站在知识系统的高度设计教学

李金兴

摘  要：新授课总是将章节内容分解为若干小块，而章节复习课则应该体现章节内容所组成的有机整体. 因此，章节复习的教学设计应该站在知识系统的高度，选择合适视角切入，重温知识的形成和发展过程;同时帮助学生不断完善知识结构，引领学生作进一步自主探究.

关键词：知识系统;教学设计

任何知识都不是片断、孤立存在着的，它既有生活实践为基础，同时也与其他知识相关联，结构化的知识是基础知识存在的主要形态. “直线”是解析几何的第一个研究对象，是解析几何最重要的基础知识之一. 通过对直线及其方程的研究，能让学生领悟解析几何的研究方法、认识图形直观“就其粗而不能精其微”的特点，从而自觉运用数形结合的思想方法解决问题.

本文就《直线及其方程》章节的复习课的设计和教学过程，谈一谈如何立足知识系统的高度来设计课堂教学内容，凸现基础知识的结构，提高复习课的知识整合效应.

概括梳理，以合适的视角作为教学设计的切入点

教学设计需要考虑教学系统中诸多因素，教师在充分了解学情、合理运用教法和媒体之外，教学内容的设计成为最能体现教师智慧的环节.

《直线及其方程》章节涵盖如下许多知识点：直线的方程表示、点在直线上的坐标表示、两条直线位置关系的代数表示、直线方程系数的几何含义、同一条直线的不同方程形式所凸显的几何性质、同一条直线的不同方程形式之间的互化、点到直线距离的代数表示、直线系的代数表示、通过代数方程运算研究直线和直线间的关系等.

合适的视角能将知识串联起来、整合起来，使基础知识结构化，达到“拎起来成一串，撒下去铺一片”的效果. 为此，笔者确定《直线方程蕴涵的几何性质》为课题，以此凸显“用方程表示和研究直线几何性质”的解析几何基本思想，围绕课题设计系列问题及变式思考，将整个章节的知识点串联整合起来，并制定学生的学习目标如下：

1. 理解直线和它的方程之间的对应关系，能将某直线的方程化为各种不同形式，并以此分析该直线的几何特性;

2. 理解直线系方程的含义，能由方程分析直线系特有的规律;

3. 理解两条直线平行、垂直、相交等的代数表示，能由方程组判断直线间的位置关系;

4. 体验解析法的基本思想——用坐标和方程表示几何图形，以代数运算研究几何关系.

追本溯源，以重温知识的形成和发展过程作为教学设计的立足点

“直线的方程”是本章节的核心概念，在习题课的教学设计中必须回归课本，重温其形成和发展的过程. 为此，笔者设计如下两例（例1和例2），让学生在重温概念的同时进一步理解：直线和它的方程之间的对应关系，点在直线上的坐标表示，已知直线上两点就能确定直线，两条直线的相对位置与直线方程组解之间的对应关系等知识点. 而在实际教学过程中，学生的不同解法恰恰让知识运用过程在对比中彰显生机.

例1 直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2相交于点A（1，2），那么由点（k1，b1）和（k2，b2）确定的直线方程为___________.

学生1：因为k1+b1=2，k2+b2=2，两式相减，得k2-k1=-（b2-b1），所以过点（k1，b1）和（k2，b2）的直线的斜率k=  =-1，所以其点斜式方程为y-b1=-（x-k1），即y=-x+（k1+b1），而k1+b1=2，所以直线方程为x+y-2=0.

学生2：因为k1+b1=2，k2+b2=2，所以点（k1，b1）和（k2，b2）都在直线x+y-2=0上，而经过两点只有一条直线，所以由点（k1，b1）和（k2，b2）确定的直线方程为x+y-2=0.

反思：学生1的解法以确定直线方程的系数为出发点，而学生2的解法则从确定直线方程的几何本质入手，更显简洁. 通过对比，让学生更清晰地体会方程蕴涵的“点在线上”的几何性质.

例2 实数a，b取何值时，关于x，y的方程组ax+by=1，x-2y=  无实数解？

学生3：直线ax+by=1和x-2y=  互相平行，所以  =  ≠  ，即b=-2a且a≠2.

