函数图像——连接物理和数学的桥梁

赵爱冬（江苏省南京市新城初中黄山路分校210019）

函数图像
——连接物理和数学的桥梁

赵爱冬（江苏省南京市新城初中黄山路分校210019）

数理不分家，利用数学函数图像来解物理题尤其验证了这一点。数学函数图像具有形象、直观的特点，图像中的横坐标和纵坐标上有很多点，能够动态显示物理变化的详细过程，可以清晰表示物理实验过程中两个物理量之间的变化规律，使物理问题简化明了，数据一目了然，而且使抽象的物理概念形象化，枯燥的数据以线条呈现便多了一些灵动，更重要的是它能将物理学科与数学有机地结合起来，增强学生综合运用知识的能力。

物理数学函数图像

在学习物理的过程中，我们经常有这样的体验：物理量之间是遵循一定的规律的，有些是定性的规律、有些是定量的规律，而这些规律通常可以用描点法将若干组相关的物理量分别在数学的横坐标和纵坐标上进行标注，从而画出比较完整的函数图像，利用图像的视觉感知和初中学生的数学基础作铺垫进行定性的科学推理和定量的科学推算，利用数学函数图像解物理题的优点，不仅可以直接求出或读出某些待求物理量，还可以用来验证某些物理规律，测定某些物理量，分析或解决某些复杂的物理过程。

一、利用函数图像反映物体的运动规律

初中物理的运动学部分相对比较简单，一般只讨论匀速直线运动的情况，所以图像相对也是特别便于学生观察，属于中考的基本题型，在教学中，只要让学生对横坐标和纵坐标所分别表示的物理量充分了解，再结合具体的图线形状，就不难迅速正确找到答案。

例题1：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，他怕耽误上课，就比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）与时间t（min）的关系的图像，那么符合这个同学行驶情况的图像是（）

分析：四个图像均是路程-时间图像，反映的是随时间的推移路程的变化情况。题干中的关键步骤是：先匀速后停止再匀速，只要认真阅读题目、仔细观察图像之后就不难得出结论：A是先匀速后停止，B是先匀速后匀速，D是先匀速后倒退再匀速，所以正确答案是C。

二、利用函数图像了解物质的基本属性

初中物理对于物质的物理属性有其独特的解读方式，有时候我们借助于函数图像来帮助学生加深理解，提升学生思考问题的深度、拓宽学生理性思维的广度。利用函数图像，一些物质的物理属性变得一目了然。

例题2：水具有反常膨胀的特性。如图所示为水的密度在0℃～10℃范围内随温度变化的曲线。根据图像可知，温度等于℃时，水的密度最大；在0℃～4℃范围内，水具有（填“热胀冷缩”或“热缩冷胀”）的性质。

分析：物质通常具有热胀冷缩的性质，但也有例外，利用如图所示图像，我们可以形象地了解水这种常见物质的不常见的性质，图像中在0℃～4℃范围内，水的密度随着温度的升高反而在增大，说明在水的质量一定时，水的体积在缩小，导致水的密度在增大，而在温度大于4℃的情况下，水的密度又变得像通常的物质一样，温度越高，体积越大，密度越小。这种密度先变大又变小的过程当中必然有一个最大值，也就是说当温度为4℃时，密度最大，体积最小。

三、运用函数图像描述物理量之间的关系

运用数学函数图像可以体现物理学中的一些研究方法的精髓，比如控制变量法，当某个物理量一定时，用数学函数图像可以直接看出另两个物理量之间的关系，是成正比或反比。这是数学在物理中的重要应用，弄清两个坐标轴各代表什么物理量，从图像所反映的图形形状来确定两个物理量之间的关系。

例题3：两定值电阻A、B中的电流与电压关系如图所示，现在将A和B串联后接在电压为3V的电源两端，下列分析正确的是（）

A．A的电流大于B的电流

B．A的电阻值大于B的电阻值

C．A两端的电压大于B两端的电压

D．A消耗的电功率小于B消耗的电功率

分析：如图所示，无论电阻A还是电阻B，电流随电压变化的图像均为正比例函数，电压与电流的比值始终不变，其比值等于该电阻的阻值

A：两电阻串联，电流相等，所以A错误

B：A的电阻为5Ω，B的电阻为10Ω，所以B错误

C：根据串联分压的特点，电阻越大，所分得电压越大，所以C也是错误的

D：根据电功率计算公式P=UI，可知电流相同，甲两端电压较小，所以D是正确的

在探究欧姆定律时，我们分两个步骤进行，一个是在导体电阻不变的情况下，研究通过导体的电流与导体两端电压的关系：另一个是在导体两端电压不变的情况下，研究通过导体的电流与导体电阻的关系。通过图像来解决类似的问题，形象直观，一目了然，方便快速地找到物理量之间正比或者反比的关系。

利用例题3可以将选择题改编为填空题：两定值电阻A、B中的电流与电压关系如图所示，现在将A和B串联后接在电压为3V的电源两端，则此时电路中的电流为________A，A和B消耗的电功率之比为_______。

分析：如图所示，用图像来解题，关键是看物理量之间的关系，由于两个电阻是串联，所以电流相等，那么当电流为0.2A时，A电阻和B电阻两端的电压分别为1V和2V，相加为电源电压，所以电路中的电流只能是0.2A；由于从图像中可知AB电阻之比为1∶2，所以功率之比为1∶2。

