一类用基本不等式求最值问题的探究

高圣洁 刘长河

摘  要：本文结合历年高考题，对一类用基本不等式求函数最值的问题进行归纳总结. 把该类型题目分成5个题型，逐一进行深入剖析，认识不同题型背后的统一形式，掌握相应的解题技巧.

关键词：基本不等式;最值问题;试题探究

基本不等式a+b≥2  是不等式中的一个重要内容，也是求函数最值问题的一个常用工具. 利用基本不等式求最值问题是历年高考中必不可少的内容，既有单独命题来考查学生的基本知识和基本技能，也有通过与其他知识交汇在一起构成综合题，考查学生把基本不等式作为工具的灵活运用情况. 本文结合历年高考题，对一类用基本不等式求函数最值的问题进行归纳总结，把该类型题目分成5个题型加以分析，目的是展示给读者一类问题的完整讨论过程，同时也希望给考试命题者提供一些参考.

首先看一个简单例子：

例1    已知x，y∈R+，且2x+y=4，求  +  的最小值.

解法：常见的错误解法是，先由4=2x+y≥2  得xy≤2，再由基本不等式得  +  ≥2  ≥  ，故得  +  的最小值为  . 该解法的错误之处在于两次运用基本不等式时使等号成立的条件并不相同：使得前一个不等式等号成立的条件是2x=y=2，使得后一个不等式等号成立的条件是x=y=  ，两条件相悖.

求解该类题的一个简单方法是由已知条件构造常数1，并用“1”对所求式恒等变形. 过程如下：由2x+y=4得  +  =1，则  +  =  +    +  =  +  +  . 由基本不等式得  +  ≥2  =  ，从而  +  ≥  +  =  . 并且当  =  时，取等号，即x=2（2-  ），y=4（  -1）. 故  +  的最小值是  .

在例1的同样条件下，还可以求xy的最大值，看下面例子.

例2 （2010年高考山东文科卷14题）已知x，y∈R+，且  +  =1，则xy的最大值为（    ）

解法：稍做变形即可直接运用基本不等式解题，过程如下：

xy=12·  ·  ≤12  2=3，并且当  =  =  时，取等号. 故xy得最大值是3.

上面两个例子的一般形式如下：

题型1  已知x，y∈R+，且ax+by=d，求  +  的最小值及xy的最大值，其中，a，b，d，p，q为正的常数.

该类题目还有另外一种形式，再看下面例子.

例3  （2012年高考浙江文科卷9题）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（    ）

解法：注意到所给条件等价于  +  =5，则可由此构造常数1，并对所求式恒等变形得3x+4y=  （3x+4y）  +  =    +  +13. 由基本不等式得  +  ≥2  =12，从而3x+4y≥  （12+13）=5. 且当  =  时取等号，即x=1，y=  . 故3x+4y的最小值是5.

需要指出的是，若在上面例子中做变量替换u=  ，v=  ，则题目化为：若正数u，v满足3u+v=5，求  +  的最小值. 这显然属于题型1，而对应于题型1中求uv的最大值，在本题中的形式为求  的最大值，或者求xy的最小值.

上面例子的一般形式为：

题型2  已知x，y∈R+，且ax+by=cxy，求px+qy的最小值及xy的最小值，其中，a，b，c，p，q为正的常数.

显然题型1和题型2是等价的，而题型1显得更简洁，更容易构造常数1，计算过程也较为简单，而题型2较为隐蔽. 事实上，题型1和题型2中的已知条件可以看做是等式ax+by+cxy+d=0的两个特殊情况，下面考察其他情况.

题型3  已知x，y∈R+，且ax+by+d=cxy，求px+qy的最小值及xy的最小值，其中，a，b，c，d，p，q为正的常数.

解法：由已知得cxy-ax-by-d=0，两边同除以c得xy-  x-  y-  =0，则x-  y-  -  -  =0，即

x-  y-  =  .

由此可得y=  +  =  . 由条件y=  >0可得x>  ，又由上面等式可得y>  . 因此

px+qy=px-  +qy-  +  ≥2  +  =2·  +  =  .

