由一道课本习题引发的探究

张昌盛

摘  要：教学活动中，常常遇到各种困惑与不解，这正是教师提高认识的切入点.作为教师，一定要有探究意识与探究精神，抓住适合探究的节点开展探究活动才能真正培养学生的探究意识.

关键词：教学活动;探究

问题提出

平面向量不仅是解决几何问题的有力工具，而且提升了我们对“数、量和运算”的认识. 向量是连接几何与代数的桥梁，运用它可以快速便捷地处理数学问题. 但是，在处理一些平面几何问题时，向量法反而显得麻烦、啰嗦，体现不出向量的优势. 比如苏教版必修4第67页习题2.2第11题，它的求解就让学生十分困惑向量法是否真的简单.

题目：如图1，平行四边形ABCD中，E是CD中点，AE交BD于M点，试用向量的方法证明：M是BD的一个三等分点.

图1

解法1（向量法）：设  =λ  =λ（  -  ），则  =  +  =（1-λ）  +λ  . 因为E是CD的中点，所以  =  +    由A，M，E三点共线，所以有  =μ  =μ  +    .

由平面向量的基本定理得，

1-λ=μ，λ=  μ，解得λ=  ，即M是BD的一个三等分点.

解法2（几何法）：因ABCD平行四边形，所以DE平行于AB，于是有△DME～△BMA. 又因为E是DC中点，从而有  =  =  ，即M是BD的一个三等分点.

评析：解法2不是用向量求解的，固然不符合题目要求，但它却比向量法简单. 面对学生的疑惑，难道教师只能说解法2没有按照题目要求求解？任何一个方法都不是绝对的好方法，要针对不同的情况恰当地选择解题方. 如果这样，学生对向量的探索欲望就会大打折扣，甚至会留下向量法不如普通几何法简单的数学印象.

问题探究

平面向量基本定理的前提条件是两个平面向量e1，e2不共线，结论有两点：一是存在实数λ1，λ2，使得对于平面内任意向量p，都有p=λ1e1+λ2e2;二是λ1和λ2唯一，这里的唯一性也就是说：若p=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则必有λ1=μ1，λ2=μ2. 事实上（λ1-μ1）e1=（λ2-μ2）e2，而e1，e2不共线，所有必有λ1=μ1，λ2=μ2. 若记λ1e1=a，μ1e1=b，λ2e2=c，μ2e2=d，即有下面的推论.

推论：若向量a，b共线，向量c，d共线，向量a，c不共线，且a+c=b+d，则有a=b且c=d.

利用该推论来证明上述问题就非常简捷：

+  =  =2  =2（  +  ）=2  +2  ，由推论得  =2  ，  =2  ，所以M是BD的一个三等分点.

推论应用

在涉及运用“向量共线”这一思路解决问题时，运用该推论不失为一个很好的方法，下面提供3个例题供读者参考.

例1 如图2所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，求证：AE=CF.

图2

证明：平行四边形ABCD中有  =  ，所以  +  =  +  . 又  ∥  ，  ∥  ，所以有  =  ，从而AE=CF.

例2 （2004年全国数学联赛）设点O在△ABC的内部，且有  +2  +3  =0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为________.

图3

解：如图3，连接OC，过O点作OD∥AC交AB于D点，OE∥AB交AC于E点，OH⊥AC交AC于H点，过D点作DG⊥AC交AC于G点，则OH=DG;过B点作BK⊥AC交AC于K点.

由  +2  +3  =0得  +2  +2  +3  +3  =0，从而有  =    +    . 又  =  +  ，所以有  =    ，于是有OH=DG=  sin∠BAC，BH=  sin∠BAC，所以有BH=3OH. 又因为AC是△ABC与△AOC的共同底，所以△ABC的面积与△AOC的面积之比为3∶1.

评析：上述问题的求解思路是将两个相等的向量（或同一个向量）分别用两组基底来线性表示，而两组基底中的基向量分别对应平行，故可以利用推论解决问题.

例3 如图4，在△ABC中，BO为AC上的中线，  =2  ，若  ∥  ，且  =    +λ  ，则λ的值为________.

图4

解：因为  =    +λ  ，

所以  =  -  =    +（λ-1）  .

又  =  +  =  +    =  +  （  -  ）=    +  ·    =    +    ;

又因为  ∥  ，故可设  =μ  ，于是有    +（λ-1）  =  μ  +  μ  .

所以有  =  μ，λ-1=  μ，从而得λ=  .

评析：在使用该问题中的已知条件  ∥  时要设一个辅助量μ，即设  =μ  . 只要用两组分别对应共线的基底表示出等号两边的向量，然后就可以转化为例1、例2中的情况类似求解. 可见利用向量解题，其运算不仅仅是数的运算，还包括图形的运算，这正是向量解题的优势所在.

思考感悟

在和学生一起学习数学的过程中会遇到各种各样的问题，面对学生学习中的困惑或教师教学中的困惑，教师一定要有探究意识与探究精神，一个不探究的教师很难教出充满探究精神的学生. 培养学生的探究精神，是课标提出的要求，如何落实这一要求？笔者认为重要的是在每节课的教学中，抓住每一个适合探究的节点开展探究活动才能真正培养学生的探究意识，而不是开设几节所谓的探究性教学公开课或开展几次探究活动. 虽然这样的探究可能会打乱一节课的计划，也可能探究不出结果，但培养学生的探究精神却是肯定的.