略谈高中数学探究学习的多样性呈现方式

柏松盛

摘  要：数学的探究性学习是一种以学生为主体，充分发挥学生主观能动性的学习方式. 为了更好地培养学生在数学学习中的逻辑思维能力和灵活运用能力，越来越多的教师在教学中不断尝试并逐渐引入了探究性学习，出现了趣味性的探究学习、实用性的探究学习、技术性的探究学习、求证性的探究学习和跨学科的探究学习等多种探究性学习方式.

关键词：探究性学习;高中数学;多样性呈现

数学是一门重视逻辑思维能力并强调灵活运用能力的学科，为了更好地培养学生具备这两样能力，越来越多的教师在教学中不断尝试并逐渐引入了探究性学习. 与单纯的课堂听讲对比起来，数学的探究性学习是一种以学生为主体，充分发挥学生主观能动性的学习方式，它在以“探究”为主要目的的前提下，具备多样性.

基于趣味性的探究学习

以趣味性为设计原则的数学探究性学习强调的是充分挖掘数学的潜在趣味，以帮助学生更好地认知数学的另一面，从而激发学生学习数学的兴趣与信心. 以《概率》《统计》这两个章节为例，教师可以引入法国数学家帕斯卡在之前提过的一个赌本分配的问题. “甲、乙两个赌徒在投下赌注之后，根据设定的原则进行赌博，并约定甲、乙谁胜一局谁就得一分，且谁先得到某个确定的分数谁就赢得所有赌注. 但是在谁也没有得到确定的分数之前，甲、乙两人的赌博因故中止了. 假如甲需再得n分才赢得所有赌注，乙需再得m分才赢得所有赌注，那么如何分这些赌注呢？”这个问题与我们在生活中常常遇到的投掷硬币进行比赛非常类似. 从生活实践中不难发现，大部分人，尤其是好奇心强烈、胜负心强的学生都对这种博弈性活动充满着浓厚的兴趣. 与此类似的还有，“小刚与小王两人赌博，分别投注赌资N元，已知每局两人各自获胜的概率都是二分之一，并约定，谁先胜出X局，谁就能获得全部赌资的两倍. 当进行到A胜出X1局，B胜出X2局时（已知X1与X2均小于X），赌博因意外停电而中止，试问此时两倍原始赌资应当如何分配给小刚与小王才显得公平”等. 总的来讲，以兴趣为切入点的探究性学习不仅可以提高学生完成探究性学习的积极性，而且可以更好地刺激学生的思维细胞. 对于初次尝试探究性教学的教师来讲，可以通过趣味性这一原则来引导学生逐步适应探究性学习的方式.

基于实用性的探究学习

作为一门工具性学科，数学在生活中处处可见，因此，教师可以设计一个基于实用性原则的探究性学习课题. 以《函数》为例，该章节中的指数函数、对数函数、幂函数等均在生活中有非常大的实用价值，特别是函数模型及其应用章节所讲述的利率问题与增长率问题. 教师可以结合当前保险问题，设计一个以养老保险险种及分红为主题的探究性学习. 例如“王大爷在40岁时参与购买了养老保险，而他的朋友李大爷则选择每年将应缴纳的保险金额逐年依次存入到银行之中. 根据35年的投保时限，问王大爷与李大爷在75岁各自可以分别拿到多少钱，这两种投资方式的收益性哪个比较大”. 与此类似的探究性课题还有“曾阿姨与潘叔叔在同一天各自到银行存入了2000元，曾阿姨选择的是定存五年期，潘叔叔选择的是一年期并且在每年到期时领取本金与利息后一并存入到又一个一年期中，以此类推，而且每次领取时需要向银行缴纳20%的利息税，问五年后，曾阿姨与潘叔叔哪一个人的受益比较大而且各自的本息合计金额差是多少”. 对于此类与生活关联度比较大的探究性课题，对于教师来讲，可以更为游刃自如地设计探究性学习课题，对于学生来讲，因其与生活的高关联度而可以更容易地通过调查取证或搜集相关人的信息来顺利完成学习任务. 因此，从操作度与完成度上看，基于实用性的探究性学习在整个数学的探究性学习中将占据比较大的比例.

