迭代的星-Lindelöf空间在映射下像与原像的性质

邹春玲（吉林师范大学　数学学院，吉林　四平　136000）

迭代的星-Lindelöf空间在映射下像与原像的性质

邹春玲
（吉林师范大学数学学院，吉林四平136000）

摘要：本文主要研究了迭代的星-Lindelöf空间在映射下像与原像的性质包括迭代的星-Lindelöf空间的空间在连续映射和完备映射下的像与原像的性质.

关键词：迭代的星-Lindelöf空间；连续映射；完备映射

一个空间X叫做n-星-Lindelöf的，如果对于X的每一个开覆盖U，存在X的一个可数子集F，使得Stn（F，U)=X.当n=1时，空间X简称为星-Lindelöf空间.

引理1 n-星-Lindelöf空间的连续像是n-星-Lindelöf的.

证明设X为n-星-Lindelöf空间，f为X到上的一个满映射，U为Y的一个开覆盖，则V=｛f-1（U):U∈U}是一个X的开覆盖.由于X是n-星-Lindelöf的，故存在X的一个可数子集A，使得St（A，V)=X，则f（A)为Y的一个可数子集，且St（f（A)，U)=Y.事实上，∀y∈Y，x∈f-1（y)，则存在V∈V，使得V∩A≠Ø，且x∈V，所以y∈f（x)∈f（V)∈U，且f（V)∩f （A)≠Ø，即y∈St（f（V)，U)，所以，Y为n-星-Lindelöf 的.

定理2设X、Y是两个拓扑空间，f是X到Y上的连续满映射，若X是（n，k)-星-Lindelöf空间（其中n∈N，k∈N），则Y是（n，k)-星-Lindelöf的.

证明令U是Y的一个开覆盖，则V=｛f-1（U): U∈U}是一个X的开覆盖.因此，存在X的一个n-星-Lindelöf子空间A，使得Stk（A，V)=X.由引理1，则f（A)是n-星-Lindelöf的.

可断言St（f（A)，U)=Y.事实上，∀y∈Y，选取x∈f-1（y)，由于X是（n，k)-星-Lindelöf的，则存在{f-1（U1)，…，f-1（Uk)}，使得x∈f-1（U1)，对于每个i＜k，有f-1（Ui)∩f-1（Ui+1)≠Ø，且f-1（Ui)∩A≠Ø.由此断定对于每一个y∈U1，i＜k，有Ui∩（A)≠Ø，Ui∩Ui+1≠Ø.因此，y∈Stk（f （A)，U)，故Y是（n，k)-星-Lindelöf的.

证明令U是X的一个开覆盖.因为对于每个y∈Y，所以f-1（y)是紧的，则可选取一个有限子族Uy={Uy，1，…，Uy，k，…，Uy，ky}，使得f-1（y)⊂∪Uy且Uy的每个元与f-1（y)相交.

因为f是一个开映射，所以集合Oy=f（Uy，1)∩…∩f（Uy，ky)是y的一个开邻域.又因为f是一个闭映射，所以存在y的一个开邻域Vy使得Vy⊂Oy且f-1（y)⊂∪Uy，则V={Vy，y∈Y}是Y的一个开覆盖.

令B={Uy1，1，…，Uym，ky1，…，Uym，km}，

任取x∈X，令y=f（x)，有yi*∈{y1，…，ym，…}和一个序列z1，…，zn∈Y，使得y∈Vz1，Vz1∩Vz2≠Ø，…，Vzk∩Vy1*≠Ø.由集合Vz的定义，可知：

Vz∩Vt≠Ø⇒∀i≤kz，∃j≤kt，Uz，i∩Ut，j≠Ø.

因此可找到i1≤kz1，…，in≤kzn，in+1≤ky1*，使x∈Uz1，j1，Uz1，j1∩Uz2，j2≠Ø，…，Uzn，jn∩Uyi*，jn+1≠Ø.因为Uyi*，jn+1∈B，故x∈Stn（∪B，U)z.

证明令U是X的一个开覆盖.对于每个y∈Y，因为f-1（y)是紧的，所以存在一个有限子族Uy⊆U，使得Uy的每个元与f-1（y)相交.因为f是开的，所以Oy=∩Uy是y的一个开邻域.

定理5设X为Hausdorff空间，Y是（1，1)-星-Lindelöf空间，f是X到Y上的完备开映射，则X是（1，1)-星-Lindelöf的.

证明令U是X的一个开覆盖且y∈Y.因为f-1（y)是紧的，所以存在U的一个可数子集族Uy，使得f-1（y)⊆∪Uy，且Uy的每个元与f-1（y)相交.因为f是开的，所以Oy=∩{f（U):U∈Uy}是y的一个开邻域.

由f的连续性及闭性，存在y的一个开邻域Vy，使得Vy⊆Oy和f-1（Vy)⊆∪Uy，则V={Vy:y∈Y}是Y的一个开覆盖.由于Y是（1，1)-星-Lindelöf空间，存在Y的一个星-Lindelöf子空间A，使得St（A，V) =Y.令B=f-1（A)，类似引理3的证明可知B是星-Lindelöf的.

可断定St（B，U)=X.事实上，令x∈X，则存在Vy∈V，使得f（x)∈Vy且Vy∩A≠Ø.由Vy的构造，则存在U∈Uy，使得x∈U.因为Vy⊂f（U)，有U∩f-1（A) ≠Ø，所以x∈St（B，U).因此X是（1，1)-星-Lindelöf 的.

作为定理5的推广，得到了下面的结果：

推论6设X为Hausdorff空间，Y是（1，k)-星-Lindelöf空间，f是X到Y上的完备开映射，则X是（1，k)-星-Lindelöf的.

证明令U是X的一个开覆盖.因为f是开的，所以V={f（U):U∈U}是Y的一个开覆盖.因为Y 是n-星-Lindelöf的，所以存在Y的一个可数子集F，使得Stn（F，V)=Y，则A=f-1（F)是k-星-Lindelöf的.

可断言Stn（A，U).事实上，令x∈X，f（x)=y，则存在一个V的可数子族{V1，…，Vn}，i＜n，有y∈V1，Vi∩Vi+1≠Ø，且Vi∩F≠Ø.令Vi=f（Ui)，则对于i＜n，有x∈U1，Ui∩A≠Ø，且Ui∩Ui+1≠Ø，所以x∈Stn（A，U)，因此X是（k，n)-星-Lindelöf的.

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中图分类号：O189

文献标识码：A

文章编号：1673-260X（2015）10-0017-02