经典平差与赫尔默特方差分量估计法平差的适用性分析

郭军强　李群科

(铁道第三勘察设计院集团有限公司，天津　300251)

The Different on Classical Adjustment and Helmert of Survey Network

GUO Junqiang

LI Qunke

经典平差与赫尔默特方差分量估计法平差的适用性分析

郭军强李群科

(铁道第三勘察设计院集团有限公司，天津300251)

The Different on Classical Adjustment and Helmert of Survey Network

GUO Junqiang

LI Qunke

摘要针对铁路工程测量中的单一附合导线、双导线网和CPⅢ平面网不同的网形特点，分别采用经典平差和赫尔默特方差分量估计法两种平差方式对工程实例数据进行平差计算，对比其平差后坐标成果、精度指标等，进行理论及适用性分析研究。

关键词铁路工程测量测量平差方差分量估计经典平差赫尔默特

在铁路工程平面边角测量平差中，选用不同的平差模型和平差定权方法，会导致计算结果有一定的差异，只有针对不同的网形选用合适的平差方法，才能客观地评价测量精度，得到合理可靠的平差成果。对于一个平差问题，首先需建立数学模型。数学模型包括函数模型和随机模型两类。描述观测量之间或者观测量与未知参数之间相互关系的函数表达式称平差函数模型，描述观测误差的一些随机特征称随机模型。数学模型经过长时间的发展、改进，已经比较成熟，目前的关键是只有精确得到随机模型参数才能准确在平差计算中定权。随机模型的确定有两种方法：验前方差和验后方差，经典平差和赫尔默特方差分量估计法就是分别基于这两种计算方法而建立的。针对单一附合导线、双导线网和自由测站边角交会网(CPⅢ网)等不同的网形，分别采用经典平差和赫尔默特方差分量估计法两种方式对铁路工程中的实例数据进行平差计算，对平差后的坐标成果、点位中误差、方向中误差、距离中误差等精度指标进行对比分析，从理论和实际计算数据上，对两种平差模型的适用性进行分析研究。

1平差数学模型

1.1　经典平差数学模型

经典平差一般指条件平差、间接平差、附有条件的间接平差、附有未知参数的条件平差、附有限制条件的间接平差等五种平差模型，附有限制条件的间接平差模型本身就是其余四种模型的概括模型。其数学模型为

(1)

(2)

式中，l=L-AX0为误差方程的常数项；X0为网中各点的近似坐标，X为X0改正数，X2为网中稳定点的近似坐标的改正数。由于经典平差视起算点为稳定的、不改变的，所以式(2)变为

(3)

导线网中各点的近似坐标平均数等于其平差坐标平均数，经典平差为满秩方程，所以其实际上为以起算点数据为基准的假设坐标参考系。由式(1)、式(2)可知，经典平差针对单一的同类观测量平差是精准、可行的。

1.2　赫尔默特方差分量估计法数学模型

赫尔默特方差分量估计法的基本思想是：先对观测数据根据先验值定初权，进行预平差，根据预平差得到的各类观测量的改正数信息，采用一定的原则对各类观测值的方差和协方差估算，依此定权，经过N次迭代计算，直至其角度、距离等多种观测量权数分配合理后进行最终平差(目前比较通用观点是角度和距离的权数接近1∶1为宜)。

赫尔默特方差分量估计公式

(4)

其中

根据测量等级和精度的要求，赋予迭代计算的限值为迭代终止标志。

由上分析可知，在赫尔默特方差分量估计法中，方差分量估值与平差网中的自由度有关，当自由度较大，或者换言之多余观测量较多时，方差分量的估值才是可靠的。

2单一附合导线两种平差模型的对比分析

单一附合导线的特点是观测量较少，仅为设站点、前后视各点之间的角度和距离观测量。图1为单一附合导线示意。该单一附合导线中方向、距离观测数为32个，方向多余观测分量总和为2.03，距离多余观测分量总和为0.97，自由度为3。

使用经典平差与赫尔默特方差分量估计法分别对该单一附合导线进行平差后，坐标成果最大较差为3 mm，精度指标对比见表1。

从表1可知，赫尔默特方差分量估计法平差计算结果的最大方向中误差、最大距离中误差、最大点位中误差都较大，分别为经典平差计算结果的1.7倍、2.6倍和1.87倍，最弱边相对中误差近似是后者的2/5，说明在单一附合导线平差中经典平差可靠度和精度要优于赫尔默特方差分量估计法。

3双导线网两种平差模型的对比分析

在长大隧道中需要布设双导线网，其每测站有4个方向的观测量，有一定的多余观测值。图2为双导线网示意。该双导线网中方向、距离观测数为382个，方向多余观测分量总和为125，距离多余观测分量总和为64，自由度为189。

使用经典平差与赫尔默特方差分量估计法分别对该双导线网进行平差计算后，坐标成果最大较差为5.10 mm，精度指标对比见表2。

从表2可知，赫尔默特方差分量估计法平差计算结果的最大方向中误差、最大距离中误差、最大点位中误差与经典平差计算结果相近，最弱边相对中误差近似是后者的2/3，说明在双导线网平差中经典平差可靠度和精度略微优于赫尔默特方差分量估计法，两者效果近似相等。

4自由测站边角交会网(CPⅢ网)两种平差模型的对比分析

CPⅢ平面网要求每个测点至少有单独的3次观测，其多余观测较多，自由度较大，图3为CPⅢ平面观测网示意。选取某高铁CPⅢ平面测量网进行比较计算。所选网中方向、距离观测数为1 032个，方向多余观测分量总和为235个，距离多余观测分量总和为342个，自由度为576。

使用经典平差与赫尔默特方差分量估计法分别对该CPⅢ平面网进行平差计算后，坐标成果最大较差为0.8 mm，精度指标对比见表3。

比较可知，赫尔默特方差分量估计法平差计算结果的最大方向中误差、最大距离中误差、最大点位中误差都较小，分别为经典平差计算结果的0.64倍、0.58倍和0.68倍，最弱边相对中误差近似是后者的1.2倍，说明在自由测站边角交会网(CPⅢ网)平差中赫尔默特方差分量估计法的可靠度和精度要优于经典平差。

5结论

经典平差采用对单一的同类观测量进行先验值定权平差，适用于观测类较少的单一附合导线平差计算；赫尔默特方差分量估计法从先验值出发，预平差后调整先验值，确定方差估计值后再定权，进而进行平差计算，只有在观测量较多，自由度较大时其计算出的方差估计值才是精确、可靠的，所以赫尔默特方差分量估计法适用于精度要求较高、平差网形较大且多余观测较多的平差计算。对于一般双导线网，只要外业观测指标合格，两种平差方法精度指标相当，经典平差精度指标略优于赫尔默特方差分量估计法，但是两者计算结果相差不大，均能满足工程需要。

参考文献

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中图分类号：P207

文献标识码：A

文章编号：1672-7479(2015)05-0013-03

作者简介：第一郭军强(1983—)，男，2006年毕业于中南大学土木工程专业，工程师。

收稿日期：2015-08-21