基坑位移监测中带有未知参数的滤波算法*

唐争气，宋迎春，邹 勃

(1. 中南大学 地球科学与信息物理学院， 湖南 长沙 410083；2. 湖南城市学院 市政与测绘工程学院, 湖南 益阳 413000)

基坑位移监测中带有未知参数的滤波算法*

唐争气1,2，宋迎春1†，邹 勃1

(1. 中南大学 地球科学与信息物理学院， 湖南 长沙 410083；2. 湖南城市学院 市政与测绘工程学院, 湖南 益阳 413000)

在基坑边坡的动态监测中，为了控制几何观测异常对形变参数估计的影响，把基坑边坡的力学信息看成是一个未知信息，建立了带有未知参数的滤波模型，并在固定的观测窗口中,把未知参数看成是一个不变的量，利用观测残差和状态预测残差来拟合它，并对滤波结果同时进行修正，得到了一个带有未知参数的滤波算法.实例说明，利用先验的几何、物理信息进行变形监测，能有效地提高状态参数估计可靠性.

基坑；变形监测；未知参数；卡尔曼滤波；残差

基坑边坡由初始变形发展到破坏性滑坡，其演变过程是一个非常复杂的过程[1-3]，由于基坑内土体卸载，基坑内外侧土压力的不平衡，支护结构容易产生变形和位移.当支护结构强度和刚度不足的时候，支护桩将会出现倾斜，引起坍塌等严重事故.同时，基坑施工过程中的降水措施会引起地下水位的下降，导致坑外土体的固结，使地面沉降出现不均匀沉降.实时跟踪预测可以不断跟踪基坑边坡动态变化，及时确定在各种荷载和外力作用下，变形体的形状、大小及位置变化的空间和时间特征，从而判断和预报边坡变形是否失稳[4-6].国内外学者已建立了许多动态的基坑变形观测模型[7-12]，他们的方法在分析滑坡的变形动态特征方面取得了大量的成果.然而，在特殊的地理环境下，数据采集的条件受到限制，人们对边坡的力学特性，相关的几何、力学参数认识非常有限，因此，基坑变形观测动态分析显得非常困难，建立的模型常常包含一定程度的模型误差，从而导致不精确的形变分析结果.在基坑变形观测中，大地测量学者过多地注重几何观测信息，很少关注基坑形变内在的物理原因，难免造成计算结果失真或出现较大的偏差[13-15].因此，将边坡形变的物理特性与几何观测结合建立混合模型，根据地球物理模型和实测几何数据之间的差异，通过几何模型计算的位移量和物理模型预测位移量间的差异达到最小的原则来求解形变量，可以更精确地跟踪基坑边坡的动态变化．在本文中，一种把边坡的几何约束信息、力学状态结合起来的新方法被提出，一些未知的物理信息量作为参数纳入滤波模型，再利用滤波理论，用观测残差和状态预测残差来拟合它,从而控制几何观测异常对形变参数估计的影响.

1 基坑土压力与监测滤波模型

土压力是土体因自重或外荷载作用对支护结构产生的侧向压力，是土与支护结构相互作用的结果，与支护结构的形式、刚度、变位、土与结构的接触条件以及支护结构受到的约束等有密切关系.土压力的大小与土体的变形有关，在土体达到破坏状态之前，土压力的大小是难以确定的；在土体达到破坏状态时，由于变形土体内各点很难同时进入极限平衡状态，土压力计算也带有一定程度的不确定性.

图1 板桩上的土压力

图2 主动土体滑裂面

图3 土条受力分析图

处于极限状态的微分单元体的静力平衡方程：

由∑X=0和∑Y=0有

pxi=miaxi=Nisinθi-(c1i+Q2i)cosθi

(1a)

pyi=miayi=-Nicosθi-(Q1i+c2i)-

(c1i+Q2i)sinθi+Gi

(1b)

方程 (1) 也可表示为：

Miai=A1iYi+Fi

(2)

这里

对于整个块体系统，由式(2)可构成如下方程组：

Ma=A1Y+G

(3)

