不等式约束平差在GPS数据处理中的应用

李 鹏

(1.重庆市勘测院，重庆 400020； 2.重庆岩土技术研究中心，重庆 400020)

。

minf(x),x∈R。

。

cT=[0.]0104 0.1894 -0.4157 0.1781〗。



不等式约束平差在GPS数据处理中的应用

李 鹏1,2

(1.重庆市勘测院，重庆 400020； 2.重庆岩土技术研究中心，重庆 400020)

结合实例说明了应用不等式约束平差对GPS数据进行处理的方式，并分析了近似求解统计性质的过程，指出在解决不等式约束最小二乘问题时，采用MATLAB的优化工具箱进行计算，结果可靠，同时减少了繁琐的编程工作。

不等式约束平差，凝聚约束法，最优化，GPS数据处理

0 引言

在非线性规划中，一种特殊的处理多约束问题的方法称为代理约束方法，该方法是将多个约束化为一个代理约束，该代理约束是原多个约束的加权和，权系数非负、和为1。用原约束集的最大约束作为代理约束，可以证明这两种方案的可行域完全一致。根据最大熵原理，导出了能够逼近最大约束的可微凝聚函数。在原约束集中，至少有一个约束将是“紧”约束 (active constraint)，因此，作为不等式的凝聚函数约束就变为等式。因而，具有不等式约束的非线性规划问题就变成了具有等式约束的非线性规划问题，且得到了深入的研究与应用。本文也将用该方法来研究不等式约束最小二乘问题。

1 最优化问题

最优化问题的数学模型一般形式为：

根据实际问题的不同要求，最优化模型有不同的形式，但经过适当的变换都可以转换成上述一般的形式。只要在问题中存在任何约束条件，就称为约束最优化问题。只有等式约束时该一般式称为等式约束最优化问题。只有不等式约束时，该一般式称为不等式约束最优化问题。如果既有等式约束，又有不等式约束，则称为混合约束问题。如果问题中无任何约束条件，则称为无约束最优化问题。

无约束最优化问题的数学模型为：

minf(x),x∈R。

2 凝聚函数方法

求非线性规划问题最优解的方法较多，常用的有单纯形方法、最小最大解法、贝叶斯解法等。这些方法均存在明显的缺陷。本文着重介绍另一种方法：凝聚函数法。

非线性规划问题的数学模型为：

(1)

式(1)可表示为带一个不光滑约束的优化问题，其数学模型为：

(2)

3 应用实例

该例子中的已知数据是经过GPS预处理后的高程数据，其约束条件既有不等式约束B0x-d0=w≤0，也有区间约束-0.1≤xi≤2(i=1,2,3,4)。表1列出了本例的已知数据。我们将在MATLAB环境下，采用凝聚函数法进行最小二乘求解。

表1 已知数据和残差

3.1 MATLAB优化工具箱简介

MATLAB是由美国MathWorks公司推出的用于数值计算和图形处理的科学计算系统环境。在MATLAB环境下,使用者可以方便地进行程序设计、数值计算、图形绘制、数据的输入输出、文件管理等各项操作。

优化工具箱(Optimization Toolbox)位于安装目录下optim目录下，用于解决函数的极值问题或设计参数的优化问题。在简单情况下，优化问题可以是随自变量x变化系统参数的极大或极小值；在复杂情况下，是构筑满足不等式约束或参数约束的极大值目标函数f(x)。

3.2 在MATLAB环境下应用凝聚函数法

1)新建一个M文件，定义目标函数myfun=(Ax-y)TP(Ax-y)。具体的定义如下M文件：

function f=myfun(x);

f=(……); %输入已知数据%

2)同上建立一个约束函数的M文件:

function [c,]ceq〗=confun2(x);

c=log(exp(1000000*(0.2027*x(1)+0.2721*x(2)+0.7467*x(3)+0.4659*x(4)-0.5251))+exp(1000000*(0.1987*x(1)+0.1988*x(2)+0.4450*x(3)+0.4186*x(4)-0.2026))+exp(1000000*(0.6037*x(1)+0.0152*x(2)+0.9318*x(3)+0.8462*x(4)-0.6721)))/1000000;

ceq=;

3)运行如下命令：

[x,] fval〗 =fmincon(@myfun,[0]0 0 0〗,,,,,[-0].1 -0.1 -0.1 -0.1〗,[2 ]2 2 2〗,@confun2,options)按回车得如下结果：

Warning:Large-scale (trust region) method does not currently solve this type of problem,switching to medium-scale (line search).

>In fmincon at 260

Optimization terminated: magnitude of directional derivative in search

direction less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon.

Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-006)：

Lower upper ineqlin ineqnonlin 1

x =

-0.1000 -0.1000 0.2137 0.3518

fval =

0.1673

其计算方法和步骤如下：

>>A=[0.]951 0.7602 0.6153 0.4057;0.2311 0.4564 0.7919 0.9354;0.6088 0.0185 0.9218 0.9169;0.4859 0.8214 0.7382 0.4102;0.8912 0.4447 0.1762 0.8936〗；%输入系数矩阵A%

>> Q=(A'*A)^(-1) %计算方差协方差阵%

Q=

经计算:

cT=[0.]0104 0.1894 -0.4157 0.1781〗。

c=[0.]0104;0.1894;-0.4157;0.1781〗;

n=[2.]4016 -1.5548 0.4490 -1.3688;

q=n^(-1)-((c'*n^(-1)*c)^(-1))*(n^(-1))*c*c'*n^(-1)

3.3 小结

整理以上计算结果，见表2。

表2 计算结果

由表2中数据可知，凝聚函数法不仅能得到最小二乘解，还提供了计算并研究有关统计性质的途径。

4 结论

凝聚函数方法等式约束转换成一个等式约束，使解能够表示为观测的明显不等式。其有关统计性质与最优性的结论如下：

1)不等式约束最小二乘估计能够表示为观测的明显表达式，是无偏估计；

2)解的方差协方差具有比无约束最小二乘解更小的方差；

3)凝聚函数方法是一种计算不等式约束最小二乘问题并研究其统计性质的有效方法。

另外，本文采用MATLAB进行计算，在矩阵计算方面显示了其优越性，而测量数据处理中用得最多的就是矩阵计算，所以在进行测量平差处理时，可以多采用MATLAB工具。

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[2]武汉测绘科技大学测量教研室.测量平差基础.北京：测绘出版社,1996.

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[6]唐涣文，张立卫.凸规划的极大熵方法.科学通报，1994，39(8)：682-684.

Application of adjustment with inequality-constrained for GPS data processing

Li Peng1，2

(1.ChongqingSurveyInstitute,Chongqing400020,China；2.ChongqingGeotechnicalTechnologyResearchCenter,Chongqing400020,China)

Combining with the example, the paper indicates the treatment of GPS data by adopting inequality-constrained adjustment, analyzes the process for the similar solution of statistic properties, adopts its problems, adopts the optimal tool box of MATLAB, and proves by the result that it is reliable and reduces complicated programming.

adjustment with inequality-constrained, condensed constrained method, optimization, GPS data treatment

1009-6825(2015)01-0207-03

2014-10-25

李 鹏(1988- )，男，助理工程师

TU198

A