基于压缩感知的旋转式基阵DOA估计

袁锐岳军高洪秀王杰瑞孙文俊姜峰

（1.青岛理工大学理学院，青岛，266520;2.第七一五研究所，杭州，310023）（3.国家海洋局南海工程勘察中心，广州，510300）



基于压缩感知的旋转式基阵DOA估计

袁锐1岳军1高洪秀1王杰瑞1孙文俊2姜峰3

（1.青岛理工大学理学院，青岛，266520;2.第七一五研究所，杭州，310023）（3.国家海洋局南海工程勘察中心，广州，510300）

摘要提出旋转基阵方法，达到增加虚拟阵元的效果，再利用压缩感知理论进行阵列信号方位估计（DOA）。此方法可降低阵列流形矩阵相关性，提高多信号恢复算法成功率，且具有高分辨率。信源个数大于阵元个数时，该方法仍能成功对各信源方向进行估计。

关键词压缩感知；旋转基阵；正文形四阵元；波达方向

上世纪八十年代，有学者研究用有限的采样来精确地恢复原始信息[1]。2006年，Donoho和Candy等学者正式提出压缩感知理论（CS）[2-5]。至今国内外已有众多学者致力于CS理论的研究，并且研究力度逐年攀升。如今CS作为新兴前沿科技，已朝着多元化方向发展，如分布式CS、无限维CS，并被广泛应用于各个领域，如天文、图像处理等[6]，相信国内外会继续加大对CS理论的研究和投入。

将压缩感知理论应用在水声信号测向（DOA），能解决相干信号问题，这是其它方法不能达到的。2002年，Dmitry Malioutov等将稀疏信号恢复的思想运用到阵列DOA估计中，并提出了基于奇异值分解的l1-SVD算法，实现了DOA估计的超分辨，在少快拍数和低信噪比的情况下也有很好的性能，而且可以直接处理相干信号[7]。

1　理论简介

设N维信号x∈RN，若向量x中最多只有K(K<< N)个非零元素，则称向量x是K-稀疏的。若x在一组标准正交基ψ1,...,ψN下可稀疏表示为：

Ψ为标准正交基构成的矩阵，θ为系数向量，且θi=（<⋅>表示内积运算），假设θ是K-稀疏的。寻找一个M× N（M≥ K）维的观测矩阵Φ对信号进行观测：

称y为M维观测向量。信号x通过观测矩阵作用，维数由N降到M，ACS称为感知矩阵。

对于式（2），要从中恢复出信号x，构建数学模型：

求解式（3）是一个NP-Hard的非凸优化问题，计算量大，且不易解决[8]。感知矩阵满足一定约束条件时，式（3）可等价转化为如下l1范数最小化约束：

稀疏约束问题式（3）与l1范数约束优化问题式（4）等价的充分条件为感知矩阵ACS满足有限等距性质（Restricted Isometry Property,RIP），即存在常数δ∈(0,1)使得下式成立：

θ为任意K-稀疏向量。

Candes等人[2]证明了RIP的等价条件为：观测矩阵和变换基矩阵不相关，即观测矩阵的行不能由基矩阵的列线性表示，基矩阵的列也不能由观测矩阵的行线性表示。

假设n× n维矩阵B=[∂1,...∂n]的列向量是单位化向量，则其相关系数定义为：

感知矩阵中相关系数越小，精确重构可能性越大。

压缩感知重构算法很多[9-12]，这里简要介绍两种重构算法，匹配追踪算法（Matching Pursue,MP）和正交匹配追踪算法(Orthogonality Matching Pursue,OMP)。匹配追踪算法是贪婪算法中最早提出的算法，假设观测矩阵为Φ，其每一列iϕ称为一个归一化原子，要用这些原子来逼近观测信号y。匹配追踪思想是先设置一个索引集为空集，再进行迭代，每次迭代先取出一个与残差信号r内积最大的原子，并将其加入索引集中，并更新残差信号。令第t次迭代后残差信号为tr，初始化时残差取信号y，即r0= y，则每次迭代选取的原子序号为：