这里，M和A1由Mi和A1i组成，

Y=(N1,N2,…，Ni，…,Q11,…,Q1i,…,

Q21,…，Q2i,…,c11,…,c1i,…,c21,…,c2n)T

为了提高计算精度，我们对参数Y进行如下变换，即让 ：Y=Y0+ΔY，这里Y0是Y在边坡滑体处于极限平衡状态下的取值.由于在极限平衡状态下，任意块体的加速度都为0：axi=ayi=0，由式(3)可得：

A1Y0+G0=0

(4)

G0是G在极限平衡状态下的取值.由式(3)、式(4)可得：

Ma+A1ΔY=-ΔG

(5)

这里 ΔY=Y-Y0，

ΔG=G-G0=(0,Δm1g,…,0,Δmig,…)

显然ΔY是表示边坡滑体的当前状态与稳定状态之间的差别.

其中，X1=(x1,z1,…,xi,zi，…)T

按照刚体的运动方程，刚体的运动从状态k转移到k+1时，其位移和速度按下式变化：

Vk+1=Vk+tak

(6) 除了雨后引起的地下水位变化和地震引起的震动外，在实际工作中，作用在边坡滑体上的外力一般是保持不变的.因此可以假定ΔG=0 及ΔYk+1=ΔYk.如果外力产生变化，则只要这种变化很小，可以视为状态转移误差(系统噪声).根据这一假设和方程(5)可得：

ΔYk+1=ΔYk

ak+1=M-1A1ΔYk+1+M-1ΔG=M-1A1ΔYk

(7)

由式(6)和式(7)可得状态转移方程：

Xk+1=ΦkXk+Wk=

(8)

模型(8)中考虑了边坡运动的加速度，但一般情况下边坡在发生滑坡的突变之前的滑移过程中，移动的加速度是非常小的，在绝大多数情况下，加速度如果能达1cm/d2将预示滑坡的发生，而1cm/d2在运动学上则是非常小，因此，可在模型(8)中删除加速度项，得到下列模型代替：

(9)

在基坑边坡监测中观测方程可表示为：

Lk=HkXk+ek

(10)

由于基坑边块的物理信息并不充分，我们不能得到sk的具体数据，因此，在滤波过程中，把它看作未知输入信息.用Xk来表示状态变量代替(9)中的X′k，由式(9)和式(10)可以得到带有未知输入的变形监测的滤波模型：

Xk=Φk,k-1Xk-1+sk+Wk

Lk=HkXk+ek

(11)

其中Xk为tk时刻状态向量，Φk,k-1为状态转移矩阵，Wk为动力模型噪声向量，Lk为观测向量，Hk为设计矩阵，ek为观测误差向量.

2 带有未知输入的滤波算法

(12)

式(11)中观测方程相应的误差方程为：

(13)式中Vk为Lk的残差向量.假设Wk和ek的协方差矩阵为ΣWk和Σk.Wk，Wj，ek及ej互不相关.现在，讨论动力学模型存在系统误差的情形，即sk≠0，由式(11)有：

(14)

在无误差情况下，Xk=Φk,k-1Xk-1，则有

(15)

(16)

(i=1,…,N)

(17)

(19)

(20a)

(20b)

(20c)

(20d)

(20e)

3 实例解算与分析

某基坑周长约350m, 建筑物正负零标高40.5m，

基坑底标高为31.4m，工程重要性等级为二级.基坑设计深度7.6～10.3m，采用放坡+喷锚+钢管桩进行支护，基坑安全等级为一级，重要性系数1.1，基坑支护为临时性支护.根据总平面图，在水平与垂直位移监测前一周共埋设了3个基准点，基准点设3倍于基坑深度的影响范围之外，其中编号分别为M1,M2,M3.基坑边坡顶部的水平和竖向位移监测点为共用点，沿基坑坡顶布置，周边中部、阳角处布置监测点.监测点水平和竖向间距一般为20～30m，部分地方视情况加密.J1～J15,J8＇为基坑顶观测点，MG-1-1,MG-1-2,MG-1-3,MG-2-1，MG-2-2,MG-2-3为锚杆应力监测点，具体位置见图4.共计16个水平位移监测点,16个沉降监测点,6根锚杆拉力监测点.水平位移监测采用极坐标法观测.

