拉格朗日乘数法在求解多元最值问题中的应用

孙军波 蔡小雄

摘  要：本文从一道二元最值问题入手，深入思考研究一般性的解法，引进高等数学的拉格朗日乘数法，并通过一些典型例题简要介绍拉格朗日乘数法的运用，为学生解决问题提供一个新的思路.

关键词：拉格朗日乘数法;多元最值;初等应用

多元函数的最值问题是活跃在高考、高校自主招生以及各类数学竞赛中的一项重要内容. 由于该内容大都涉及函数、不等式、线性规划、解析几何等综合知识，问题情境新颖，蕴涵背景深刻，求解方法灵活，因此，考生面对该类问题往往不知所措，解题思路狭窄. 本文通过一些典型例题简要介绍拉格朗日乘数法在求解该类问题中的巧妙运用.

小题引路

例1（2012浙江重点中学协作体高三3月调研）若3x2-xy+3y2=20，则8x2+23y2的最大值是________.

分析：注意到160-8x2-23y2=8（3x2-xy+3y2）-8x2-23y2=（4x-y）2≥0，

所以8x2+23y2最大值为160.

评析：本解法计算简单，但构思巧妙，不易入手. 因此，有必要考虑研究其一般情形，问题的实质是多元的条件极值问题，可以考虑选用拉格朗日乘数法使思路程序化.

问题拓展

一般所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是还有很多极值问题，如例1中的变量x，y不仅要符合它们自身的要求（x∈R，y∈R），而且还需满足条件“3x2-xy+3y2=20”，这类附有约束条件的极值问题其实就是条件极值问题.

条件极值问题的一般形式是在条件组φk（x1，x2，…，xn）=0，k=1，2，…，m（m

在高中阶段遇到这类极值问题时，我们常常借助换元、消元，使用判别式、不等式等方法来求解，主要解决三元以内的问题. 然而，根据条件组（1）有些问题还不能靠上述方法解决. 而且，有些问题构思巧妙，解题技巧要求高. 下面我们从高等数学中引入一种求解条件极值问题的方法——拉格朗日乘数法来尝试解决这类问题.

方法介绍

拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数条件极值的重要方法，方法程序性强，较易掌握. 但由于涉及求多元函数的偏微分，需将该法加以改进，方便学生掌握. 将这种方法初等化，首先需要理解为什么要构造拉格朗日函数，以f，φ皆为二元函数这一简单情形入手来说明一下，其实就是将条件极值问题转化为无条件极值问题，构造的拉格朗日函数L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），其中φ（x，y）=0，不难发现求f（x，y）的极值点，其实也就是求L（x，y）的极值点，两者的极值是等价的，且与λ无关，至于为什么增加一个λ，其实就相当于用待定系数法来确定这个拉格朗日函数，求偏导数的目的是为了求出函数的可能极值点.

运用此法，例1的具体求解如下：

构造L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）=8x2+23y2+λ（3x2-xy+3y2-20），

由Lx（x，y，λ）=fx（x，y）+λφx（x，y）=0，Ly（x，y，λ）=fy（x，y）+λφy（x，y）=0，L（x，y，λ）=φ（x，y）=0？圯-λ==，φ（x，y）=0，即可解得极值点.

由f（x，y）=8x2+23y2，φ（x，y）=3x2-xy+3y2-20，

解得x=-y或x=y，代入φ（x，y）=0可得

所以f（x，y）=或160，根据函数性质，可知8x2+23y2的最大值是160.

小试牛刀

例2 （1993年全国联赛试题）实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则的值为________.

分析：首先令f（x，y）=x2+y2，φ（x，y）=4x2-5xy+4y2-5，

解得x=-y或x=y，代入φ（x，y）=0可得：

例3 （2014年北约自主招生试题）设x，y均为负数，且满足x+y=-1，则xy+具有（  ）

分析：令f（x，y）=xy+，φ（x，y）=x+y+1，

据函数性质有xy+的最小值为，因此，选D.

逐步推广

在解决了二元的一些极值问题后，将拉格朗日乘数法应用于带有二元以上的最值问题也是可行的，下面我们试举几例：

例4 （2011年浙江省自选模块3）设正数x，y，z满足2x+2y+z=1，求3xy+yz+zx的最大值.

分析：令f（x，y，z）=3xy+yz+zx，φ（x，y，z）=2x+2y+z-1，

代入φ（x，y，z）=0，可得x=y=z=，因此，f（x，y，z）=，

根据函数的性质，可知3xy+yz+zx的最大值是.

例5  （2005年中国西部奥林匹克第二天试题）设正实数a，b，c满足a+b+c=1，证明：10（a3+b3+c3）-9（a5+b5+c5）≥1.

分析：令f（a，b，c）=10（a3+b3+c3）-9（a5+b5+c5），φ（a，b，c）=a+b+c-1，

因为a，b，c∈（0，1），所以可得a=b=c，代入φ（a，b，c）=0，可得a=b=c=，

根据函数性质，知10（a3+b3+c3）-9（a5+b5+c5）的最小值是1，从而得证.

例6  （第三届北方数学奥林匹克邀请赛）设△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+b+c=3，求f（a，b，c）=a2+b2+c2+abc的最小值.

分析：令f（a，b，c）=a2+b2+c2+abc，φ（a，b，c）=a+b+c-3，

所以解得a=b=c，代入φ（a，b，c）=0，可得a=b=c=1，

根据函数特点，可得f（a，b，c）=a2+b2+c2+abc的最小值为.

华罗庚说：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要”，利用拉格朗日乘数法求解多元函数最值的确有其优越性，这对提高学生解题能力，拓宽学生的数学视野，深化其数学品质都将产生积极的影响.