2014年安徽卷理科压轴题的试题分析与教学启示

高浩

摘  要：通过挖掘2014年安徽卷理科压轴题解法中蕴涵的数学思想方法，探究这道题的背景，揭示其错解原因，从而得到解答压轴题的教学启示，有助于学生提高压轴题的解题能力.

关键词：高考;压轴题;解法分析;教学启示

2014年高考数学安徽卷理科压轴题如下：

设实数c>0，整数p>1，n∈N*.

（Ⅰ）证明：当x>-1且x≠0时，（1+x）p>1+px;

（Ⅱ）数列{an}满足a1>c  ，an+1=   ·an+  a  ，证明：an>an+1>c  .

本题是数列与不等式的综合问题，考查递推公式、二项式展开、导数、不等式的性质、数学归纳法、放缩法等数学知识和技能，同时考查推理证明、逻辑思维及分析问题、解决问题的能力. 完成本题，要求学生具备较高思维水平和良好的心理素质. 笔者有幸参与了今年的安徽高考阅卷工作，以下就安徽卷理科第21题进行分析和思考，不妥之处，敬请专家斧正.

解法分析

第（Ⅰ）问

解法1：数学归纳法：①当p=2时，（1+x）2=1+2x+x2>1+2x，不等式成立.

②假设p=k（k≥2，k∈N*）时，不等式（1+x）k>1+kx成立，

当p=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k>（1+x）（1+kx）=1+（1+k）x+kx2>1+（1+k）x，

所以p=k+1时，原不等式也成立.

综合①②知，当x>-1且x≠0时，对于一切整数p>1，不等式（1+x）p>1+px成立.

解法2：构造函数f（x）=（1+x）p-（1+px），则f′（x）=p（1+x）p-1-p.

易知，当x∈（-1，0），f ′（x）<0;x∈（0，+∞），f ′（x）>0，

故：当x>-1且x≠0时，f（x）>f（0）=0，即（1+x）p>1+px.

解法3：令ap=  ，由ap+1-ap=…=  <0.

所以数列{ap}单调递减. 因为p>1，n∈N*，故ap

又（1+x）p>0，从而得（1+x）p>1+px.

解法4：利用均值不等式

由已知x>-1且x≠0且知1+x>0且1+x≠1，由均值不等式得，

（1+x）p+  >p  =p+px，

从而得（1+x）p>1+px.

点评：前两种方法属通法，易想易做，方法3新颖别致，美不胜收，方法4运用均值不等式巧妙大气，浑然天成. 法2与法3同为构造法，然而所选主元不同，前者以x为主元，构造函数，后者以p为主元，构造数列. 一道小题，四种方法，沟通了函数、数列、不等式及数学归纳法等重点数学知识和方法.

第（Ⅱ）问？摇

解法1：先用数学归纳法证明：an>c  .

①当n=1时a1>c  成立;

②假设n=k（k≥1，k∈Z）时，ak>c  成立，

由an+1=   an+  a  ，易知an>0，n∈N*，？摇

则n=k+1时，  =  +  a  =1+    -1.

由ak>c  >0，得-1<-  <    -1<0，由（Ⅰ）中的结论得

=1+    -1  >1+p·    -1=  .

因此a  >c，即ak+1>c  .

所以n=k+1时，不等式an>c  也成立.

综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>c  成立.

再由  =1+    -1可得  <1，即an+1

综上所述an>an+1>c  ，n∈N*.？摇

点评：本解法的关键是灵活利用第（Ⅰ）问的结论，把p次幂式放缩、降次转化，对考生思维水平及新知识的迁移应用能力要求较高.

解法2：设f（x）=  x+  x1-p，x≥c  ，则xp≥c，并且f ′（x）=  +  （1-p）x-p=  ·1-  ，知f（x）在[c  ，+∞）上单调递增. 因而当x>c  时，f（x）>f（c  ）=c  .

（1）当n=1时，由a1>c  ，c>0得a  >c，

所以a2=  a1+  a  =a11+  ·  -1）c  ，

从而a1>a2>c  . 故当n=1时，不等式an>an+1>c  成立.

（2）假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，不等式ak>ak+1>c  成立，则

当n=k+1时，f（ak）>f（ak+1）>f（c  ），即有ak+1>ak+2>c  .

所以当n=k+1时，原不等式也成立.

综合（1）（2）可得，对一切正整数n，不等式an>an+1>c  成立.

点评：本解法关键在于构造函数f（x）=  x+  x1-p，x≥c  ，利用函数f（x）的单调性和不动点，有一定的技巧性.

解法3：先证有界性，再证单调性

先用数学归纳法证明：an>c  .

（1）当n=1时a1>c  成立;

（2）假设n=k（k≥1，k∈Z）时，ak>c  成立，

由an+1=   an+  a  易知an>0，n∈N*，

则n=k+1时，ak+1=   ak+  a  =   ≥  =c  . 当且仅当ak=c  取等号，因为ak>c  ，所以ak+1>c  .

综合（1）（2）可得，对一切正整数n，不等式an>c  成立.

再证单调性（利用结论an>c  ）.

作差an+1-an=-  an+  <-  c  -  =0，所以an+1

综上所述，an>an+1>c  ，，n∈N*.

点评：该解法涉及多元均值不等式，用到课本中的结论. 事实上，课本选修4-5不等式选讲（北师大版）第12页的结论：  ≥  ，人教版和其他版本也都有类似结论，可能广大师生没有足够重视.

