三角恒等式在单位圆中的完美展现

摘 要：本文利用单位圆给出了三角函数中一系列三角恒等式的图形证明. 三角函数本身是数与形的完美结合，建议教学中利用三角函数渗透数形结合思想的教育，同时用好课本设置的旁白、思考、探究等内容，去尝试改变课堂教学方式和学生的学习方式.

关键词：三角恒等式；探究；图形证明；教学建议

单位圆是指平面直角坐标系中圆心为（0，0）、半径为1的圆. 单位圆在高等数学中有着十分广泛的应用. 初等数学教材在单位圆中定义了三角函数线，利用单位圆推出了同角三角函数关系，三角函数的诱导公式也是根据单位圆中角的终边的对称性导出的，将单位圆中的三角函数线平移就得到了三角函数的图象等等，所以单位圆在三角函数中的作用不容忽视.

本文从课本一道例题出发，在单位圆中给出三角函数中一系列恒等式的图形证明或揭示三角恒等式的几何意义.

■引例

苏教版必修4“同角三角函数关系” 例4为：求证：■=■.

教材设置了探究：

探究 图1中隐藏了一个例4的“图形证明”，你能发现吗？

■

与教材配套的《高中数学教学参考》提供了如下的图形证明：

P为单位圆周上除A，B外的任意一点，连结PA，PB，则PA⊥PB，设∠POB=α，过P作PM⊥AB于M，则

PM=sinα，OM=cosα，AM=1+cosα，BM=1-cosα.？摇？摇？摇？摇？摇

因为Rt△PMA∽Rt△BMP，所以■=■，即■=■.

对上述图形作进一步的探究可以发现很多三角恒等式的图形证明.

■探究

1. 正切半角公式的几何意义

如图2，Rt△PAB中，∠PAB=■， PA交y轴于N，则OA=1，ON=tan■.

■

因为Rt△AON∽Rt△AMP，

则■=■，即■=■，tan■=■.

又Rt△AON∽Rt△PMB，则■=■，即

■=■，tan■=■，

所以tan■=■=■，

即■，■为线段ON的长.

2. 正弦、余弦降幂公式的推导

如图3，Rt△PAB中，∠PAB=■，PB=2sin■，PA=2cos■.

■

Rt△PAB中，PB2=AB·MB，

得2sin■■=2（1-cosα），即sin2■=■；

同理Rt△PAB中，PA2=AB·AM，得2cos■■=2（1+cosα），即cos2■=■.

3. 降幂公式的几何意义

Rt△PAB中，∠PAB=■，如图4，过O作OD⊥PA于D.

■

由OA=OP得D为PA中点，过D作DH⊥AB于H，则H为AM中点，过O作OE⊥PB于E.

由OP=OB得E为PB中点，过E作EG⊥AB于G.

Rt△PAB中，∠PAB=■，PB=2sin■，PA=2cos■，

所以OD=sin■，OE=DP=AD=cos■，

Rt△ODH中，OH=OD·sin■=sin2■，Rt△OEG中，OG=OE·cos■=cos2■.

显然△ODH≌△BEG，OH=BG=■，即sin2■=■，

△OEG≌△ADH，OG=AH=■，即cos2■=■.

4. 二倍角公式的推导

由探究3知道OG-OH=OG-MG=OM=cosα，即cos2■-sin2■=cosα，

所以cos2α=cos2α-sin2α.

Rt△ODH中，DH=OD·cos■=sin■·cos■，

而DH=■PM，即sin■·cos■=■sinα，

也即sin2α=2sinα·cosα.

5. 两角和的正弦公式的推导

如图5，P，Q是以AB为直径的单位圆上两点，PM⊥AB于M，QN⊥AB于N，PQ交AB于D. 设∠POB=α，∠QOB=β，则PM=sinα，OM=cosα，QN=sinβ，ON=cosβ，

S△POQ=■sin（α+β），

S△PON=■sinα·cosβ，

S△OQM=■cosα·sinβ，

延长QN，过P作PE⊥QN，则PE=MN，

S△PNQ=■QN·PE，S△QMN=■QN·MN，

所以S△PNQ=S△QMN，所以S△PND=S△QMD，

所以S△PON+S△OQM=S△POQ，

即■sinαcosβ+■cosαsinβ=■sin（α+β），

sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）.

6. 两角和的正弦、余弦公式的几何意义

如图6，P，Q在以AB为直径的单位圆上，∠POB=α，∠QOB=β，作PM⊥OB于M，PN⊥OQ于N，

则PM=sinα，OM=cosα，PN=sin（α+β）.

■

图6

过M作DM⊥OQ于D，过P作PE⊥DM于E，则∠PME=β.

Rt△PME中，ME=PM·cosβ=sinα·cosβ，

Rt△ODM中，DM=OM·sinβ=cosα·sinβ，而

PN=ME+DM，所以sin（α+β）=sinα·cosβ+cosαsinβ. 在图6中，过M作MF⊥PN于F，∠MPF=β，

MF=sinαsinβ，OD=cosαcosβ，ON=cos（α+β），

而ON=OD-DN=OD-MF，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

■建议

1. 强化数形结合思想的渗透

数形结合是高中数学四种重要的思想方法之一. 各地的普通高考考试说明中都有：“……注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中蕴涵的数学思想方法的考查.” 这就要求高中数学教学必须重视思想方法的传授，并且找准载体. 三角函数是由“比值”定义的，三角函数的本质是比值，所以三角函数本身就是数与形的完美结合，三角函数也就成为渗透数形结合思想的最理想的载体. 所以我们可以通过与三角函数知识相结合，在解题的具体操作过程中达到对数形结合思想方法的体会、领悟，提高运用数形结合的思想分析和解决问题的能力和自觉性.

2. 改变课堂教学的方式和学生学习的方式

新课程实施了很多年，课堂教学的面貌有所改变，但现在大部分的课堂教学还远不能适应学生个性发展的需要. 教材编写者通过设置旁白、思考、探究、阅读、实习作业、链接等内容，试图为教学方式和学习方式的改变提供课题. 例4的探究其实是一个很好的研究素材，通过探究可以帮助学生深化对三角函数知识的理解，让学生建立代数和几何之间的初步联系. 本文的探究还为学生提供了富有挑战性的问题，激发学习兴趣，提高思维水平，锻炼意志品质. 尝试改变才可能有所改变. 建议在必修4的复习阶段，布置分组探究，组织交流，也可以作为学生进行研究性学习的研究课题，分组、分阶段实施，数学教师作为课题指导者参与其中.

以上探究其实还远没有结束，还可以探究其他三角公式的几何证明及几何意义. 另外，在“探究”中，课本默认了α∈0，■，那么如果α？埸0，■呢？探究5、6、7对图形的依赖性很强，如果α，β的大小改变又会怎样呢？