基于技术性的探究学习

基于技术性的探究学习指的是探究过程及最终的探究结果完全与学生的个人数学能力有关，比如关于数学中的最优化问题、关于黄金分割在实际生活中的应用、关于数学中的证券投资、关于某种决策的设计等. 技术性探究学习的核心在于缜密的逻辑思维与娴熟的数学能力，这对学生来讲是一个不小的挑战.在实际教学中，一般不单独由学生个人来完成，而是多以团队的形式，特别是将学习能力高低有别的学生融合在一起进行探究性学习. 这有助于学生之间进行互补与分工，同时也有利于学习能力较差的学生在探究性学习的同时，还能够学习模仿学习能力较强的同学的学习方法、思维方式等学习习惯，从而在无形中渐渐地提高个人能力.在设计基于技术性的探究学习时，教师需要把握以下几个原则，一是探究的时间不宜过长. 假如时间过长，计算过于烦琐，则容易占据学生过多的时间并分散学生的注意力，从而最终降低学习效果.二是要与学生共同进行并在探究过程中通过提供资料、指明方向、建议方法等来适当予以协助. 这既可以避免学生单打独斗而影响最终的探究效果，同时也可以让学生感觉到自己在学习中的主体地位，教师在教学中的引导地位，从而进一步增强学习的自觉性与主动性.

基于求证性的探究学习

这里的求证性探究学习指的是对于教材中给定的或者约定成俗、经过实践检验的、前人经验总结所得的已知结论进行一种求证，比如探求排序不等式、柯西不等式，关于某个数学公式或者某条数学定理的求证等. 除此之外，还有一种“悖论探究”，它指的是若承认某个命题是绝对成立的，则可以推论出它的否定命题成立;反之，若承认某个命题的否命题是成立的，则可推出这个命题成立;如果承认该命题是真的，经过一系列正确合理的推理之后，却又得出它是假命题;如果承认该命题是假的，经过一系列正确合理的推理之后，却又得出它是真命题. 比如“理发师悖论”，“某城镇有一位理发师，他的理发原则是‘只给不自己剪头发的人剪头发”.这里存在着矛盾的地方，假如理发师给自己剪头发，那么他就是自己给自己剪头发的人;假如理发师不给自己剪头发，那么他就是不给自己剪头发的人. 但根据他的理发原则，他应当给自己剪头发. 这就存在着一定的矛盾. 与求证既定的公式、定理、结论等对比起来，悖论的探究性学习由于它“撼动”了逻辑与数学基础，因而它有利于激发学生的求知欲望与思索能力. 与此同时，它也可以给学生带来耳目一新的感觉. 需要注意的是，与上述几种探究性学习对比起来，基于求证性的探究学习难度更大，而且选择的题材与设计的难度也较难把控. 假如难度过大，则不仅降低了学生的求解成功率，而且容易给学生的思维造成一定的紊乱从而影响了学生的数学能力，与此同时也有可能耗费过多的时间. 因此，基于求证性的探究学习适合于已经在课堂中多次践行且可以熟练操作探究性学习的教学阶段.

基于跨学科的探究学习

从知识体系上讲，虽然我们人为地根据一定原则将其划分为不同学科，但这并不意味着学科之间是绝对独立的，相反，它们之间是共同依存并相互促进的，因此，教师可以跨学科为原则来设计探究性学习的主题. 以《平面向量》为例，它可以与物理学进行有机结合，研究数量积的物理意义. 比如该图形在数学中它可以表示向量S与F，在物理中可以表示力的角度，因此，教师可以将向量与物理学中的力进行结合，设计该内容主题.具体可以围绕以下几个问题，假如一物体在力F的作用下产生了位移S，则用向量的知识来说明W功是什么向量、F力是什么向量、S位移是什么向量、如何用向量来书写F所做的功、如何用文字语言来表达功的计算公式等，总之，该课题围绕的主题是“力与位移的大小及其夹角余弦的乘积为功”. 根据这一主题，教师还可以将题目进行延伸，如ɑ的不同取值范围下不同的书写形式，ɑ介于零度与九十度之间，ɑ等于九十度等;或者将力进一步细化，如假设某重达8千克的球体分别作水平位移5米，竖直下降5米，竖直上升5米，沿倾斜角40度的斜面向上运动5米等. 跨学科探究性学习的最大好处在于可以融汇多个学科的知识，这既有利于拓展学生的思维视角，又有利于培养学生的创新精神. 为了更好地实现这一目的，教师可以在设计时多抓住数学与其他学科的共同点，以找到可以缔结不同学科的纽带，从而设计出基于跨学科原则的探究性学习课题.

图1

学以致用是学习的一项重要原则，也是其中一个首要目的. 在探究性学习模式下，教师可以引导学生从某些数学问题及某个生活问题出发，运用所学习的数学知识去尝试解决. 对于学生来讲，这既有利于提高数学知识的掌握程度，又有利于践行数学知识的实用意义. 基于此，为了更好地发挥探究性学习模式的价值，教师可以从趣味性、实用性、技术性、求证性、跨学科这五个方面出发，设计不同种类的探究课题，以更好地呈现数学探究性学习的多样性，并借此有效培养学生的逻辑思维能力与灵活运用能力.