背景分析

本题第（Ⅰ）问源于课本选修4-5不等式选讲（北师大版）第38页的贝努利不等式定理.而贝努利不等式在人教A版课本4-5第52页例3后面的说明中也明确提到. 事实上，本题就是考查贝努利不等式：（1+x）n≥1+nx（x≥-1，n∈N*）的证明和迁移应用. 贝努利不等式的形式简单、内涵丰富，应用广泛，在自主招生或竞赛中频频出现，在高考试卷中也曾露面. 2012年和2013年高考数学湖北卷理科压轴题也是以贝努利不等式为背景，其实，笔者认为今年的安徽高考压轴题，无论是选材，还是立意都与2007年湖北理21题十分相似.

（2007年湖北理21题）已知m，n为正整数，

（1）用数学归纳法证明：当x>-1时，（1+x）m≥1+mx;

（2）对于n≥6，已知1-    <  ，求证：1-    <    ，m=1，2，3，…，n;

（3）略.

略解：（1）证明从略;（2）当n≥6，m≤n时，由（1）得1-    ≥1-  >0，又1-    ≤1-      =1-      <    .

错解分析

本题考生思维受阻与错解主要表现在：

第（Ⅰ）问典型错解：

错解1：由二项式定理得：

（1+x）p=1+px+C  x2+C  x3+…+C  xp（p>1，n∈N*）.

因为C  x2+C  x3+…+C  xp>0，所以（1+x）p>1+px，

或（1+x）p=1+px+C  x2+C  x3+…+C  xp>1+px.

也有同学分类讨论①x>0，②-1

错解2：令f（x）=（1+x）p-1-px，求导f ′（x）=p（1+x）p-1-p，当x>-1且x≠0时，f ′（x）>0，所以f（x）是增函数，故f（x）>f（-1）=p-1>0.

第（Ⅱ）小问典型错解：先证an>an+1，后证an>c  .多数考生胡乱地论证单调性，接着草率结尾，或者陷入循环论证.

点评：以上错解可见学生对数学基本知识、基本方法掌握得不牢，解题的方法不够灵活，分析解决具体问题的能力不强，解题凭感觉，缺乏数学的理性，未能把握数学学科特点、思维方式.

教学启示

1. 重视思维训练？摇

本题出错或者无从下手的原因除时间紧外，笔者认为最重要的是学生思维能力不强，达不到本题要求的水平. 数学是思维的体操，思维是学习数学的灵魂. 所以，在平时的教学中，教师要重视思维训练，尽可能多开展一题多解等教学活动，引导学生学会思考，促进学生发散性思维能力的发展和灵活多变的思维品质的养成，形成创新意识和能力. 那么，学生在考试时就不会因题目见“新”色变，学生的灵活应变能力就会增强. 例如，本题就是一个难得的好题，解题入手较宽，可以从不同的角度探究试题的答案. 可是，很多考生只能联想到二项式展开，陷入困境，无功而返.

事实上，面对不等式的证明问题，学生应该能迅速联想到不等式的证明方法，如比较法、构造法，放缩法、数学归纳法等，然后逐一筛选、比较，选择恰当的角度，运用相关的知识和方法完成试题解答. 如本题第（Ⅰ）问就有四种合适的角度可选，从而产生四种不同的解法.

然而结果显示，很多考生面对本题显得无能为力，或者空白，或者想到哪儿就胡乱写点儿，明知不对，却不知变通（根本是思维僵化，不能变通），一条道走到底，撞了“南墙”也不回头.

2. 重视回归课本

高考数学试题具有“源于教材，但高于教材，题在书外，但根在书里”的特点，因而在高三复习中需要时刻注意立足教材，回归课本. 课本是数学知识的重要载体，凝聚着许多专家的智慧，引导学生回归课本，有利于数学知识的识记和理解. 只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建起数学的知识网络，以不变应万变. 重视课本中的例题、习题所体现的数学知识和数学思想方法的研究，才能更好地发挥课本的教学功能，才能更好地引导学生体会解决问题的思路、策略和方法，才能更好地发展学生的思维能力.

今年安徽卷三角函数解答题是课本中的题目稍加改编，然而考生做得并不好. 高考卷很多题目都来源于课本，这对一线教学有良好的导向作用，它告诫我们高三复习迎考不能舍本求末而把课本束之高阁，要从题海战术中解脱出来. 还记否，陕西的高考曾考余弦定理的证明，当年不是赞扬声不断吗？因此，对今年安徽高考考课本上的贝努利不等式的证明，我们应该给点掌声.

3. 重视往年考题

高考试题是许多专家共同努力的结果，是专家集体智慧的结晶. 当年高考试题的命制往往会参考近几年的高考题与竞赛题.

所以，我们复习备考要关注往年的高考试题，不仅关注本省的，还要关注外省试题，特别是有着极好背景的、内涵丰富的，解法优美的试题. 解题是中学数学教学的核心，学习数学必须解题，但解题不是“多多益善”，精选题目（包括课本上的例题、习题或近几年的高考真题），多角度思考，多方面联系，深层次探究，才能事半功倍！

题后反思

高考压轴题凝聚着命题专家的智慧，蕴涵着数学的精神、思想和方法. 从压轴题的功能看，应该具有必要的难度和较强的区分度，有利于高校选拔优秀人才. 但是，近年来的高考数学试卷已从压轴题的“一题把关”转变为分散难度“多题把关”，层次分明有台阶，入口宽，上手易，只是深入难，即使难，解题所用的方法也是通性通法和常规常法. 今年安徽高考压轴题第（Ⅰ）问是课本例题，第（Ⅱ）问用数学归纳法、放缩法等常用方法. 所以，教师要提高压轴题研究的意识和水平，帮助学生掌握压轴题的答题策略;指导学生研究压轴题，挑战压轴题，征服压轴题，消除对压轴题的心理障碍，树立解答压轴题的信心，冷静思考，仔细分析，考试会得到满意的结果和分数.