基于亚像素边缘的椭圆中心检测方法研究

杨险峰+蔡少虬+杨学友

摘要： 在椭圆边缘粗定位的基础上，根据椭圆粗定位信息及图像边缘梯度方向附近点的灰度分布特征，进行高斯拟合获取精确的亚像素边缘点，对亚像素边缘点进行最小二乘拟合，得到精确的椭圆中心位置。实验证明，该算法对椭圆中心定位精度和稳定性有较大提高，并有很好的实时性。

关键词： 边缘检测； 高斯拟合； 亚像素； 最小二乘

中图分类号： TP 391文献标志码： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2014.06.003

引言摄像机和传感器的标定是构建精确视觉测量系统的关键技术之一，在标定过程中圆形平面靶标是常用的校准靶标，圆形图像中心则为相应平面靶标的标定特征点。而圆形特征在透视投影变换中往往蜕变为椭圆，因此椭圆图像中心精确定位是视觉测量中的关键[1]。目前椭圆图像中心定位的主要方法有[24]：Hough变换法、质心法和最小二乘拟合法等。Hough变换法受参数空间离散化程度影响较大；质心法对成像图像灰度分布均匀要求较高；最小二乘拟合法针对图像的边缘点进行拟合，因此边缘点提取精度直接影响椭圆中心定位精度。本文提出了一种椭圆图像中心定位算法，该算法首先利用经典边缘检测方法中对边缘方向估计最精确的Sobel算子，对图像中的椭圆目标进行椭圆粗定位和像素级边缘定位，然后根据椭圆粗定位信息及图像边缘附近点的灰度分布特征获取精确的亚像素边缘点，最后用最小二乘法对亚像素边缘点进行拟合，求得精确的椭圆中心坐标。算法基本流程：图像预处理—Sobel边缘粗定位—亚像素边缘定位—椭圆拟合。1椭圆中心检测原理及算法椭圆中心检测包括像素级边缘粗定位和亚像素边缘精确定位，在亚像素边缘精确定位基础上，用最小二乘拟合椭圆得到中心坐标。

1.1像素级边缘定位像素级边缘检测是利用Sobel边缘检测算子[5]，得到椭圆粗定位信息和椭圆边缘点的图像坐标值。Sobel边缘检测的基本思想为：先用3×3的Sobel边缘检测模板对图像进行卷积，得到梯度图像；再将图像梯度均值近似为信噪比，根据噪声的均方根来自动确定阈值，用该阈值进行图像二值化；最后用基于邻域分析的细化算法细化边缘。

1.2亚像素边缘定位Sobel边缘检测得到像素级边缘定位信息以及边缘灰度分布情况。在此基础上，通过算法改进可以得到亚像素级别的边缘定位[68]。算法包括：确定边缘点梯度方向，求解边缘点附近灰度差，最小二乘高斯曲线拟合。

1.2.1确定边缘点梯度方向利用椭圆粗定位信息得到的椭圆信息来确定各个边缘点的梯度方向。

1.2.3最小二乘法高斯曲线拟合对于阶跃边缘，沿某一梯度方向灰度的一阶导数近似为高斯分布，并且高斯分布的中心即均值是在沿该梯度方向灰度变化最大的地方，也就是边缘所在之处，因此只要求出高斯分布的均值μ，就可以准确定位亚像素边缘坐标。高斯曲线的表达式为f（x）=12πσexp-（x-μ）22σ2（6）式中，σ为标准差。对高斯曲线做变换，两边取对数，并用二次曲线形式来表示lnf（x）=ax2+bx+c（7）式中，a=-1/2σ2，b=μ/σ2，c=-μ22σ2+ln12πσ。根据方形孔径原理，像素灰度差值满足fn=∫n+0.5n-0.5（ax2+bx+c）dx（8）这里边缘点灰度的一阶导数用灰度差来定义。将前面求得的以边缘点为对称中心的5点灰度差f-2，f-1，f0，f1，f2代入式（8），得到关于a，b，c的5个方程。对于这个超定方程组，利用最小二乘法可以求出a，b和c。则抛物线顶点（即均值）在梯度方向的值为μ=-b2a=-（-0.2lnf-2-0.1lnf-1+0.1lnf1+0.2lnf2）2（0.142 9lnf-2-0.071 4lnf-1-0.142 9lnf0-0.071 4lnf1+0.142 9lnf2）（9）根据椭圆方程式（1），椭圆边缘点梯度方向与x方向夹角为α（x，y）=arctanf（x，y）/yf（x，y）/x（10）将μ沿x方向和y方向分解得到（μx，μy），即为边缘点相对亚像素边缘点在x和y方向上的偏差值，修正后即可得到对应的亚像素边缘点。

