定积分在物理中的简单应用

李立真（河北省平乡县实验中学054500）

定积分在物理中的简单应用

李立真（河北省平乡县实验中学054500）

在物理中的某些量是不规则或不均匀的，求解时会出现困难。必须通过其他的方法进行简化，才能解决此类问题，本文主要介绍定积分常常能解决物理中一些实际问题的应用。首先介绍定积分的应用简述，其次定积分的定义，然后列出“微元法”在物理实际问题中的使用的条件，求解的过程以及注意的事项，最后列出四种相应的物理模型进一步分析说明此种应用。定积分解决实际问题的基本思想“分割——近似代替——求和——取极限”，定积分实际上就是无穷多个“微元”累加求和，“微元求和”的思想，就是定积分的实质，这种解决问题的方法通常称为“微元法”。

定积分微元物理应用

一、前言

数学是物理学家的思维工具,只有通过数学才能以精确形式表达自然规律。只有通过数学才能抓住错综复杂的变化过程找到最基本，最普遍的规律。例如，没有微积分，牛顿得不出万有引力定律；没有对数，开普勒难以建立天文学的重要规律——开普勒三定律。总之，物理学的发展离不开数学，而数学的发展也和物理学密切相关。定积分是积分学的一个重要概念，自然科学与生产实践中的许多问题都可以用定积分解决，在物理问题中求电功率、不均匀细杆的质量、电场强度、转动惯量、功、水压力、路程、平均速度等。上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：化曲为直，以不变代变，无限近似，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广泛性。

二、定积分及其应用

（一）定积分的应用简述[1]

定积分解决物理中实际问题的关键在于微元法，微元法作为一种科学方法，在普通物理中的力学、电学中有非常广泛的应用。定积分的本质是“分割取近似、求和取极限”。微元法就是通过分割，把整体的一个大问题转化为局部多个小问题，近似地求出被分割每个局部范围内的各部分变量，然后相加，再取极限，最后得到整体量。这就是微元法的本质，从而使这类复杂物理问题的分析、解决变得简化、简单。

（二）定积分的定义

（三）微元法使用的条件及注意事项[1]

微元法研究的物理量应满足的条件

1.u是与一个变量的变化区间[a，b]有关的量；

2.u对于区间[a，b]具有可加性，即u是[a，b]的各小区间内的du之和(代数和或矢量和)；

3.微分量du是一确定函数f（x）与dx之积，即du=f（x）dx。

在物理学中，只要满足以上三个条件的物理量都可以使用微元法对整体的这个物理问题分割、分析、计算处理。应用微元法，可以将总体上分布不均匀的物理量通过分割转化为局部上分布均匀的物理量，可以将总体上变化的物理量也可以通过分割转化为局部上不变的物理量，从而使物理问题的处理变得简化、简单，这正是微元法在普通物理学中广泛应用的重要原因。

其中应用微元法要注意以下几点。

第一，若积分变量与被积函数中的变量不一致时，则应根据问题的物理意义或各量之间的几何关系进行积分变量的代换、区间[a，b]的相应转换后方可进行积分运算；第二，若du是矢量，如d等，可考虑先将du沿坐标轴方向正交分解，如得到dux、duy后，并分别积分求出u的分量值ux、uy值，再利用矢量合成法则算出矢量u的大小和方向；第三，u值积分结果，根据具体物理问题可能是某一具体数值或函数。

（四）例题说明

下面就几个典型的物理问题，进而说明定积分在物理中的重要作用。

1.交流电的电功率[2]

有电工学知，电流强度为常数I的直流电通过纯电阻R时，消耗在R上的电功率P=I2R，经过时间t消耗在R上的电功为W=Pt=I2Rt，但是对于交流电，由于电流强度i=i（t）不是常数，不能直接用上述公式计算。设电流强度的周期为T，先计算电流i=i（t）在一个周期内消耗在纯电阻R上的功W。取t作为积分变量，它的变化区间为[0，T]。任取小区间[t，t+dt]⊂[0，T]，用时刻t的电流i（t）来近似代替这个小时间段上其他时刻的电流，即得功元素dw=i2（t）Rdt，于是W=（t）Rdt，从而交流电i=i（t）在一个周期T内的平均功率

例1：设交流电i（t）=Imsinwt，其中Im是电流的最大值（峰值），w为角频率，周期为T=2π/w，计算i（t）通过阻值为R的纯电阻电路时的平均功率。

解：由上述的推导公式，所求平均功率为

作变量代换u=wt。当t=0时，u=0：当t=2π/w时，u=2π，于是有

2.求不均匀细杆的质量[3]

由物理学知，如果直细棒是均匀的，即它的密度是个常数

图1

解：按照上述的方法把金属棒分成无数的线元dx，

由于金属棒的长为b，所以积分区间为[0，b]，由此可得单位质量dm=u（x）dx，在区间[0，b]积分得到整个金属棒的质量

[1]陈殿杰，李远东编.高等数学（第二版）[M].重庆大学出版社，1996（6）：221-248.

[2]马文蔚.物理学(中册)[M].高等教育出版社，1999（11）：128-168.

[3]马文蔚，谈瀚梅.物理学(学习指南)[M].高等教育出版社，2001（11）：196-210.

（责编 赵建荣）