现代计算机软件在压力容器计算上的应用

于 晖 张 莉 姚 迪

(中国核电工程有限公司，北京 100840)



现代计算机软件在压力容器计算上的应用

于 晖 张 莉 姚 迪

(中国核电工程有限公司，北京 100840)

在经典弹性力学的基础上，将现代化的计算机软件(MAPLE，MATLAB和ANSYS)运用到柱状容器在轴对称温度场作用下的热应力计算中，并将三种计算机软件获得的计算结果与经典弹性力学计算结果进行对比，对比结果显示：现代计算机软件的计算结果与经典弹性力学的计算结果非常吻合，可以有效的提高计算的效率和精度。

MAPLE，MATLAB，ANSYS，柱状容器，高温作用

0 引言

本文将在经典弹性力学[1,2]的基础上结合现代计算中的解析解软件(MAPLE，MATLAB)和仿真计算软件(ANSYS)进一步讨论完善关于柱状容器在轴对称温度场作用下的热应力计算与分析，其中的MAPLE和MATLAB适用于解析解计算而ANSYS适用于有限元仿真计算。为柱状容器的计算提供便捷、可信的计算方法和途径。

1 柱状容器的受力分析

柱状容器在温度作用下(假设内部温度高于外部温度)，主要承受环向应力σθ、径向应力σr和竖向应力σz的作用(见图1)。

由文献可知同性同向材料(E，υ)的物理方程如下所示：

(1)

(2)

(3)

几何变形方程：

(4)

将式(2)求导后可得：

(5)

将式(1),式(2)，式(5)代入到式(4)中，得到最终的变形公式如下：

(6)

柱状容器的平衡方程如下：

(7)

由此，我们可以获得由变形方程(6)与平衡方程(7)的方程组。

关于温度场的计算可以参考文献中提供的公式，即：

(8)

其中,Ta,Tb分别为厚壁柱状容器的内壁和外壁温度。

方程组所对应的边界条件为：在高温作用下柱状容器内壁和外壁的径向受力为零。

通过上述计算公式的推导，将工程结构的计算转化为数学方程组的求解，由此我们可以通过现代计算机软件MAPLE和MATLAB快速、高效的解决此类计算。

柱状容器在轴对称温度场作用下的应力平面分析图见图1。

图1中，a，b分别为筒体的内、外半径;r0为弹性状态下的中性层半径;T(r)，T分别为温度场，温度;E为弹性状态下的弹性模量;υ为弹性状态下的泊松比;σr(r)为弹性状态下的径向应力;σθ(r)为弹性状态下的环向应力;σz(r)为弹性状态下的竖向应力。

2 软件MAPLE的计算结果

MAPLE是Wsterloo公司推出的一种计算机代数系统，是目前广泛使用的数学计算工具之一，MAPLE不但可以进行简单的加、减、乘、除计算，还可以求解代数方程和微分方程及方程组。

为方便计算，首先把方程组中的表达式转化为MAPLE能够识别的数学符号，即：sigmar(r):=x(r)，sigmat(r):=y(r)；其次调用MAPLE中自带的软件包和可用于求解微分方程组的相关命令，同时将已知的参数(常数)以及边界条件代入方程组中，具体的程序如下所示：

>V:=0.1;

>alpha:=10^(-5);

>PDEtools[de]clare〗((x, y)(r),prime=r);

sigmar(r):=x(r),sigmat(r):=y(r)

>sys0:=diff(x(r),r)+(x(r)-y(r))/r=0,diff((1-V*V)*y(r)/E-(V+V*V)*x(r)/E+(1+V)*alpha*(100*ln(84/r)/ln(84/55)+50*ln(55/r)/ln(55/84)), r)+(y(r)-x(r))*(1+V)/(r*E)=0;

>init0:=x(55)=0,x(84)=0;

>sol0:=dsolve([sy]s0,init0〗);

>r:=55;E:=5.27*10^5;

>map(simplify,sol0);

>simplify(map(simplify,sol0),′assume=real′);

x(5.50*10)=-4.34*10-6,y(5.50*10)=-1.67*102,

最后的计算结果显示：当r=55 cm时，σr=-4.34×10-5=0,σθ=-16.7 MPa,不同半径的应力计算结果见表2。

3 软件MATLAB的计算结果

MATLAB源于Matrix Labortary，即矩阵实验室，其内部丰富的函数库可以方便的实现用户各种科学计算和数据处理功能。MATLAB与MAPLE拥有相同的数值库(即数值计算引擎)，但是MAPLE多用于符号计算，而MATLAB更多用于数值计算。