1.3最小二乘法椭圆拟合根据已经获得的亚像素边缘点，进行椭圆拟合以精确确定椭圆中心（xc，yc）[910]。式（1）给出了椭圆方程的一般形式，这里可以表示为f（u，v）=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+1=0（11）式中，u=ABCDE1，v=x2xyy2xy1。引入约束u2=1，建立目标函数F（u）=∑Ni=1f（u，vi）2+M（u2-1）2（12）式中，M为罚因子，这是一个外罚函数法无约束优化问题，利用牛顿高斯法、LevenbergMarquardt法等求解出u，从而得到精确椭圆中心xc=BE-2CD4AC-B2

yc=BD-2AE4AC-B2（13）2实验与分析图像测量系统采集的图像如图2所示，理论中心为（50，45）。Sobel边缘检测后得到的边缘图像如图3所示，图3中所示椭圆边缘因由各整数像素组成而显得棱角分明，而且在0°和90°方向出现较长直线段，拟合椭圆曲线误差较大。经过亚像素处理后得到的边缘图像如图4所示，从图4看出，亚像素处理后的椭圆边缘各段圆弧过渡光滑，接近理想椭圆形状。

分别用质心法、Sobel边缘检测拟合法、亚像素检测拟合法求解法计算椭圆中心坐标并与理论中心进行比较，计算结果见表1。表1表明亚像素检测拟合可以将椭圆中心精度从大约0.1 pixel提高到0.03 pixel。通过图像采集系统得到二维靶标图像如图5所示，选择图中白框内16个椭圆作为实验对象，分别用质心法、Sobel边缘检测拟合法、亚像素检测拟合法计算椭圆中心定位误差（中心距）如表2所示。对16个椭圆目标用Sobel边缘检测和亚像素检测拟合法分别计算拟合残差（即拟合点到所拟合的椭圆轨迹的距离均值），拟合结果如表3所示。由表2和表3表明，不论从定位精度还是稳定性上，亚像素检测拟合法都有较大提高。

在内存4GB，CPU主频3 GHz的系统配置下，采用本文提出的椭圆圆心定位算法对图5所示的二维靶标图进行处理（分辨率为768×576），图中白框内16个椭圆的圆心精确定位所需的总时间为0.183 s，满足实时性要求。3结论椭圆中心定位算法是在Sobel像素边缘定位基础上提出的，先利用阶跃边缘灰度差高斯分布特征精确定位椭圆的亚像素边缘点，再用最小二乘法对亚像素边缘点进行椭圆拟合。实验结果表明，这种亚像素边缘点椭圆中心定位算法不论在精度上，还是在稳定性上都比其它常规方法有较大提高。在视觉测量中可以明显改善摄像机和传感器参数标定时靶标特征点的提取精度，且实时性好。

参考文献：

[1]HEIKKILA J，SLIVEN O.A fourstep camera calibration procedure with implicit image correction[C]∥Proceedings of the IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recongnition.San Juan：IEEE，1997：11061112.

[2]袁理，叶露，贾建禄.基于Hough变换的椭圆检测算法[J].中国光学与应用光学，2010，3（4）：379383.

[3]张广军.视觉测量[M].北京：科学出版社，2008.

[4]闫蓓，王斌，李媛.基于最小二乘法的椭圆拟合改进算法[J].北京航空航天大学学报，2008，34（3）：295298.

[5]倪争技，张永康.亚像素理论在图像边界处理中的应用研究[J].光学仪器，2006，28（3）：4651.

[6]陈海峰，雷华，孔燕波，等.基于最小二乘法的改进的随机椭圆检测算法[J].浙江大学学报，2008，42（8）：13601364.

[7]刘力双，张銚，卢慧卿，等.图像的快速亚像素边缘检测方法[J].光电子·激光，2005，16（8）：9396.

[8]张虎，达飞鹏，邢德奎.光学测量中椭圆圆心定位算法研究[J].应用光学，2009，29（6）：905909.

[9]GANDER W，GOLUB G H，STREBEL R，et al.Leastsquares fitting of circles and ellipses[J].BIT Numerical Mathematics，1994，34（4）：558578.

[10]魏振忠.基于机器视觉的在线柔性三坐标测量系统研究[D].北京：北京航空航天大学，2003.

在内存4GB，CPU主频3 GHz的系统配置下，采用本文提出的椭圆圆心定位算法对图5所示的二维靶标图进行处理（分辨率为768×576），图中白框内16个椭圆的圆心精确定位所需的总时间为0.183 s，满足实时性要求。3结论椭圆中心定位算法是在Sobel像素边缘定位基础上提出的，先利用阶跃边缘灰度差高斯分布特征精确定位椭圆的亚像素边缘点，再用最小二乘法对亚像素边缘点进行椭圆拟合。实验结果表明，这种亚像素边缘点椭圆中心定位算法不论在精度上，还是在稳定性上都比其它常规方法有较大提高。在视觉测量中可以明显改善摄像机和传感器参数标定时靶标特征点的提取精度，且实时性好。

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