图4 监测点平面布置图

沉降观测采用精密二等水准测量，组成水准控制网，定期对水准点进行校核，防止其本身发生变化，以保证垂直位移监测结果的正确性.全站仪架设于稳定基准点上，采用极坐标法观测，取3次平均值作为初始值.本次观测值减去前一次的观测值为本次观测值位移值，本次观测值减去原始观测值为累计位移值.由于全体数据的篇幅较大，表1只给出了JC1-112．3点的27期水平位移和沉降观测数据，并利用文中给出的算法进行计算与分析．

表1 JC1-1点水平位移和沉降观测数据(共27期)

本文采用标准卡尔曼滤波算法与本文给出的带有未知参数的滤波算法两种方案进行计算，在带有未知参数的滤波算法中，用式(18)对未知参数进行估计时，其窗口宽度为2，滤波计算公式采用(20).图5给出了JC1-1点水平位移和垂直沉降的实测图与标准卡尔曼滤波以及本文算法的效果图，通过对滤波后的数据进行对比，给出了它们与实测值之间误差曲线图(见图6)．

图5 JC1-1点水平位移和垂直沉降分析图

Epoch(3day)(a)标准卡尔曼滤波误差曲线

Epoch(3day)(b) 本文算法误差曲线

通过对算法的精度分析，得到了下面的结论：

1)影响基坑变形的因素比较多，如基坑所在地的工程地质、 水文和气候条件以及基坑的内部结构，喷灌的混凝土应力、及温度、降水等，在建立模型对沉降观测数据处理和分析时，应该考虑这些影响因子，把它们当成状态参数的一部分，如式(8)，然而这些影响因素通常难以获取，无法纳入模型中，在一般的滤波模型中状态向量只考虑水平位移和沉降以及它们的速率，对于其它因素比较困难.

2)虽然卡尔曼滤波是一种处理动态数据的有效方法，可以有效处理变形监测数据，实时获得监测系统的当前状态，对于基坑变形监测来说，卡尔曼滤波是一个重要的研究方法.但是，由于模型误差sk的出现，使得卡尔曼滤波的效率大大地降低了.从图6可以看出，考虑了系统误差的滤波算法，精度会更高.

3)在基坑变形监测数据处理中，建立准确的位移监测模型是非常困难的，需要顾及sk的综合影响，本文提供的算法并不一定需要清楚地了解sk中的具体成份，在滤波计算的过程中，可对sk进行在线估计，并及时修正状态向量的偏差，提高滤波计算的质量.

4 小 结

物理信息常存在于基坑边坡的动态监测模型中，滑坡的破坏过程随边坡内在因素及外在环境而变化，现有的滤波算法不能够充分利用这一信息.由于边坡的力学特性，有关几何、力学参数的先验信息并不完全清楚，在滤波模型中利用它们相当困难，本文给出的带有未知参数滤波算法，把这些信息看成是一些未知的信息加入到模型中，并在解算过程中进行在线估计，并及时修正状态向量的偏差，可以加强滤波解算结果的可靠性，有效消除或削弱模型误差的影响.

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Filtering Algorithm with Unknown Parameter for Excavation Deformation Monitoring

TANG Zheng-qi1, 2, SONG Ying-chun1, ZOU Bo1

(1. School of Geosciences and Info-Physics, Central South Univ, Changsha, Hunan 410083, China;2. School of Municipal and Surveying Engineering, Hunan City Univ, Yiyang, Hunan 413000, China)

In order to control the influence on deformation parameter estimation in Excavation Deformation Monitoring when geometric observations are anomalous, mechanic information about excavation slope is considered to be unknown information, and a filtering model with unknown parameter is given. In the fixed observation window, unknown parameters do not change with time, which can be fitted with the prediction of observation residuals and residuals. At the same time, algorithm improves the reliability of the state estimations. In a real example, by using the prior geometry and physics of information to deformation monitoring, the given algorithm can significantly improve the reliability of state parameter estimation.

excavation; deformation monitoring; unknown parameter; Kalman filtering; residual error

1674-2974(2015)07-0108-06

2015-01-11

国家自然科学基金资助项目(41474008)，National Natural Science Foundation of China(41474008) ；湖南省教育厅青年课题(12B022)

唐争气(1974-)，男，湖南邵阳人，中南大学博士研究生，湖南城市学院副教授

†通讯联系人，E-mail: csusyc@qq.com

P258

A