硫化碳-丙酮混合溶剂萃取物的组成与结构分析

杨会朵，田由甲，赵云鹏，丁 曼，杨长娟(204)

岩体爆破损伤计算公式的改进

钟冬望，何 理，殷秀红(211)

爆破振动高程放大效应的试验研究

白 杨，段卫东，徐园园，蒋 培(216)

合闸策略对变压器励磁涌流零序分量的影响

王 琦(220)

基于高斯混合模型和卡尔曼滤波的车辆检测与跟踪方法

林立原，陈 林(226)

基于VP Studio和CASS的栅格地形图矢量化方法

王庆国，杨 建，李 阳，王沙沙(231)

具有交易成本的均值-绝对偏差模糊投资组合优化

张 鹏，舒燕菲(235)

第38卷第4期

不同强度级别帘线钢中Ti(CxN1-x)夹杂分析

余晨帆,薛正良(241)

利用电化学方法测定熔渣中Ni2+扩散系数

洪 川，高运明，杨创煌，张灿磊(245)

表调工艺参数对电镀锌板磷化膜微观形貌的影响

颜家保，杨 洋，俞丹青，范丽霞，杨成志，董 蓓(250)

热输入对Q420FRE钢焊接热影响区组织和力学性能的影响

许 可，吴开明，王红鸿，李 丽，覃展鹏，吴年春(254)

球磨时间对Mo2FeB2基金属陶瓷组织和力学性能的影响

陆旭锋，潘应君，张 恒，洪 波(259)

基于EMD和多重分形谱参数的耐火材料损伤模式识别

苏 涛，王志刚，刘昌明，徐增丙，但斌斌(263)

热解温度对东胜褐煤等温热解的影响

朱亦男，王光华，李文兵，王晴东，陈 彪(268)

连续旋转液压伺服关节性能分析

金晓宏，郑开柳，蒋 林(272)

基于Fluent的钻井纠斜液压系统导向套叶片形状优化选择

陈 卓，曾良才，湛从昌，郑飞龙，赵 康(279)

基于力流分析的产品再设计方法研究

容芷君，林泽军，莫寿康，陈奎生(282)

基于ADAMS的连铸板坯摆式飞剪刚柔耦合仿真分析

张文强，罗会信，党 章，肖 腾，肖述池(286)

基于有限元的转炉煤气风机叶轮静动态特性分析

杨金堂，曾 璐，肖 潇，全芳成(290)

基于离散Beam梁法的变截面钢板弹簧建模及仿真

龚海清，杨啟梁，陈彦龙，袁 爽,罗仁宏(294)

基于显微视觉的沥青路面微观纹理三维重构

邹丽琼，周兴林，胡怡玮(297)

电压型变频调速系统滤波电容介质损耗因数的监测

冯 凯,刘振兴,李 翠,龚 诚,张世弘(302)

一种基于有序双端链表的高效排序算法

谭 林，廖光忠(307)

随机荷载作用下岩石节理剪切强度特性研究

严 园，邹兰林，周兴林，谢旭飞(312)

不允许卖空情况下多阶段均值-方差投资组合优化

张 鹏，曾永泉(316)

第38卷第5期

热轧带钢超快速冷却过程的温度控制策略

彭 文，马更生，张殿华(321)

加载频率对高牌号无取向电工钢疲劳性能的影响

杜丽影，周桂峰，刘 静，薛 欢,程朝阳(325)

KR法铁水脱硫的流动数值模拟分析

程新德，孙江龙，周家健，解 德(330)

不锈钢食具材料中重金属元素的迁移行为

匡步肖，马国军，毛振威，程普红，张 翔(336)

硅溶胶/二氧化钛包覆中空玻璃微珠的研究

刘立立，段 辉，顾华志，从善海，王维君，陶华斌(341)

硅锰渣基CaO-MgO-Al2O3-SiO2系矿渣微晶玻璃晶化性能研究

陈 坤，柯昌明，张锦化(346)

