小波分析在图像降噪中的应用

徐 健，陈士豪

（西安工程大学 电子信息学院，陕西 西安 710048）

图像是人们通过感知器官获取信息的主要载体之一。但是在实际的产生、传输和存储的过程中都不可避免的会遭到噪声等各种因素的影响，而这些因素会给图像的分割、识别等处理过程带来不必要的影响。图像降噪可以在空间域内进行，也可以在变换域内进行。不管怎样降噪，它们都是以噪声和信号在频域上的不同分布规则为依据。一般来说，有用信号是主要分布在低频区域的，而噪声则是大多分布在高频区域的，然而由于图像的细节也是分布在高频区域的，所以如何在减少图像噪声的同时尽量保留图像的细节的问题便成为了图像降噪技术的主要研究目标[1]。

最近几十年伴随着小波变换在信号处理中的不断深入研究，小波分析已经成为信号处理的有力工具，并被引入图像处理领域处理降噪问题。正是由于其具有良好的时频局部化特征，可以成功地去除信号中局部高频化噪声干扰。利用小波变换的数据压缩特性，可以有效地消除高斯白噪声（通常情况下，噪声都是选用高斯白噪声）。

1 传统的降噪方法

传统的图像降噪主要有两大类：一种是基于空间域的处理方法，另一种是基于频域的处理方法[3]。空域内主要是在原图像上直接进行数据运算，对像素的灰度值进行处理。变换域算法是对变换后的系数进行相应的处理，然后进行反变换从而达到图像降噪的目的。传统的图像降噪多是在空域实现的。空域图像降噪算法主要分为线性方法与非线性方法两大类，线性方法具有比较完备的理论基础，其中最有代表性的就是均值滤波。接下来就以均值滤波为例进行详细介绍。

均值滤波的原理是：对于给定的一幅图像 f（x，y），图像中的每一个像素点（x，y），降噪后的图像 g（x，y），降噪后的图像中的每一个像素的灰度级由包含（x，y）邻域的几个像素的灰度级的平均值所决定。也就是说，用某一像素邻域内各像素的灰度平均值来代替该像素原来的灰度值，所用的公式如下所示：

公式中的 x，y=0，1，2……，N-1；w 是以点（x，y）为中心的邻域的集合，M是w内坐标的总数。图像邻域平均法的处理效果与所用的邻域半径有关系，半径越大，图像的模糊程度也越大。此外，图像邻域平均法算法简单，计算速度快，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像产生模糊，特别在边缘和细节处，邻域越大，模糊越厉害。

从实现难易程度上看，线性平滑滤波器比较容易实现，在信号频谱和噪声频谱具有显著不同特征时，表现出较好的性能。然而，在实际的图像处理过程中，线性滤波器也不能完全去除脉冲噪声。因此在许多应用场合，选用中值滤波来解决这些问题。

2 小波降噪

近年来，小波分析理论得到了非常迅速的发展，由于其具备良好的时频特性和多分辨率特性，小波分析理论成功在许多领域得到了广泛的应用，现在小波分析理论已经渗透到自然科学、应用科学、社会科学等领域[2]。小波降噪实际上是寻找从实际信号空间到小波函数空间的最佳映射，从而得到原信号的最佳恢复。小波降噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波降噪可以看成是低通滤波，但是由于在降噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一点上优于传统的低通滤波器。由此可见，小波降噪实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其原理框图如下：

图1 小波分解原理图Fig.1 The principle diagram of the wavelet decomposition

由上图可知，寻求基于小波变换的降噪噪声最佳方法的过程，实际上也是寻求最佳的小波变换系数处理方法的过程。

小波分析用于降噪的过程，可以细分为如下几段：

1）分解过程。首先选择合适的小波分析和分解层次（记为N），然后对待分析的二维图像信号X进行N层分解计算。

2）作用阈值过程。对于分解的每一层，选择一个合适的阈值，并对该层高频系数进行软阈值量化处理。在此，阈值选择规则同前面的信号处理部分。

3）重建过程。根据小波分解后的第N层近似（低频系数）和经过阈值量化处理后的各层细节（高频系数），来计算二维信号的小波重构。

根据对小波系数处理方式的不同，常见的降噪方法可以分为3类：模极大值检测法、小波系数相关降噪法和阈值降噪法。由于阈值降噪法实现简单，计算量小，因此在实际中有着广泛的应用[4]。所以，在此小波降噪就以阈值降噪为例详细介绍。小波阈值降噪方法是一种实现简单且效果较好的降噪方法。阈值降噪方法的思想很简单。假设一个叠加了高斯白噪声的图像信号为：

