牛顿第二定律成立的惯性系有选择性吗？

黄健康

摘   要：在解答一道习题的时候，一些教师认为牛顿第二定律成立的惯性系有选择性。本文通过探究和推导，反驳了这种观点。

关键词：牛顿第二定律;惯性系;选择性

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2015）1-0043-2

牛顿第二定律是实验定律，作为其径向分解式的向心力公式，它的适用条件也应是宏观、低速、惯性参考系（下文简称惯性系）。但是，在以下一道练习题上，一些教师在解答学生疑问的时候，认为牛顿第二定律成立的惯性系具有选择性。笔者觉得有必要进行一番探讨。

题目  如图1所示，有一半球形小车质量为M，球半径为R，放在光滑的水平面上。现有一光滑小球质量为m，贴着光滑的球面从半径边缘自由滑下，求小球滑到最低点时对小车的压力。

图1  小球在光滑球面滑下

解答  设小球滑至最低点时，小车、小球相对地的速度大小分别为u、v。

系统水平方向动量守恒Mu-mv=0 （1）

系统机械能守恒mgR=  Mu2+  mv2   （2）

小球最低点处向心力N-mg=m  （3）

由（1）（2）（3）式可求得压力

N'=N=mg [1+  ]

面对上述解答过程，一些物理拔尖的学生会提出两个问题：

①为什么向心力公式N-mg=m  中的速度必须代入u+v？

②第（3）式是选小车为参考系列出的式子，为什么不选地面为参考系呢？

一些教师在解答第一个问题的时候，会告诉学生，向心力公式中的速度和转动半径具有相对性。而在解答第二个问题的时候，认为牛顿第二定律成立的惯性系带有选择性。本题若选地面为惯性参考系，便无法求出压力大小，且容易列出N-mg=m  这样错误的式子。

这样的回答笔者认为是错误的。本题之所以选择小车为惯性参考系，是因为小球对小车参考系是作圆周运动，而对地面不是作圆周运动。下面我们不妨选择地面为惯性系，了解小球相对地面运动情况，进行探究和讨论：

如图2，过初始状态下小车圆轨道的圆心O建立直角坐标系xOy。由于小球下滚过程中，小车凹槽会向左平移。经过t秒，小车凹槽左边界点A、圆心点O和右边界点B会分别运动到A′、O′、B′处。设小车、小球这段时间内水平运动位移大小分别为S1、S2，此时小球运动至C（x，y）位置处。

图2  以地面为参考系

由图2中的几何关系可知

x=S1+  （4）

S1+S2+  =R（5）

系统水平方向平均动量守恒，

M·  =m·  （6）

由（4）（5）（6）式可得：

+  =1（7）

上面所得的（7）式是一个形如  +  =1的椭圆方程，故小球实际对地运动的轨迹为椭圆轨迹的下半部分。

令x0=  ，a=  ，b=R，并考虑椭圆  +  =1的下半部分，有

y=-    （8）

通过查阅高等数学教材，可知椭圆最低处轨道曲率半径公式为r=  。

对（8）式求一次导数和二次导数，可知y'=  ，y''=  。

当小球滑到最低点处时，x=x0=  ，y=b=R，此时y'=0，y''=  。故该点处轨道曲率半径r=（  ）2R。

由（1）（2）两式可求得v=  。将求得的r、v代入向心力公式N-mg=m  ，可求得N'=N=mg[1+  ]。

从上述推导可以看出，以地面为参考系和以小车为参考系，所求得的结果是完全相同的，牛顿第二定律成立的惯性系并不具有选择性，区别仅在计算的繁和简上。

参考文献：

[1]温黎明.椭圆曲率半径的四种求法[J].中学生数理化·教与学，2009，（12）：121.

[2]王化银.向心力公式在不同参考系中的正确运用[J].物理通报，2014，（7）：75.

[3]张子罗.巧解惯性教学中的两大难题[J].物理教学探讨，2011，（5）：38.

（栏目编辑  罗琬华）