负偏压对六方氮化硼薄膜沉积特性的影响

龚 甜，吴 隽，李涛涛，龙晓阳，祝柏林，祁 婷(351)

沸腾炉掺烧半干法烧结烟气脱硫灰的SO2逸出特性

唐 超，周建安，魏 康，邓冬一，韩 军，何 祥(357)

复合絮凝剂(PAC+PAM+磁粉)处理热轧废水的试验研究

刘 红，查方来(361)

连续旋转液压伺服关节整体模态分析及关键部件静力学分析

金晓宏，杨莹莹，郑开柳，蒋 林(365)

YKR型振动筛筛体运动及物料透筛概率分析

杨淑琳，赵三星(368)

复杂条件下多智能体系统编队一致性控制

徐敏敏，金晓宏，雷 斌，陈 浩(373)

大学生方程式赛车空气动力学套件设计

胡 溧，罗世敏，杨啟梁，杨 胜(377)

基于平稳脊波变换的图像降噪

徐 巍,孔建益,陈东方(381)

基于“超”实体构件的信息组织与呈现

张瑞军，黎雯霞，张志清，张 凌，张 鹏(385)

考虑渗流-应力耦合作用的基坑边坡稳定性分析

盛建龙，叶 剑(391)

花石沟炭质片岩隧道弱爆破与机械联合开挖法

姜 贵，马建军，蔡路军(396)

第38卷第6期

新型钢包的温度场及其影响因素模拟分析

李公法，刘 泽，孔建益，蒋国璋，常文俊，李 贝，李 辉(401)

不同电解方法萃取SPHC钢中非金属夹杂物的研究

李 阳，孙海波，兰 鹏，潘 峰，张家泉(408)

复合添加炭黑对低碳铝碳材料显微结构与性能的影响

刘 俊，李云霞，林正杰，黄 帆，廖 宁，李亚伟(413)

石灰石闪速加热高温煅烧过程中的CO2逸出行为

陈凯锋，李建立，薛正良(419)

基于投入产出模型的武钢炼铁系统能耗与节能潜力分析

田玉前，戴方钦，周章华，许学成(424)

基于进化树的产品模块化粒度分析

容芷君，曹云飞，钟鹏飞,陈奎生(431)

液压缸活塞表面微条纹织构摩擦性能数值分析

余 广,曾良才,毛 阳,卢 艳(436)

基于混沌粒子群算法的伺服阀动态参数寻优

黄 浩，陈良华(440)

麻花钻锥形钻尖刃磨参数的优化

邵 芳，王春江(443)

基于执行器能量消耗的并联机器人优化

陈 珂，柯文德，刘 美，张良均(449)

履带拖拉机三点悬挂机构多目标优化设计

黄琪伟，应保胜(455)

基于改进直接灰色模型的泵车摆缸泄漏预测

徐增丙，李友荣，王志刚，刘昌明,周承凯(459)

二甲醚复合燃烧发动机进气过程的数值模拟

王维强，高 欣，丁 攀，周吉伟，张光德(463)

多智能体一致性的随机镇定研究

罗 琦，施力力，李镇东(469)

关于正则条件概率的几点注记

王志明，魏文晶(475)

《武汉科技大学学报》2015年总目次

(478)

第38卷卷终

Some notes on regular conditional probability

WangZhiming,WeiWenjing

(College of Science, Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430065, China)

This paper proves some identical equations concerning regular conditional probability and regular conditional expectation. The results are applied to Brownian motion not necessarily starting at a fixed point. It is demonstrated that, under the regular conditional probability about initial value, a Brownian motion with a random initial value instead of a fixed one is still a Brownian motion for almost all of the initial values.

regularity condition; regularity conditional probability; conditional probability; conditional expectation; conditional distribution; Brownian motion

2015-09-13

国家自然科学基金资助项目(61473213).

王志明(1962-)，男，武汉科技大学教授.E-mail:mingwz@126.com

O211.6

A

1674-3644(2015)06-0475-03