基于蒙特卡洛模拟的资产组合选择模型

李 翔，刘少波

（暨南大学a.金融研究所；b.经济学院，广州510632）

0 引言

资产组合选择模型的研究最早可以追溯到Markowitz(1952)的均值—方差模型。这一模型的提出不仅在金融理论界得到很大反响，也在金融实践业得到广泛应用。在随着研究的深入，均值-方差模型有了很多改进和扩展：Merton（1971）研究了带有消费的连续时间模型；Koo（1995）把劳动者的收入考虑到资产组合选择模型中；Leippold et al.（2004）首先把债务考虑到均值-方差模型，他们在M-V模型下研究了提出了多期资产债务的管理问题，得出准确的最优策略并在几何路径的假设条件下求出有限边界；谢蜀祥等（2008）利用随机的线性-方差控制技术研究了基于多种风险资产和单一债务的不完全市场下的连续时间均值-方差模型。

尽管国内外的学者经过半个世纪对资产组合模型进行大量的研究和扩展，然而这些研究工作尚存在许多值得深入的地方。本文研究的资产组合选择模型是基于一年期下的两种风险资产和单一债务的连续时间均值-方差模型，方法上采用在金融实务界有广泛应用的蒙特卡洛模拟技术。本文的贡献主要有以下几点：首先，对于资产价格随机游走假设中常系数估计问题，提出采用Kalman-Bucy滤波求解；其次，扩展了资产组合选择模型的应该范围。一般的资产组合模型都属于静态范畴，本文将资产的价格波动考虑到资产组合选择模型中。同时，本文在分析投资者进行资产组合选择时，将投资者年初具有的债务也考虑进去，并且假设投资者的债务与市场利率和资产组合相关。

1 模型建立

首先假设市场中可供选择的资产组合有三种选择：无风险资产、两种相互独立的风险资产和债务。债务的选择主要是考虑在投资实践中的完备性，在本文中所考虑的债务不同于一般意义下的债务。投资初期进行借债投资只是本文考虑的总债务的一部分。假设投资的期限为一年，在投资期间不可借贷投资，但投资期的债务价值受市场利率和资产组合的总价值的影响。

1.1 无风险资产

无风险资产一般指一年期国债和银行一年期存款。假设无风险资产的价格A0是按以下的常微分方程的路径变化的：

其中rt是无风险利率，采用月无风险收益率衡量。假设rt满足CIR利率模型

其中 α＞0，β＞0，σ＞0，σ2表示月无风险利率的方差。

1.2 风险资产

风险资产一般指股票和公司债券等高风险资产。本文假设只有两类风险资产且价格过程相互独立，假设风险资产的价格A1，A2是服从以下随机微分方程的路径变化的：

1.3 债务

对于一个投资者，当市场利率下降时会借入资本再投资别的投资项目；假设当风险资产价格上升时也会借入资本再投资于风险市场。故在投资期可能由于市场利率上升导致投资者的浮动债务额的上升。本文假设借入的资本不进行再投资，年初投资年末收益，期间不进行再操作。定义Lt为投资者累计到时刻t时的债务总额。通过上述分析，可知债务变化dLt满足以下随机微分方程：

其中k＜0，ρ＞0。k定义为当资产总额不变时，单位市场利率的变化所导致的负债总额的变化；ρ定义为当市场利率不变的时候，单位资产总额的变化所引起的债务总额的变化。

1.4 投资的净资产总额

本文假设投资者一年期内没有收入和消费，在市场进行交易时无交易成本且市场无摩擦。定义xt为投资者在时刻t的净资产总额。这样净资产总额的变化dxt为很短的时间区间内，所持有的各种资产总额的变化与所负债的总额的变化的差，即表示为：

2 模型系数估计

2.1 随机微分方程常系数估计

CIR利率模型中系数的估计已引起国内外大量学者的研究，主要有以下两种：Nowman(1997)提出的最大似然估计法(MLE)对上述利率动态模型进行估计；第二种就是无损卡尔曼滤波估计方法。而本文采用Kalman-Bucy滤波结合随机微分分析估计其系数。