学生4：答案还不全面，如果a=b=0，则方程ax+by=1不能表示直线，所以b= -2a且a≠2，a≠0.

学生5：不对，从方程角度看，a=b=0时方程ax+by=1无解，所以方程组

ax+by=1，x-2y=  也无实数解，所以答案应该是b=-2a且a≠2.

反思：通过三位学生逐步递进式的回答，让全班学生体会到方程组无解与直线平行之间的细微差异，进一步加深对“直线的方程”和“方程的直线”等概念的理解.

横纵联系，以完善知识系统结构作为教学设计的发散点

为完善章节知识系统结构，还需要在操作运用和背景分析中体现其“张力”. 为此，笔者设计例3、例4、例5，让学生在分析直线方程蕴涵的几何性质的过程中，充分体验数形结合的思想方法，尽可能多地联系各种其他背景知识（函数、三角、向量等）.

（一）直线方程的不同形式凸显不同性质

例3  已知直线l：x+λ（y-2）+2=0经过第一象限的某点，求实数λ的取值范围.

学生6：显然λ≠0（否则直线l方程为x=-2，不经过第一象限），故直线方程可化为y-2=-  （x+2），所以由直线的点斜式方程知l过定点（-2，2），所以结合图1观察，得倾斜角的取值范围为0，  ∪  π，π;而斜率k=-  的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞），所以λ∈（-∞，0）∪（1，+∞）.

学生7：直线方程还可化为y=-  x+2-  ，由图2易知-  >0或-  ≤0，2-  >0，所以  ∈（-∞，0）∪（0，1），所以λ∈（-∞，0）∪（1，+∞）.

图2

反思：直线方程的不同形式凸显了直线相关的不同几何量. 点斜式凸显了直线过某定点（动直线绕定点旋转），斜截式则凸显出直线的斜率和与y轴交点的位置.该题还能采用截距式方程来处理，将方程化为x+λy=2（λ-1）或  +  =1（λ≠1），由图形直观知，若l经过第一象限的某点，只需2（λ-1）>0或  >0，所以λ>1或λ<0. 需要注意的是，用某种形式的方程不能表示的直线要专门讨论.

（二）直线系方程蕴涵动直线的变化规律

例4  求原点到直线（1+λ）x-（1-λ）·y-2λ=0距离的取值范围.

学生8：方程可化为（x-y）+λ（x+y-2）=0，由方程组x-y=0，x+y-2=0， 解得x=y=1，所以直线（1+λ）x-（1-λ）y-2λ=0过定点A（1，1），由图3易知d∈[0，  ].

学生9：李老师，我的答案不一样！因为由点到直线距离公式知d=  =  ·  ∈[0，  ）.

学生10：由于直线斜率k=  =-1+  ≠-1，所以d=  的情形不存在.

反思：直线过定点的规律容易找到，但直线绕定点转动的范围却容易忽视，所以要数、形一起分析. 比如，直线x-（1+λ2）y+λ2=0（λ∈R）过定点A（1，1），斜率k∈（0，1），所以原点到直线的距离d∈（0，1）. 通过“易错点”的设置，让学生体验图形直观“就其粗而不能精其微”的特点.

例5  试判断，是否存在定点P，使得不论θ∈[0，2π]如何变化，直线l：cosθ·x+sinθ·y-1=0都不能经过点P？

10多位学生齐答：直线l一定不过原点（以特值x=y=0检验）.

教师追问：是否还有其他点呢？

学生11：直线l方程可化为  ·sin（θ+φ）=1，由于sin（θ+φ）≤1，所以x2+y2<1时，方程  ·sin（θ+φ）=1不能成立，所以直线l一定不过单位圆内的点.

教师：很好，你的解法老师也没有想到，但是否还有其他点一定不能在动直线l上呢？

学生12：原点到直线l：cosθ·x+sinθ·y-1=0的距离d=  =1. 因此直线一定是单位圆的切线，所以单位圆内部的点必定不在l上，而且当θ改变时，动直线系l：cosθ·x+sinθ·y-1=0的“包络”恰是单位圆，所以除了单位圆内的点外，没有其他点不能被动直线l“扫到”.