其中，s（p，q）为原始信图像；n（p，q）为均值为 0，方差为δ2的高斯白噪声，服从 N（0，δ2）、f（p，q）为含噪声图像。小波变换具有很强的数据相关性，它能够使信号的能量集中在一些大的小波系数中，但是噪声的能量却分布在整个小波域内。因此，经过小波分解后，信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值。幅值相对比较大的小波系数一般以信号为主，而幅值比较小的系数在很大程度上是噪声。采用阈值的办法设置一个合适的阈值对于大于该阈值的小波系数予以保留，小于该阈值的小波系数（主要成分是噪声）予以剔除，这样就能使大部分噪声系数减小至零，从而达到降噪的目的。

图2 小波阈值降噪原理图Fig.2 The principle diagram of wavelet threshold de-noising

小波阈值降噪方法的一个关键因素是阈值的选取，另一个关键因素是阈值的估计[5]。如果阈值太小降噪后的图像仍然存在噪声，如果阈值太大，重要图像特征又将被滤掉，引起偏差。从直观上讲，对给定的小波系数，噪声越大，阈值就越大。

小波阈值降噪的基本思想是：首先对含有噪声的信号做小波变换，得到一组小波系数；接着对其进行阈值处理，得到估计系数，使得两者的差值尽可能小；最后利用小波重构，得到估计信号即为降噪的信号。

阈值处理的方法有两种：一种是硬阈值法，定义为

硬阈值法得到的小波系数的连续性较差，重构信号可能出现突变或者震荡现象；如下图所示。另一种方法是软阈值法，定义为：

软阈值法得到的小波系数的连续性好，但是当小波系数比较大时得到处理后的小波系数和实际的小波系数有一定的偏差，会导致重构结果的误差。如图3所示。

图3 两种阈值方法Fig.3 Two threshold methods

3 改进的算法介绍

设X是大小为原始无噪图像，是一个在空间平稳、独立同分布、方差为δ2的零均值高斯白噪声，Y是一个被噪声污染的含噪图像。噪声满足一下关系：

小波变换把图像信号变换到小波域，在小波域中，图像本身的能量主要分布在低分辨率的尺度系数和一些较大的小波系数上，而噪声能量仍然均匀散布在低分辨率的尺度系数和所有小波系数上[6]。在变换域，图像的空间相关性降低，能量更加集中，而噪声的能量分布情况则不变。根据以上情况我们提出了一种基于小波阈值的混合滤波图像降噪的方法。其步骤为：

1）对含有噪声图像进行小波分解；

2）对小波分解系数进行阈值处理；

3）对处理后的系数重构；

4）对重构图像进行均值滤波。

4 实验结果与分析

为说明该方法的有效性，对含有高斯白噪声的一幅风景的图像进行降噪处理，其中噪声方差δ2为10。在降噪实验中，采用“sym4”小波，因为sym小波有较好的对成性，更适合于图像处理，减少重构时的相移[7]。有较好的对称性的小波滤波器既可以使人类的视觉系统对边缘附近对称的量化误差较非对称误差更不敏感，又具有线性相位特性。对图像边缘作对称边界扩展时，重构图像边缘部分失真较小，如图4所示。

图4 不同算法的图像降噪比较Fig.4 Comparison of image noise reduction of different algorithms

表1 不同噪声大小、不同方法降噪后的PSNR结果Tab.1 PSNR results of different sizes and methods for noise reduction

由表1可以看出本算法能够较好地去除噪声，且降噪后图像清晰、明了，有较好的视觉效果，足以说明以阈值降噪为基础的混合算法的优越性。

5 结束语

小波降噪已经应用于许多理论和领域，其在信号处理过程中的作用使其成为信号处理研究的热点。文中介绍了传统降噪方法与小波降噪方法的优缺点，并基于两类方法的不同特点，提出了一种基于小波阈值的混合滤波图像降噪[8]的新方法。仿真实验表明：该算法对图像降噪保留了较多的细节信息，使降噪后的图像在主观视觉效果方面得到了明显的改善；对含有高斯白噪声的图像，可以较为清晰地恢复出原始图像，从而验证了该算法的实用价值。

[1]夏良正.数字图像处理[M].东南大学出版社，1999：89-96.

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[4]廖福元，黄国石．两种小波阈值去噪算法的比较研究[J].计算机工程与应用，2004，16：101-103．LIAO Fuyuan，HUANG Guo-shi.Two kinds of comparative study of wavelet threshold denoising algorithm[J].Computer engineering and application，2004:101-103.

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