证明略。

本文接着利用我国月无风险收益率数据估计CIR利率模型中常系数。首先，本文选取时间区间为1988年9月到2010年4月。σ的计算方法采用求无风险收益率的方差来代替σ2=5.06*exp(-7)=0.0046。m的处理采取试探MC法，分别赋值m=1.8 1.9 2.0 2.1 2.2。最后根据性质1的结果，得出β的无偏估计量：

表1给出m赋值下的α，β的无偏估计结果。通过中国22年的月无风险收益率的数据分析得出的结果发现α，β均为负值，这与CIR模型的假设不符合。当m的值逐渐增加时，α，β均逐渐增加。这可能与m=1.92为初值假设错误有关，以及算法不精确造成的。

表1 m的试探MC法的α，β估计结果

2.2 对于风险资产价格波动系数的假设

为了模拟A的路径，可以将一年期限分割成12个长度为每月的区间，并采用下等式代替：

其中Δt代表每月的变化，ε是期望值为0，标准差为1的正态分布中的抽样。

由伊藤引理，lnA服从的过程为

3 例证

在这个部分，本文将给出一个例子来验证模型的正确性，并将结果与采用随机线性-方差控制技术的结果进行比较分析。首先考虑一个投资者在银行存款，公司债券和股票三者进行决策。假设无风险资产的月收益率和波动率为0.001171和0.0678，而第一种风险资产的月收益率和波动率分别为0.0081和0.255，且第二种风险资产的月收益率和波动率分别为0.0123和0.482。故根据方程（5）可以得出两种风险资产的每月的价格为：

其中t=1，2...12，假设 A1(0)=A2(0)=1。

关于债务变化的系数，本文假设k=-1，ρ=0.1。根据（4）式得出净资产的变化：

通过对资产价格、净资产的变化和CIR利率模型的数学表述，本文给出了资产组合选择模型的净资产的变化递归表达式：

对于净资产的一年后的价格，通过净资产的变化递归表达式进行蒙特卡洛模拟得到。

令初始资产的价格均为1，r（0）=0.001171初始无风险利率。本文模拟次数为n=1000，时间区间为一年（12个月），即每一个模拟过程有12个间隔。

MC的模拟结果如下：

作为一般的投资者都希望资产收益率固定的时候，风险即方差最小。这样就转化为带条件的二次规划问题的求解：

其中c表示投资者希望一年后的净资产收益率。

假设投资者希望一年后的收益率为10%，可以求解出上文的最优解。在预定年收益率10%的情形下选择7%的比例资产投资到无风险资产，76%的比例的资产投资到风险资产A1，17%比例的资产投资到风险资产A2。根据谢蜀祥（2008）采用随机线性-方差控制技术(随机LQ控制技术)的方法，本文也得出了其最优组合结果，结果与本文的结果比较可见表2。可以得出，当假设投资者希望一年后的收益率为10%，在两种方法下的决策是不同的：

表2 MC估计和随机LQ控制技术下的最优资产组合比较

在投资者期望一年后收益固定在10%的技术上两种方法所得到的结果略有不同，MC模拟的结果倾向于风险资产波动率较小的一个，而LQ方法则倾向于选择风险资产波动率较大的一个。这可能的原因是蒙特卡洛模拟的结果中的随机数生成的不确定，而LQ方法优势是在于确定理论上的投资的随机边界，而对于实际的市场变化，蒙特卡洛模拟的结果更接近于现实。

4 结论

债务被引入到M-V的资产组合选择模型，已经得到很多金融学者和金融实务界的广泛研究和讨论。主要存在分歧的地方是债务的分析问题，Chiu,Li(2006)指出债务在模型中假设是服从布朗运动的。在本文模型中，更符合金融市场的实际假设，债务是与市场利率和资产价格变化相关的。

在本文分析中使用了随机滤波来估计随机过程的常系数，这样便以结合实际数据使用蒙特卡洛模拟资产收益变化。金融模型能够完美的应用到金融实务中一个很大的阻碍就是模型的不合理假设。在本模型中，有一些假设值得斟酌，比如债务变化方程中的系数假定。由于本文使用的蒙特卡洛模拟的计算过程太复杂，将导致实际应用中的很多不便。因此，进一步的研究方向是，采用实证的方法更精确的估计模型系数和采用方差控制技术改进蒙特卡洛模拟的效率。

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