一个n元分式不等式的下限及推广

李宏铭

摘  要：通过琴生不等式，证明一个形式上简洁对称的n元分式不等式，在求最值即寻求最佳上下界时很有作用. 作为一个具体例子，完善了《一个n元分式不等式》一文的结论并做了推广. 文末给出了一个猜想，为继续研究留下了一个课题.

关键词：琴生不等式;推广;凹凸性;上下界;猜想

《一个n元分式不等式》一文（简称文[1]）给出了下面的一个n元分式不等式（即命题1）

命题1  若x1，x2，…，xn是非负实数，  xi=1，n≥3，则    ≤  .

①

其实，该不等式不但有上限，而且有下限，这一点文[1]没有涉及. 本文先由琴生不等式推出一个有用的结果，再对不等式①做两个方面的工作：一是给出下限及推广;二是对不等式①本身进行加限推广;最后给出一个猜想.

从琴生不等式得到的预备结果

引理1  若ai，bi∈（0，+∞），k，n∈N*，n≥2则      bik≥（  ai）k+1②，当且仅当  =  =…=  时，等号成立.

证明：若令λ=  bi，则不等式②即为    ·λk≥  aik+1③，又可化为

≥  aik+1，

即      k+1≥  aik+1.

注意到k∈N*，函数f（x）=xk+1在区间[0，+∞）是严格下凸函数，且    =    bi=  ·λ=1，由琴生不等式可知

f  ≥f    ·  =f  ai，

即得      k+1≥f  aik+1，

即不等式③成立，从而②成立. ？摇

根据琴生不等式中的等号成立条件，可知不等式③中等号成立的充要条件为  =  =…=  ，即  =  =…=  .？摇 证毕.

本文下面的推导中用到的是下面的等价形式：

引理1的等价形式：若ai，bi∈（0，+∞），k，n∈N*，n≥2则

≥  .？摇？摇 ④

当且仅当  =  =…=  时，等号成立.

①式的下限

命题2  若x1，x2，…，xn是非负实数，  xi=1，n≥3，m，k∈N，k≥2，

则    >  . ⑤

证明：    =    ≥  =  .

因为x1，x2，…，xn是非负实数且  xi=1，所以  x  ≤1，从而有

>  .

上述证明中两次使用不等式，前一次中等号成立的充要条件是x1=x2=…=xn=  ;后一次中，等号成立的充要条件是某一个xi=1，其余都等于0.故知两个不等式中的等号不能同时成立.证毕.

特别地，当k=2时，由⑤式可直接得到不等式①的下限为    >  .

①式的推广

引理2 函数f（x）=  在0，  是上凸函数，在  ，+∞是下凸函数.

证明：f′（x）=-  ，因为-4x（1+x2）3<0，故f（x）在[0，+∞）上单调递减.

f ″（x）=  . 故在0，  上f ″（x）≥0恒成立，f（x）是上凸函数;在  ，+∞上f ″（x）≤0恒成立，f（x）是下凸函数. 证毕.

命题3  若x1，x2，…，xn都是0，  内的实数，  xi=λ，n≥3，m，k∈N，k≥2，则    ≤  .

当且仅当x1=x2=…=xn=  时，等号成立.

证明：因为函数f（x）=  在0，  是上凸函数，故      ≤  =  =  . 从而    ≤  . 证毕.

再注意到函数f（x）=  在  ，+∞是下凸函数，重复这个过程（从略），可得：

命题4  若x1，x2，…，xn都是  ，+∞内的实数，  xi=λ，n≥3，m，k∈N，k≥2，则    ≥  .

当且仅当x1=x2=…=xn=  时，等号成立.

？摇？摇更一般地，我们有下面的命题5、6，为阅读的方便，先给出引理3.

引理3  若m，k∈N，k≥2，则函数f（x）=  在0，  是上凸函数，在  ，+∞是下凸函数，且在[0，+∞）上单调递减.

证明：f ′（x）=-  <0，故f（x）在[0，+∞）上单调递减. f ″（x）=  ·[（mk+1）xm-（m-1）]，故在0，  上f ″（x）≥0恒成立，f（x）是上凸函数;在  ，+∞上f ″（x）≤0恒成立，f（x）是下凸函数. 证毕.

由此可得下面的命题5和6，其证明与命题3完全相同，故从略.

命题5  若x1，x2，…，xn都是0，  内的实数，  xi=λ，n≥2，n，m，k∈N，k≥2，则    ≤  . 当且仅当x1=x2=…=xn=  时，等号成立.

命题6  若x1，x2，…，xn都是  ，+∞内的实数，  xi=λ，n≥2，n，m，k∈N，k≥2，则    ≥  .

当且仅当x1=x2=…=xn=  时，等号成立.

一个猜想

对于更一般的情形，仿照命题1，我们给出下面的猜想.

猜想： 若x1，x2，…，xn都是非负实数，  xi=  ，n≥2，n，m，k∈N，k≥2，则    ≤  . 当且仅当x1=x2=…=xn=  时，等号成立.