类似这样描述物理量之间关系的还有燃料完全燃烧放出热量与燃料质量的关系；物体所受浮力与液体密度和浸在液体中体积的关系；同种物质质量与体积的关系；路程与时间、速度的关系等，都可以用函数图像找出相关物理量之间的函数关系。

四、巧用函数图像进行动态电路的相关计算

动态电路的计算是初中电学的难点，受学生计算能力、应变能力、综合分析能力等的限制，学生在进行动态电路的相关计算时往往觉得自信心不足，各种变量纠结在一起，很难理出头绪，在考虑哪些物理量是定值，哪些物理量是变化的，又遵循怎样的变化规律这些问题时不容易考虑全面，经常会忽略一些重要的条件，导致失误。

例题4：如图所示是电阻甲和乙的U-I图像，下列说法中不正确的是

A．当电路中电流为0.5A时，甲乙电阻两端电压相同

B．当电路中电流增大时，电阻甲电阻不变，电阻乙电阻变大

C．甲、乙串联在电路中，当电路电流为0.2A时，电源电压为3V

D．甲、乙并联在电路中，当电源电压为2V时，电路总功率为1.2W

分析：甲图像是一条直线，表示电阻甲是一个定值电阻，而乙图像是一条曲线，表示电阻乙是一个变化的电阻，利用图像中已经有的一些数据进行简单的计算，如对于两条图线的交点的理解，电路中电流相同时的数据处理和电压相同时的数据处理，我们发现ACD都是正确的，仅仅B是无法直接判断的，我们可以用排斥法进行选择。

但是如果学生掌握了对于这种图像题的另外一种处理方法，则在完成这道题时则更加确信无疑，这种方法就是赋值法：当电路中电流为0.1A时，乙电阻阻值为15Ω；当电路中电流为0.2A时，乙电阻阻值为10Ω；当电路中电流为0.4A时，乙电阻阻值约为6Ω，所以当电路中电流增大时，乙电阻的阻值是变小的，这样从另一个角度验证了选择的正确性。

五、函数图像在物理解题中有许多优点

所以，我们在教学过程中要着重从以下方向对学生进行方法的指导。

（一）明了图像中横坐标和纵坐标所对应的物理量的特殊含义

必须先搞清楚纵坐标和横坐标所代表的物理量的名称单位，然后明确要描述的这两个物理量之间的逻辑关系，最后从物理意义上去认识图像。从图像的形状和变化规律总结物理过程的特征，通过物理方法的训练，使学生能正确利用图像解决问题，从数学的角度去理解物理问题，比较符合学生的认知习惯，毕竟学生从小学开始学习数学，已经有了相当的基础，而且教学中的先入为主在教学中是很正常的种现象。所以巧妙运用学生在数学中的优势来顺应物理教学的要求，可谓顺势而为，事半功倍。

（二）巧妙利用图像中的数据，让数据说话

在教学过程中，教师是非常垂青于数据的，而学生也尤其对数据情有独钟，由于图像题中横坐标和纵坐标上含有若干组数据，如何将这若干组数据进行有效查找和正确计算，利用学过的物理知识或者与其他学科知识的整合，从中发现物理量之间的变化规律，成为利用图像解物理题的关键所在。在利用数据进行计算时，一般有三种情况，一种是通过计算，发现利用横坐标和纵坐标所反映出来的物理量一个定值，也就是说图线一条直线，是数学中的正比例函数；还有一种是计算出来的物理量是遵循一定的规律变化，二次函数图像或者是反比例函数图像，增大或者减小都是与相应的物理知识能够有机联系的；第三种则是不规则的图线形状，往往与物质的状态、温度等有着不可分割的关系。

（三）熟练运用图像解析法，举一反三、触类旁通

图像解析法是有规律可循的，对其本质有了深入的理解之后，可以起到举一反三、触类旁通的作用，类似的题型往往一看就会，不需要多花时间，只在细心地找到切入点，将这个点所对应的两个物理量进行处理，相应的物理公式和基本概念运用得当，就可以快捷准确地找到正确答案。在平时的教学训练中，教师要经常收集一些有关图像的题目让学生加以训练，文字题容易让学生产生疲劳的感觉，视觉上比较单一，一行又一行的字没有什么变化，如果能够适度插入一些动态的图像题，让学生眼前一亮，精神为之振奋，学生如果能够深刻体会到图像法解题的妙处，那么学习的兴趣和解题的自信心则会大增，这比任何灵丹妙药都有用。

总之，运用函数图像解物理问题是深受学生喜欢的一种解题模式，在物理课上教师用数学方法来解决物理问题时，学生经常会嗔笑道：“这你也懂！”，数学教师在讲题时涉及物理知识，学生也会插言道“物理老师刚刚讲过！”可见数理结合的方式已经成为学生喜闻乐见的一种教学惯式，函数图像法作为解决物理问题的一种重要手段，要求教师在平时的教学中善于培养学生识图、建图、用图的能力，努力提高学生的读图能力、查找数据的能力、归纳总结的能力、计算推理的能力和逻辑思维的能力。

刘炳昇，李容.《物理》义务教育教科书[M].江苏科学技术出版社，2013（6）.

（责编 赵建荣）