MATLAB计算时，采用的是“龙格—库塔(Runge-Kutta)”计算方法，这种计算方法源于“泰勒公式”和“使用斜率近似表达微分”，它在积分区间内计算几个点的斜率，然后进行加权平均，用作下一个点的依据，从而构造出精度更高的数值积分的计算方法。根据MATLAB计算软件的要求，将方程组改写为可用于MATLAB计算的数学表达式，同时调用MATLAB内部的ODE45函数，并假设σθ(55)=c，具体程序如下：

syms c;%假设未知函数为c

delta1=’-(delta(1)-delta(2))/r’;

delta2=’-7.598750156*10^(-8)*(-1.316005895*10^7*delta(1)+1.316005895*10^7*delta(2)-9.098280761*10^9)/r’;

QQ=ode45YUHUI([‘[]‘,delta1,’,’,delta2,’〗’〗,’r’,’delta’,[0,]c〗,[55]∶0.1∶84〗,0);

通过计算可以得到不同位置上含有未知参数c的环向应力σθ(c)和径向应力σr(c)，如表1所示，其中r=84 cm的计算结果如下：

σr|r=84=0.285 6×c+47.648 29;

σθ|r=84=0.714 35×c+245.129 48。

表1 MATLAB含有未知参数c的计算结果

4 软件ANSYS的计算结果

ANSYS与MTALAB，MAPLE的主要区别在于：MTALAB和MAPLE适用于数值计算(主要包括：普通数学计算、微积分计算、方程组的计算等等)，而ANSYS主要是通过建立实体模型模拟各种荷载工况下获得的计算结果。

由于柱状容器属于轴对称结构，在计算中选用轴对称单元PLANE77，对应的材料参考在MAPLE和MATLAB中的取值。计算步骤为：1)建模(见图2a))；2)划分网格(见图2b))；3)施加温度荷载；4)通过计算获得温度场(见图2c))；5)将热分析单元转化为结构单元；6)将已获取的温度场作为荷载；7)对柱状容器施加轴对称约束；8)完成计算获得各个位置上的环向应力σθ和径向应力σr(见图2d)，图2e)，表2以及图3)。

表2 柱状容器在温度作用下通过不同计算方法获得的计算结果

通过表2和图3的数据对比可知：现代计算软件可以完成柱状容器在温度作用下的计算，其中，利用MAPLE和MATLAB获得的解析解计算结果与经典弹性力学给出的计算结果完全一致，而通过有限元法(ANSYS)获得的计算结果与解析解获得的计算结果也相差不大，符合计算的要求。

5 结语

本文阐述了不同计算软件(MATLAB，MAPLE，ANSYS)对由同性同向材料组成的柱状容器在高温作用下的计算方法与结果分析，计算结果显示现代计算机软件与经典弹性力学的计算结果非常吻合，并且验证了理论解析解与有限元计算的正确性，符合计算的要求。现代计算机软件可以高效、精确的完成计算，在此基础上为以后更深入的研究由各项异性材料组成的柱状容器在高温、高压、核辐射以及地震等作用下的线性与非线性计算提供可靠的依据和计算方法。

[1]王瑞富，陈国荣.温度场和温度应力.北京:科学出版社,2004.

[2]Лехницкий С. Г. Анизотропная теория упругости. / С.Г. Лехницкий.М.Наука,1977：415 c.

[3]马开平，冯 纬，潘申梅.Maple高级应用和经典实例.北京：国防工业出版社,2002.

[4]赵海滨.MATLAB应用大全.北京:清华大学出版社,2002.

[5]刑静忠,王永岗,陈晓霞.ANSYS7.0 分析实例与工程应用.北京：机械工业出版社,2004.

[6]辛文彤,李志尊,胡仁喜.ANSYS13.0热力学有限元分析从入门到精通.北京:机械工业出版社,2011.

Modern computer software used in the calculation of the pressure vessel

Yu Hui Zhang Li Yao Di

(ChinaNuclearPowerEngineeringCo.,Ltd,Beijing100840,China)

According to the classical elasticity mechanics, this paper uses three different kinds of modern computer software (MAPLE,MATLAB, and ANSYS) to simulate and investigate the thermal stress of cylindrical vessel under the axisymmetric temperature field. The comparison results of numerical methods with the classical elasticity mechanics method showe that calculation results of numerical methods agree well with the theoretical results and modern computer software can effectively improve the efficiency and accuracy of calculation of pressure vessels.

MAPLE, MATLAB, ANSYS, cylindrical vessel, high temperature effect

1009-6825(2015)01-0043-03

2014-10-28

于 晖(1983- )，男，博士，工程师； 张 莉(1988- )，女，硕士，助理工程师； 姚 迪(1983- )，男，硕士，工程师

TP316

A