浅谈数形结合的两种途径

蔡丽娟

摘 要：“数”和“形”是数学中两个最基本的对象，它们既是对立的，又是统一的。

关键词：数学；数形结合

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）23-296-01

“数”和“形”是数学中两个最基本的对象，它们既是对立的，又是统一的。每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形作出直观的反映和描述。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来。可以说，数形结合是一柄双刃的解题利剑，那么如何进行有效的数形转换呢？

一、由数到形的转换途径

1、借助函数图像实现数形结合

方程与不等式问题常可转化为两个函数图像的交点或位置关系的问题，并借助函数的图像和性质解决相关问题。

例1（2013年天津高考试题）已知函数 ，设关于x的不等式 的解集为A，若 ，则实数a的取值范围是

（A） （B）

（C） （D）

解：显然 为奇函数，且 ，

当 时，根据图形知 的解集为空集，不符合题意。当 时，如图所示，

则当 时，由 得

。故选A。

点评：本题综合考查了函数的奇偶性，单调性，对称性，以及由函数图像解答不等式问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题。

2、借助数与式的结构实现数形结合

许多等式或代数式都具有明显的几何意义，例如可利用平面向量的数量积及模的性质来寻求数式的几何性质等。

3、借助曲线与方程的对应关系实现数形结合

即利用解析几何中的曲线与方程的关系、重要的公式（如两点间的距离、点到直线的距离、直线的斜率、直线的截距）、定义（如平面区域）等来谋求数式的图形背景及有关性质。

4、构造几何模型

通过对数式的结构或问题的特征分析，构造出符合数式或问题情景的几何图形。如将 与勾股定理沟通，将 与余弦定理沟通等。

例2有A、B、C、D四个岛屿，现要建造3座桥将这四个岛屿连接起来，共有多少种不同的方案？

解：构建四面体ABCD，共有6条棱，根据题意，任意取3条有 种方法，其中共面的三条棱应舍去。故共有 种不同方案。

点评：本题根据问题情景构建四面体巧妙求解。

二、由形到数的转化途径

1、解析法

即建立适当的直角坐标系，引进坐标，将几何图形变换为坐标间的数量关系。

例3已知正方体 的棱长为1，点P是平面ABCD内动点，若点P到直线 的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）

A、抛物线 B、双曲线 C、直线 D、直线

解：如图所示，以A为原点，AB为 轴，AD为 轴，建立平面直角坐标系，并设点P的坐标为 ，作PE ，垂足为E，FP ，垂足为F，连结EF，则AD 平面PEF，于是，AD EF，从而|EF|=1，且PE EF。故有

，作PN CD，垂足为N，则|PN|=| -1|，依题意有

|PF|=|PN|，所以 ，化简得 ，故动点P的轨迹所在的曲线是双曲线，选B。

点评：本题不仅考查了立体几何中的点、线、面间的位置关系，而且考查了平面解析几何中求轨迹的一般方法——解析法。

2、三角法

即将几何问题与三角沟通，运用三角知识获得探求结论的途径。

3、向量法

即将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题，化抽象的几何推理为精确的代数运算。特别是运用空间向量、平面的法向量等工具解决立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题时，更是使问题的解决变得有章可循，有路可走。这方面的例子在近几年中的各地高考试卷中比较常见，这里不再枚举了。

参考文献：

[1] 梁东剑.概念教学要突出抽象的过程[J]，中学数学教学参考：上旬，2012（5）：2-6.

[2] 章建跃，数学思想方法的力量[J]，中小学数学：下旬，2013（10）：封底.