一道抛物线最小距离问题引发的思考

朱建波

摘  要：笔者将课本上一道关于抛物线求最值的问题推广得到一个一般性结论. 课本问题为我们解决一类最小距离问题提供了研究的基础.类比椭圆，也得到一个类似的结论. 总结规律，推而广之，此种一般性的结论成为解决有关抛物线、椭圆最近距离的有力工具.这种由特殊到一般，再由一般结论解决具体问题的方法，是我们学习数学的有效途径.

关键词：抛物线;最值;相切

在讲授抛物线知识时，出现了圆与抛物线相切的问题，它涉及抛物线上点到定点的最小距离.在解决这一类问题之前，笔者设计了一个例题，并由此引发思考、讨论，形成了一组互为关联的“问题串”，获得了这类问题的简捷解法.

问题1 （苏教版选修2-1第66页第15题）

若抛物线x2=2y的顶点是抛物线上到点A（0，a）距离最近的点，求a的取值范围.

解：设P（x，y）为抛物线上任一点，则x2=2y（y≥0），所以PA2=（x-0）2+（y-a）2=y2+2（1-a）y+a2=（y+1-a）2+2a-1，由题意知y=0时PA2取得最小值，所以a-1≤0，所以a的取值范围是a≤1.

为了探求此类问题的一般解题思路及方法，笔者设计了这样一个例题.

例 求抛物线x2=2y上的点到点A（0，a）的最小距离.

解：设P（x，y）为抛物线上任一点，则x2=2y（y≥0），所以PA2=（x-0）2+（y-a）2=y2+2（1-a）y+a2=（y+1-a）2+2a-1，因为y≥0，所以？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

①当a-1≤0，即a≤1时，在y=0时PA取得最小值，最小值为|a|.

②当a-1>0，即a>1时，在y=a-1时PA取得最小值，最小值为  .

评注：（1）解决此题关键是将问题转化为二次函数求最值问题.

（2）由该例我们可以猜想并证明下列结论：若抛物线方程为x2=2py（p>0），点A（0，a），当a≤p时，抛物线的顶点离A点距离最近，最近距离为a.

证明：设P（x，y）为抛物线上任一点，则x2=2py（y≥0），所以PA2=（x-0）2+（y-a）2=y2+2（p-a）y+a2=（y+p-a）2+2ap-p2. 因为y≥0，所以当a-p≤0，即a≤p时，在y=0处PA取得最小值，最小值为a.

评注：这一结论具有适用性，它不但易于解决抛物线x2=2py（p>0）上的点到定点A（0，a）的最小距离，而且对于顶点在坐标原点，焦点在y轴的负半轴或焦点在x轴上的抛物线亦有相同结论.

问题2  抛物线x2=4y上的点到点A（0，1）最近的距离是__________.

思路：由例题结论我们直接可得答案是1.

评注：对问题1我们也可以直接利用例题的结论，当顶点是离A（0，a）距离最近的点时，a的值应小于等于p，即a≤1.

上述例题的结论也可以解决实际问题，请看以下问题.

问题3  （苏教版选修2-1第63页第8题）

一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程为x2=2y（0≤y≤20），在杯内放一只玻璃球. 要使球触及酒杯底部，那么玻璃球的半径r应满足什么条件？

解法1：设玻璃球轴截面所在曲线的方程为x2+（y-r）2=r2（r>0），依题意，其与x2=2y（0≤y≤20）联立方程组只有一组解（0，0），消去x2，得y2-2（r-1）y=0，所以y=0或y=2（r-1）. 依题意得0

解法2：设Pa，  是抛物线上一点，玻璃球轴截面所在曲线的方程为x2+（y-r）2=r2（r>0），圆心为B（0，r），当满足PB≥r恒成立时，玻璃球一定会触及杯底，即  ≥r恒成立，所以r≤  +1恒成立，因而r≤  +1min. 又因为  +1min=1，所以当0

解法3：将此应用问题进行转化：要使玻璃球触及杯底，即为“抛物线的顶点到玻璃球所在轴截面的圆的圆心B（0，r）距离最近，由例题之结论，可知0

评注：解法1运用了方程的思想;解法2主要运用了恒成立方法;解法3是将该问题化归为问题1，并应用例题之结论处理，最简捷方便.

我们还可以将抛物线上的点与定点最小距离推广为椭圆上点到定点之最小距离，请看下题.

问题4  王先生工作的酒店里有一种轴截面为椭圆一部分的椭圆形酒杯，杯口宽3.6 cm，杯深为9 cm，中间最宽处为6 cm，将一个半径为r的玻璃球放入酒杯中，问：r在什么范围内可以使玻璃球触及酒杯底部？

解法1：以椭圆的中心为原点建立直角坐标系，设椭圆方程为  +  =1（a>b>0），由题意知，b=3，且点（1.8，9-a）在椭圆上，将该点代入椭圆方程，解得a=5，则椭圆方程为  +  =1. 设圆心为B（0，r-5），半径为r的圆的方程为x2+（y+5-r）2=r2，与椭圆方程联立，消去x，得8y2+25（5-r）y+425-125r=0，解得y1=-5，y2=  r-  ，要使圆B与椭圆内切于下顶点，则y2≤-5，即0

这是利用方程的思想解决问题，那么类比问题3，我们是否有像问题3中之解法3类似的解法呢？我们先把问题做一般化研究：设椭圆方程为  +  =1（a>b>0）与圆B内切于椭圆的下顶点，求圆B的半径r的取值范围.

解：圆B的圆心B为（0，r-a），则圆的方程为x2+（y-r+a）2=r2，设P（x，y）是椭圆上一动点，PB2=（x-0）2+（y-r+a）2=1-  b2+（y-r+a）2 =  y2+（2a-2r）y+a2+b2+r2-2ar. 因为-a≤y≤a，所以当  ≤ -a时，即0

评注：（1）本题亦是转化为关于y的二次函数求最值问题进行解决.

⑵ 仿上例，我们可以得到一个结论：中心在原点，焦点在y轴的椭圆与圆内切于下顶点时，圆的半径的取值范围为0

现在再回头看问题4，运用我们推出的结论可以马上得到答案0

综上所述，课本问题为我们推广解决一类最小距离问题提供了研究的基础. 总结规律，推而广之，成为解决有关抛物线、椭圆最近距离的有力工具. 这种由特殊到一般，再由一般结论解决具体问题的方法，是我们学习数学的有效途径.