第t次迭代后索引集为：

然后从上次迭代得到的残差信号中，减去其在本次迭代中选取的原子上的投影分量，即：

显然残差信号tr与所选原子iϕ正交，则有：

这样经过每次迭代，可使残差信号最小，当残差小于某个设定值时，迭代结束，则原始信号就可用选取出的这些原子线性表示。

从匹配追踪算法来看，可能会存在过匹配的问题，因为每次迭代后的残差只与该次迭代选取的原子正交，并不能保证其与前面选取的原子正交，从而学者提出了正交匹配追踪算法[7]。正交匹配追踪算法与匹配追踪算法原子选择原则是一样的，但残差更新原则不一样。当选取出匹配的原子后，先用Gram-Schmidt法则对其进行正交化处理：

这样可使残差tr与前t次迭代选取的原子集合正交，保证了每次迭代选取原子的最优性。

2　旋转式基阵DOA估计

阵列信号DOA估计中，多数是以均匀线阵为模型[8-11]。根据实际工程要求，本文讨论四阵元正方形模型。

2.1阵列DOA估计的一般模型

设基阵有M个阵元，入射信号为K个频率为f的窄带、远场复信号si(t),i= 1,... K，方向分别为θi(i= 1,... K)，阵元j(j= 1,... M)与参考点的距离为dj。

对于第k个信号sk(t)，第m个阵元接收到的信号为：

τmk表示θk方向上m阵元相对于参考点的时延。

y:k(t )表示单考虑信号sk(t)时，基阵接收的列向量数据(e−i2πfτ1k,...,e−i2πfτMk)T称为对应于θ方向向量

k或者阵列流形向量，记为a(θk)。式（7）可写为：

将K个信号同时考虑，则基阵接收到的数据为：

记

式（9）可写为：

A称为阵列流形矩阵，每一列的作用是把相应方向的信号变换到阵列所接收的数据。噪声情况下，式（10）可写为：

2.2正方形四阵元基阵DOA估计

利用压缩感知理论，对正方形排列四阵元基阵进行DOA估计已有学者进行研究[8]。其思想是将二维平面等分360个角度，计算出每个角度对应的阵列流型向量，得到4×360的阵列流型矩阵，再通过（10）或（11）式利用压缩感知理论进行信号重构，确定信号入射方向。

基于该思想的阵列流型矩阵为4×360维的，理论上最多只能有4列相互正交，大部分列之间相关程度比较大。在压缩感知理论中，能以高概率精确恢复原始信号的一个前提是观测矩阵相关系数需要低到一定程度，理想情况是不同列间相互正交。经分析，该模型下的4×360维阵列流型矩阵不能满足这样的要求，其相关系数很大，导致在进行多信号测向时，重构算法不能精确恢复原始信号，致使在该模型下，只能在只有一个信号源时精确估计信号方向；当存在两个或更多信号时，该方法测向失败。

为了改善性能，可以增加阵元个数和基阵孔径，但这样增加了投入成本，更多场合下，这种改进是不可行的。另一方面考虑，对于某一个方向入射的信号，不同位置的阵元有不同的时延，当一个阵元记录下一个采样后，转移到另一个位置并再次采样，此时其时延可用该位置本身时延加上该阵元改变位置所用时间来表示，这样一个阵元可多次采样，达到与具有更多阵元时一样的效果。为此，构造如图1所示模型。

图1　四阵元旋转式基阵模型

如图1所示，阵元编号分别为1、2、3和4，将基阵匀速顺时针方向旋转。阵元1和2间的圆孤上等距离划分m个点，这些点分别记为11,12,...,1m，旋转过程中阵元1将依次经过这些点，并在每一点采样一次，圆半径为d，信号传播速度为c，方向以y轴正向为0°，向右为正。以原点o为参考点，阵元1在正下方初始位置时对θ方向信号的时延记为τ1θ，则有：

当阵元1旋转到第k(k= 1,...,m)个点时，其时延用τ1k− θ表示，并有：

式中，Δt表示阵元1从一个点旋转到下一个点所用时间，ϕ1k表示第k个点对应的角度。记：

根据2.1节对阵列流型向量的定义，则对于θ方向，其阵列流型向量为：

若基阵不旋转，阵列流型向量是4维列向量，加入旋转后为4m+4维列向量，相当于具有4m+4个阵元。然后根据文献[8]，利用压缩感知理论进行DOA估计，通过将空间角度划分，得到每个角度的阵列流型向量，阵列流型向量组成阵列流型矩阵，再根据式（10）或（11），利用重构算法得到信号方向。

