风云再起，数学归纳法重现江湖

周汉军

摘  要：数学归纳法是中学数学逻辑推理中不可缺少部分，是高考数学的热点，但近年其证明方法发生了三大变化，本文以高考题与自主招生试题为例，对此进行说明.

关键词：高考;数学归纳法;变化

高考完毕，纵观各类试题，不难发现数学归纳法在试卷中占有很大的比例，为什么搁置数年之后的数学归纳法重现江湖呢？数学归纳法有固定的模式，用途广泛，方法单一，没有太多的技巧，学生不用花许多时间去构造数学模型就能解决问题. 但是回归后的数学归纳法已经不是过去那种单纯给定结论来证明的数学归纳法了，它要经过一系列的变化，再猜想结论、证明结论. 证明方法主要有三大变化特点：

由“n=k”到“nk”三部分，三部分的性质有时互相融合

例1  （2014年广东卷理）设数列{an}的前n和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15.

（1）？摇求a1，a2，a3的值;

（2）求数列{an}的通项公式.

解：（1）a1=s1=2a2-3×12-4×1=2a2-7

①，

a1+a2=s2=4a3-3×22-4×2=4a3-20②，

a1+a2+a3=s3=15③，？摇？摇？摇

联立①②③可解a1=3，a2=5，a3=7.

（2）由（1）可以猜想：an=2n+1（n∈N+），

数学归纳法证明：（Ⅰ）当n=1，a1=2×1+1=3，结论成立;

（Ⅱ）假设当n

sn=  =  =n（n+2）④，由题意可知

an+1=   ⑤，即有当n=k+1时，由④⑤可知

ak+1=  =  =2k+3=2（k+1）+1，结论成立.

由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，猜想an=2n+1，（n∈N+）结论成立.

评注：在此例的归纳推理过程中，改头换面的是由“n=k”到“n

由“n=k+1”到“n=k”的变化特点：表面上“n=k+1”收缩到“n=k”，归纳的起点前移了，实际上“n=k”扩充到“n=k+1”，归纳的起点后移了，满足n=k+1归纳推理过程

例2？摇 （2014年“北约”试题）已知xi>0（i=1，2，3…，n）且x1x2…xn=1，求证：

（  +xi）≥（  +1）n.

证明：由题意可知，至少存在一对xi，xj，满足0

（数学归纳法）（1）当n=1时，验证结论显然成立.

（2）假设当n=k时，结论也成立，即有  （  +xi）≥（  +1）k成立，从而当n=k+1时，

x1x2…（xkxk+1）=1，  （  +xi）·（  +xkxk+1）≥（  +1）k（假设中的结论）

（  +xi）=（  +xk）（  +xk+1）  （  +xi）=（2+  xi+  xk+1+xkxk+1）  （  +xi）=（2+  xk+  ·xk+1+  +xkxk+1-  ）  （  +xi）=（  +xkxk+1）  （  +xi）+  ·（  +xk+xk+1-1）  （  +xi）≥（  +1）k+  （  +xk）  （  +xi）≥（  +1）k+  （  +1）k=（  +1）k+1，

即n=k+1时，结论也成立;

综合（1）（2）知，对于任意n∈N*，原结论正确.

评注：在此例的归纳推理过程中，稍加分析，归纳奠基就出来了——同上题一样改头换面是：当n=k+1时的xk·xk+1相当于当n=k时的xk，xk+xk+1-1→xk，“终点”扩张了，这里巧用假设是证题关键.

同样，推优保送卷的命题者也对数学归纳法情有独钟，若知道数学归纳法的步骤，那么数学归纳法也保证你不会得很难堪的分数，这就是命题者喜欢数学归纳法的原因吧！

例3 （2006年复旦大学推优保送题）对于任意n∈N，x1，x2，…，xn均为非负实数，且满足x1+x2+…+xn≤  ，试用数学归纳法证明：（1-x1）（1-x2）…（1-xn）≥  成立.

证明：由已知条件得，x1，x2，…，xn∈0，  .

（1）当n=1时，x1≤  ，则-x1≥-  ，则1-x1≥  ，即此时结论成立.

（2）假设当n=k    （k∈N*）时，结论正确，即当x1+x2+…+xk≤  ，必有（1-x1）（1-x2）…（1-xk）≥  . 那么当n=k+1时，由于x1+x2+…+xk+xk+1≤  ，即x1+x2+…+xk-1+（xk+xk+1）≤  ，则（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）·（1-xk-xk+1）≥  （假设），

则？摇（1-x1）（1-x2）…（1-xk）（1-xk+1）=（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）（1-xk-xk+1+xkxk+1）≥（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）（1-xk-xk+1+0）≥  ，？摇

即结论当n=k+1时也正确. ？摇

综合（1）（2）知，对于任意n∈N*，原结论正确. ？摇？摇

评注：在此例的归纳推理过程中，数学归纳法的基本步骤没变，改头换面的是：当n=k+1时的xk+xk+1相当于当n=k时的xk，“终点”扩张了.

原题不能够用常规方法或原题给的条件不全面，先猜测，再用数学归纳法加强条件，运用“特殊到一般”、“由点到面”的逻辑关系

例4  （2014年重庆卷理）设a1=1，an+1=  +b（n∈N*）

（1）若b=1，求a2，a3及数列{an}的通项公式.

（2）若b=-1，问：是否存在实数c使得a2n

解：（1）a  =  +1（n∈N*）略.

（2）由题意可知：a1=1，an+1=  -1，an<1;利用特征根法n→∞，an+1=an=λ，λ为常数，解得λ=  . （也可以先算出a2，a3，a4…，再归纳猜想）

由此用数学归纳法证明命题：a2n

（Ⅰ）当n=1时，a2=0，a3=  -1，即a2<

（Ⅱ）当n=k时，结论也成立，即a2k

由于an+1=  -1（n∈N*）在（-∞，1]上为减函数，c=  -1>a2k+2=  -1>0=a2.

即1>c>a2k+2>a2，同理由函数的单调性，c=  -1

评注：本题数学归纳法没有“前置”或“后移”，严格按照数学归纳法的两个步骤. 特征根法，易于说明本题数列收敛性，但归纳的结论需要利用函数性质来加强条件.

数学归纳法是一种完全归纳法，有固定模式，条理清晰，步骤严密，过去数学试卷中运用数学归纳法，归纳奠基与归纳推理都死搬硬套，学生容易掌握. 近年来数学归纳法中“起点前移”、“起点后移”、“终点扩张”等等，是数学逻辑的外延，也是考查学生对数学逻辑的理解，选择数学归纳法，遵循其逻辑关系中的步骤，对初学者是一种不错的证明方法.