教师：很好，事实上，直线方程可化为cosθ·（x-cosθ）+sinθ·（y-sinθ）=0，即y-sinθ=-  ·（x-cosθ），它表示单位圆在点（cosθ，sinθ）处的切线（图示略）.

反思：学生11的解法一语道破直线方程系数蕴涵的几何特性，很有创意. 教师在教学设计中只有留给学生充分探索思考的空间，学生才有可能给教学以“惊人”的回报.此外，要充分考虑到学生对数学的理解和掌握不是点滴和零散的，而是在主动建构中逐步形成一个知识体系和网络. 每个章节内的内容联系紧密，依靠若干知识主线形成一个整体;在此基础上，才能建立章节间的更大网络.

引领探究，以老题新解作为教学设计的启发点

学习新知识、新方法后，学生将其纳入自己的知识系统前是需要作“新旧比对”的. 解析法作为“用代数方法研究几何问题”的典范在学生眼里并非唯一，比如向量方法同样是用代数方法研究几何问题. 在教学设计中采用“老题新解”的方法，能够启发学生在使用新知识时不断与旧知识对比，从而自觉探究新老方法之间的不同适用性.

例6  已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，又  =m  ，  =n  ，并且  +  =3，求证：直线A′B′经过定点.

解：以直角顶点C为原点建立坐标系（如图4），设A（4，0），B（0，3），则A′（4m，0），B′（0，3n），所以直线A′B′的方程为  +  =1，将  +  =3代入A′B′的方程，得  -  +  -  =0，

即  +  =0，所以直线A′B′经过定点  ，1，恰为△ABC的重心.

图4

反思：用向量方法也能解决该问题，而且将Rt△ABC改为一般△ABC也有类似的结论，再将  +  =3改为等于其他定值，直线A′B′也经过定点. 解析法的引入给向量法提供了参照的对象，有利于激发学生的好奇心和学习兴趣.

画龙点睛，以适切的小结和作业作为教学设计的导学点

例题、习题教学结束时，应有画龙点睛式的小结. 笔者在本课以一首小诗来做小结：“一般方程太一般，直线性质少体现;化为点斜截距式，性质自然就明显;坐标方程表点线，代数运算又不难;解析方法好不好，欲与向量比简便”. 在诗中既概括了本课主要内容和数学思想，又引导学生进一步认识本课内容在整个高中数学知识体系的位置，启发学生将“解析法”和“向量法”做一对比，这与当下流行的“导学”理念是一致的.

作业分两类：要求学生当天完成巩固性作业1～4题，在一周内完成导学性作业5，具体如下：

1. 若方程（2m2+m-3）x+（m2-m）y-4m+1=0表示一条直线，则实数m∈ ________.

2. 若直线（2m2-5m+2）x-（m2-4）y+5m=0的倾斜角为45°，则m=________.

3. 两条直线2x+3y-k=0和2x+ky-3=0的交点在y轴上，则k=________.

4. △ABC中，∠A=60°，  +  =  ，如果点A在坐标原点，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限，则直线BC过定点________.

5. 有些几何问题用向量方法来解比较简单（如求证“平行四边形对角线平方和等于四边平方和”、“余弦定理”等），而另一些问题则用解析法来解比较简单，请你课外自学后收集典型例题来说明，并谈谈如何选择这两种方法之一的感想.

结语

结构化的知识是能力形成的基础，整合后的基础知识具有较强的粘合力、较严密的逻辑性、较丰富的关联度，可以较好地为知识的灵活运用服务;因此，基础的整合水平直接影响到学生综合运用的能力. 在教学设计中，教师在引领学生脚踏实地、夯实基础的同时，还要时不时提醒学生“仰望星空”，跳出章节知识范畴，立足系统高度重新审视所学知识. 这样，才能避免让学生的学习陷入无数细节的包围中，在边把书“读厚”、边把书“读薄”的过程中实现高效学习.