并且，当px-  =qy-  =  时取等号，即

x=    +b，

y=    +a，

此时，px+qy取得最小值.

特别地，当p=a，q=b时ax+by有最小值  . 从而由等式cxy=ax+by+d可得xy的最小值. 下面的例子即属于该类型.

例4 （2010年高考浙江文科卷15题）若正数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是（    ）

解法：由2x+y+6=xy可得（x-1）（y-2）=8. 则y=  +2=  . 由y=  >0得x>1，从而y>2. 因此xy=2x+y+6=2（x-1）+（y-2）+10≥2  +10=18. 并且，当2（x-1）=（y-2）=4时取等号，即x=3，y=6. 故xy的最小值是18.

题型4  已知x，y∈R+，且ax+by+cxy=d，求px+qy的最小值及xy的最大值，其中，a，b，c，d，p，q为正的常数.

解法：由已知可得  x+  y+xy=  ，故x+  y+  =xy+  x+  y+  =  . 因此px+qy=px+  +qy+  -  ≥2  -  =2  -  =  .

并且，当px+  =qy+  =  时取等号，即

x=    -b，

y=    -a.

因此，当  -b>0且  -a>0，即  <  <  时px+qy有最小值. 例如取p=a，q=b时，ax+by有最小值  ，此时又由等式cxy=d-（ax+by）可得xy的最大值. 下面的例子即属于该特殊情况.

例5  （2010年高考重庆理科卷7题）已知x，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（    ）

解法：已知条件可等价化为（x+1）（2y+1）=9，故所求式增添常数后可直接运用基本不等式. x+2y=（x+1）+（2y+1）-2≥2  -2=4. 并且，当x+1=2y+1=3时取等号，即x=2，y=1. 故x+2y的最小值是4.

注意：在题型4中，当  ≤  或者  ≥  时px+qy没有最小值. 下面用一个简单例子来说明.

例6  已知x，y>0，x+2y+2xy=8，试分析x+20y的最小值.

解法：由已知得y=  ，由y>0得0

题型5  已知x，y∈R+，且ax+by=cxy+d，求px+qy的最小值及xy的最小值，其中，a，b，c，d，p，q为正的常数.

分析：类似于前面的分析，由ax+by=cxy+d可得x-  y-  =  . 由于ab-cd的符号不确定，为了简单起见，下面考察三个具体的例子，分别对于ab-cd<0，ab-cd=0和ab-cd>0三种情况. 通过分析可知px+qy及xy都没有最小值.

例7  已知x，y∈R+满足2x+y=xy+3，试确定2x+y及xy的取值范围.

解法：由已知条件得（x-1）（y-2）= -1<0. 则y=2-  =  . 由y=  >0得0  . 由于y=2-  在区间（0，1）及  ，+∞内单增，从而2x+y在x∈（0，1）及x∈  ，+∞时单增. 因此，直接计算可得2x+y∈（3，+∞）. 从而xy=2x+y-3∈（0，+∞）.

例8  已知x，y∈R+满足2x+y=xy+2，试确定2x+y及xy的取值范围.

解法：已知条件中等式可化为（x-1）（y-2）=0. 则有x=1，y>0或x>0，y=2.因此2x+y∈（2，+∞），从而xy=2x+y-2∈（0，+∞）.

例9  已知x，y∈R+满足2x+y=xy+1，试确定2x+y及xy的取值范围.

解法：由已知条件可得（x-1）（y-2）=1>0，则y=2+  =  . 由y=  >0得01. 利用导数符号可知，2x+y=2x+2+  在0，1-  和1+  ，+∞上单增，在1-  ，  和1，1+  上单减，故直接计算可得2x+y∈（1，4-2  ]∪[4+2  ，+∞），从而xy=2x+y-1∈（0，3-2  ]∪[3+2  ，+∞）.

综合上面的讨论，求满足等式ax+by+cxy+d=0的正数x，y，使得px+qy或xy取得最值的一类问题包含了多种题型，虽然它们形式上看起来差不多，但所需要的变形和转化方式却有不同，且所考查的难度与深度也有较大区别.