关于函数对称点的两个结论及应用举例

金晓江

摘  要：归纳、猜想、证明是获取数学知识的一种重要途径，可以用在一个具体问题的解决上，也可以用在对这类问题共性和规律的再归纳、再猜想、再证明，从而得到更一般的结论，这样的数学学习会更有意义.

关键词：对称中心;对称轴

《基于合情推理的解题教学实践》一文摘录

题目1 已知实数a，b满足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，求a+b的值.

设f（x）=x3-3x2+5x-3，f（-1）=-12，f（0）=-3，f（1）=0，f（2）=3，f（3）=12，师生共同发现函数f（x）关于点（1，0）中心对称.

题目2 已知f（x）=2x-cosx，{an}是公差为  的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2-a1a5等于（  ）

A.？摇0 B.？摇   C.？摇   D.？摇

解：因为f（-π）=-2π+1，f-  = -π，f（0）=-1，

f  =π，f（π）=2π+1，f  =3π，f（2π）=4π-1，由此归纳出函数f（x）关于点  ，π中心对称.

应用推广上碰到了问题

其实以上两例中，如果题目设定的函数对称中心的数值更复杂些，就不太容易得出猜想，所以从一组特殊的函数值归纳猜想函数的对称中心并不太容易.

如f（x）=x3-x2+5x的图象对称中心为  ，  .

又如f（x）=2x-cos4x的图象对称中心为  ，  .

所以有必要寻求一种求解函数图象对称中心的更加方便的方法.

对称中心的求解有法可依

定理1  定义在R上的可导函数f（x）的图象关于点（h，f（h））对称的充要条件是导函数f ′（x）的图象关于直线x=h对称.

必要性证明：若函数f（x）的图象关于点（h，f（h））对称，则对于任意的x恒有f（h+x）+f（h-x）=2f（h）.

因为函数f（x）可导，对上式两边求导得f ′（h+x）-f ′（h-x）=0，即f ′（h+x）=f ′（h-x）.

所以函数f ′（x）的图象关于直线x=h对称.

充分性证明：若函数f ′（x）的图象关于直线x=h对称，则对于任意的x恒有f ′（h+x）=f ′（h-x）.

对上式两边积分得f（h+x）=-f（h-x）+λ.

令x=0，则有λ=2f（h），

所以f（h+x）+f（h-x）=2f（h），

所以函数f（x）的图象关于点（h，f（h））对称.

定理1给出了求函数对称中心的一条路径，即欲求函数图象的对称中心，可先求其导函数图象的对称轴.

对称中心条件下的一个结论

定理2  定义在A上的单调函数f（x）的图象关于点（a，f（a））对称，等差数列{an}满足an∈A，若f（a1）+f（a2）+…+f（a2n+1）=（2k+1）f（a），则an+1=a.

证明：设等差数列的公差为d，

1. 当函数f（x）单调递增时.

若an+1>a，则f（a1）+f（a2）+…+f（a2n+1）=f（an+1-nd）+…+f（an+1）+…+f（an+1+nd）>f（a-nd）+…+f（a）+…+f（a+nd）=（2n+1）f（a），这与已知矛盾若an+1

2. 当函数f（x）单调递减时，同理可得an+1=a.

综上，定理2成立.

结论的应用举例

题目1 已知实数a，b满足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，求a+b的值.

解：设f（x）=x3-3x2+5x，

则f ′（x）=3x2-6x+5.

因为函数f ′（x）的图象关于直线x=1对称，由定理1得函数f（x）的图象关于点（1，3）对称.

所以f（a）+f（2-a）=6？摇（1），

因为f（a）+f（b）=6？摇（2），

（1）-（2）得f（2-a）=f（b）.

因为f ′（x）=3x2-6x+5=3（x-1）2+2>0，

所以f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，

由f（2-a）=f（b）可得2-a=b，

所以a+b=2.

题目2 已知f（x）=2x-cosx，{an}是公差为  的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π. 则[f（a3）]2-a1a5等于（  ）

A.？摇0 B.？摇   C.？摇   D.？摇

解：因为f ′（x）=2+sinx>0，所以f（x）为增函数且f ′（x）的图象关于直线x=  对称，由定理1得函数f（x）的图象关于点  ，π中心对称.

因为f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π=5f  ，由定理2得a3=  . 所以[f（a3）]2-a1a5=π2-  -    +  =  .

题目3 已知函数f（x）=（x-3）5+x-1，等差数列{an}的公差d≠0，f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=54，若f（ak）=2，求k的值.

解：因为f ′（x）=5（x-3）4+1>0，所以f（x）为增函数且f ′（x）的图象关于直线x=3对称. 由定理1知f（x）的图象关于点（3，2）对称.

因为f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=27f（3），

由定理2得a14=3.

所以f（a14）=f（ak）=2，而f（x）为增函数. 所以ak=a14，因为公差d≠0，所以k=14.

归纳、猜想、证明是获取数学知识的一种重要途径. 可以用在一个具体问题的解决上，也可以用在对这类问题共性和规律的再归纳、再猜想、再证明，从而得到更有一般性的结论，这样的数学学习会更有意义.