假设阵元1在旋转过程中，在初始点和11,12,…1m点实际的采样信号为：

同理阵元2、3和4在旋转过程中的采样信号为：

通过式（21）~（24），构造阵列在一次快拍中的采样信号列向量：

将y(t)看作观测向量，接下来构造观测矩阵。将空间角度划分为N个角度，分别记为θ1,...,θN，如果N足够大，可认为所有信号来源方向与这些划分的角度相重合，并且假设这些划分角度上实际信号为s1(t),...,sN(t)。则由式（9）可得：

考虑噪声的影响，再由式（11）可得：

式（27）构成一个压缩感知数学模型，y(t)为观测向量，A为观测矩阵，S为待重构的信号列向量，n为阵元噪声列向量。通过这个模型并且利用压缩感知理论中的重构算法可以最大限度地恢复信号向量S并且构造方位空间谱来判别信号来源方向。

2.3相关性分析

在基阵未旋转时，将空间角度划分为360个角度，从−180°到179°，信号速度为1 500 m/s，将阵列流型矩阵归一化。以0°方向阵列流型向量与其它方向阵列流型向量做相关分析，用Matlab计算得到图2、图3（下文中，图2~图8中的横坐标均表示方向，图2~图5中的纵坐标表示相关性系数）。

图2　未旋转时相关分析（d=1 m)

图3　未旋转时相关分析（d=2 m)

通过基阵旋转后，若阵元1从初始位置旋转到阵元2所在初始位置时所用时间为1 s，中间插入89个点，相当于一共360个阵元，得到阵列流型矩阵并归一化，仍选择0°方向与其它方向做相关分析，用Matlab计算得图4、图5。

图4　旋转后相关分析（d=1 m)

图5　旋转后相关分析（d=2 m)

从图2和图3来看，其相关性非常差（接近1），在与0°方向靠近的方向基本相干，随着阵元间距的增加，相关性变差。从图4和图5来看，相关性明显改善，锋度明显变尖，与0°方向靠近的方向相关性也很小，随着阵元距离增大，相关性也越来越小。理论上，加入旋转后，阵元数可虚拟为360个，阵列流型矩阵最多有360列相互正交，但如何设计出相互正交的阵列流型矩阵是一件很困难的事情。

3　计算机仿真

基于上面讨论的模型，令圆半径为1 m，将空间角度划分为360个角度，从−180o到179o，信号速度为1500 m/s，假设两个分别来自0o和3o方向、信噪比为10 dB的高斯白噪声信号，利用正交匹配追踪算法，Matlab仿真结果见图6、图7。

根据文献[8]，若不加改善，只能对单个信号测向，对于多个信号是无能为力的。旋转后如图6和图7，不但可以对多信号测向，还具有较高分辨率。若同时存在5个信号，方向分别为：−100o、100o、−10o、10o和0o方向，加上10 dB的高斯白噪声，利用正交匹配追踪算法，Matlab仿真结果见图8。

图6　0o和3o方向

图7　放大图

图8　−100o、100o、−10o、10o和0o方向

对于其它测向方法，一般存在这样一个事实，就是信号个数小于阵元个数时，才能有效进行阵列DOA估计。图8说明，通过旋转基阵，可以实现在信号个数大于阵元个数时，对多信号进行测向，提高了阵元DOA估计的效率。

4　总结

本文提出一种通过旋转基阵方法增加虚拟阵元个数，提高阵元DOA估计效率的方法。通过该方法，提高阵列流型向量维数，使归一化的阵列流型矩阵相关性变小，在压缩感知理论中，作为观测矩阵更加合适，对多信号能有效进行DOA估计，并实现了当信号个数大于阵元个数时，对多信号进行DOA估计，且有高分辨率。该方法也存在不足，首先是基阵在旋转过程中，阵元要不断接收信号，意味着信号在这期间必须存在，这限制了其使用范围及使用背景，如对持续时间极短的脉冲信号无法测向。其次由于旋转增加虚拟阵元个数，导致恢复算法计算量的上升。该文仅讨论了来源信号为窄带远场信号，当信号为宽带或者近场时，该方法是否仍然实用，是接下来的研究任务。

参考文献：

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