与圆锥曲线切线有关的两个定值

摘 要：圆锥曲线中的定点、定值问题曾是2012年高考的一大亮点，2013年仍然有几个省市考查了定值问题，其中笔者发现2013年山东卷与2012年福建卷都考查了与切线有关的定值问题，本文就与切线有关的两个定值做一推广并证明.

关键词：椭圆；双曲线；抛物线；切线；定点；定值

圆锥曲线中的定点、定值问题曾是2012年高考的一大亮点，2013年仍然有几个省市考查了定值问题，其中笔者发现2013年山东卷与2012年福建卷都考查了与切线有关的定值问题，本文就与切线有关的两个定值做一推广并证明.

2013年高考理科数学山东卷第22题：椭圆■+■=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为■，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明■+■为定值，并求出这个定值.

本文研究（3），（3）的一般性结论为：

命题1：椭圆■+■=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上除顶点外的任意一点，连接PF1，PF2，过点P的切线斜率为k，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，则■+■为定值-■.

证明：设过点P的切线方程为y=kx+m，由y=kx+m，■+■=1 得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0①.

所以Δ=4k2m2a4-4（b2+a2k2）（a2m2-a2b2）=0，所以a2k2-m2+b2=0.

所以①式可化为（mx+a2k）2=0，所以P-■，■.

所以k1=■，k2=■，所以■+■=■·■=-■，得证.

命题2：双曲线■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线上除顶点外的任意一点，连接PF1，PF2，过点P的切线斜率为k，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，则■+■为定值■.

证明：设过点P的切线方程为y=kx+m，由y=kx+m，■-■=1得（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0①.

所以Δ=4k2m2a4+4（b2-a2k2）（a2m2+a2b2）=0，所以m2+b2-a2k2=0.

所以①式可化为（mx+a2k）2=0，所以P-■，■.

所以■=■，■=■，所以■+■=■·■=■，得证.

2012年福建省高考理科数学试题19题：如图1，椭圆E：■+■=1（a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=■，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M.若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由.

第二问的一般性结论为：

命题3：直线l：y=kx+m与椭圆■+■=1（a>b>0）相切于点P，且与右准线交于点Q，椭圆右焦点为F2，则■·■=0.

■

图1

证明：右准线x=■，焦点F2（c，0）.

由y=kx+m，■+■=1得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0①.

所以Δ=4k2m2a4-4（b2+a2k2）（a2m2-a2b2）=0，所以a2k2-m2+b2=0.

所以①式可化为（mx+a2k）2=0，所以P-■，■.

由y=kx+m，x=■得Q■，■，

所以■·■=-■-c，■■-c，■=■+■=0，命题得证.

命题4：直线y=kx+m与双曲线■-■=1（a>0，b>0）相切于点P，且与右准线交于点Q，双曲线右焦点为F2，则■·■=0.

证明：右准线为x=■，焦点F2（c，0）.

由y=kx+m，■-■=1得（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0①.

所以Δ=4k2m2a4+4（b2-a2k2）（a2m2+a2b2）=0，所以m2+b2-a2k2=0，所以①式可化为（mx+a2k）2=0，所以P-■，-■.

由y=kx+m，x=■得Q■，■.

同椭圆证明可得■·■=0，命题得证.

命题5：直线y=kx+m与抛物线y2=2px（p>0）相切于点P，且与准线x=-■交于点Q，抛物线焦点为F，则■·■=0.

证明：由y=kx+m，y2=2px得k2x2+（2km-2p）·x+m2=0①.

所以Δ=（2km-2p）2-4k2m2=0，所以p-2km=0②.

所以①式可化为（kx-m）2=0，所以P■，2m.

由y=kx+m，x=-■得Q-■，■，

所以■·■=■，2m-p，■=■=■=0，命题得证.