高中数学课堂教学中“留白”的设计

摘 要：在课堂教学过程中，往往会遇上教师倾囊而授，学生却无意接纳的尴尬，此时我们的教学策略应该适度调整，在四个课堂教学环节上适度留白，激发学生的求知欲望，从而使教学效果更有效.

关键词：留白；知识桥梁；课堂教学

■引言

“留白” 是我国传统艺术的重要表现手法之一，被广泛用于研究中国绘画、陶瓷、诗词等领域中. 留白是中国画的一种布局与智慧. 画如果过满、过实，在构图上就失去了灵动与飘逸，显得死气沉沉；而有了留白，便给予观赏者以遐想和发挥的空闻.

《普通高中数学课程标准》课程的基本理念之一是倡导积极主动、勇于探索的学习方式. 学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式. 这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程. 然而在常规的课堂教学中，教师往往过于慷慨，倾囊而授，将课堂的学习目标完完整整地从自己的嘴中讲出，就像一幅画得满满的画，失去了灵动的空间. 我们可以在实际教学过程中，尝试使用“留白”，改变“教师讲，学生听”的被动式学习现状，给学生带去思考与训练、遐想与发挥的空间，这也就达到了我们的目的.

■课堂教学环节中的四处“留白”设计

“留白”当然也需要恰到好处，并非所有的教学环节都可以使用“留白”，笔者认为一节课堂中有四个环节可以尝试“留白”，从而促使课堂的生成与效率的提升. 下面以《椭圆的标准方程》第一课时为教学案例，浅谈“留白”的四个切入点.

（一）引入新课之前的“留白”

本课时，教师事先让学生准备一根绳子、两个图钉和一块画板.上课开始就让学生用铅笔在画板上尝试画椭圆.教师在观察学生画椭圆的基础上，有代表性地让学生归纳出椭圆的概念，加深学生对椭圆概念的理解.

教师：我们前面学习了圆，知道了平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，那么在平面内，到两个定点的距离之和为定长的点的轨迹又是什么呢？

大家用一根绳子和两个图钉，根据书上的探究尝试去画了一个椭圆.

学生模仿探究，动手实验后回答：平面内到两个定点的距离之和为定长的点的轨迹是椭圆.

教师展示学生实验的三个不同情况（接近圆的椭圆、扁平的椭圆、把线拉直了没画出来）.

教师：刚才我看了同学们画椭圆，大多数同学都画出来了，画出的椭圆不尽相同，扁平不一，有几个同学画不出来，这是为什么呢？

学生1：线拉得太紧了，定点间距离等于直线了！

学生2：绳子长要比两个定点间距离大，才能画出椭圆来.

教师：为什么这两位同学画出来的椭圆一个很扁平，一个接近圆呢？

学生1：与定点之间的距离有关.

学生2：定点距离越大，画出来的椭圆就越扁平，定点之间距离越小，就越接近圆，两个定点重合在一起就是圆.

在此基础上，教师让学生小结，自己在黑板上板书：

一个动点P到两个定点F1F2的距离之和等于一个常数2a，PF1+PF2=2a，F1F2=2c，

（1）若a>c时，P点的轨迹是椭圆；当c越接近a时，椭圆越接近圆，否则越扁平；

（2）若a=c时，P点轨迹是线段F1F2.

（3）若a

在这个环节留白的设计意图：如下图，在引出概念之前设计“留白”，其目的是在复习旧知识的过程中，由旧知识引出新知识，留白点可设计学生在已经获得知识的基础上，通过数学实验、概念间联系、对旧知识的归纳及扩充、与原来概念进行类比等，由学生得出新概念.

■

图1

这个环节的留白，控制好时间很重要，必须事先设计好“留白”的时间，否则将影响到后面的学习进度.本课时设计时间为5分钟.

（二）讲解新知识后的“留白”

在介绍了椭圆概念后，教师将与学生共同活动，推导出椭圆的标准方程. 此时设计留白，让学生对公式（定理）加深理解，归纳出一般的数学方法、解题技巧.

本课题，笔者设计了以下三个问题“留白”，让学生在讨论中思考、探究，达到以下目标：

①推导曲线的轨迹方程一般有几个步骤？建立怎样的坐标系能使方程简单？

②化解根式方程有什么方法和技巧？

③标准方程有什么特征？

教师：我们现在开始来研究椭圆的方程，大家先来回忆圆方程的推导过程和步骤.

学生：在研究圆的方程时，我们的步骤是：（1）建系设点；（2）找等量关系；（3）列式化简；（4）结论.

教师：很好，现在我们用同样的步骤来研究椭圆的方程，先思考如何建系.

学生通过椭圆的定义和观察椭圆的形状特点答道：以F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立坐标系.

教师：很好，接下来的步骤是什么？

学生：根据椭圆的定义，F1（-a，0），F2（a，0），设P（x，y）是椭圆上任意一点，所以由定义有PF1+PF2=2a，代入点坐标，得到等式■+■=2a.

教师表扬学生后继续将问题留给学生，怎样化简？

这时候，学生的回答有两种：第一种，直接两边平方；第二种，先移项，后平方.

教师将班级学生分成两组，将这两种方法分配给两组，留出时间让学生动手，教师进行观察. 学生动手运算后发现，两种方法都需要对等式平方两次，第一种方法在第一次平方后会出现2■这项，运算较烦琐，而第二种方法，先移项后平方，运算相对简单一些.

最后，教师和学生一起对所化简出来的等式进行分析，设b2=a2-c2（b>0），就得到了焦点在x轴上的椭圆的标准方程■+■=1（a>b>0）.

教师然后让学生通过自己看书，类比探究学习焦点在y轴上的椭圆的标准方程.

教师总结：推导曲线的方程可以分成几个主要步骤？为什么建立这样的坐标系？

学生1：在研究圆的方程时，其步骤是：（1）建立坐标系和设已知点和轨迹点；（2）找等量关系；（3）列式化简.

学生2：建立不同的坐标系，得到的方程不同；

学生3：根据轨迹图形对称性，建立坐标系，得出的轨迹方程简单，如取对称中心为原点，取对称轴为坐标轴.

教师：如果建立焦点所在的直线为y轴，方程有什么变化？标准方程是什么？

学生：就是将标准方程中，x和y互换，就可以得到标准方程■+■=1.

教师：化简方程的过程中，你学到了哪些方法和技巧？

学生1：化简过程中，用了一个等式a2-c2=b2，使得标准方程非常简洁、美观.

学生2：根式的化简是等式两边平方.

学生3：两个根号方程的化简，先将等式变形，使得等式两个各留一个根号.

教师：标准方程的特征是什么？

学生1：标准方程的右边为1，x2的分母是长半轴a的平方，y2的分母是短半轴b的平方，只要知道椭圆的长轴和短轴的长，就可以直接写出它的方程.

学生2：知道了椭圆焦距和长轴（或短轴）长，可以直接写出它的标准方程，只要运用a2-c2=b2算出b.

学生3：由方程可以判断出椭圆的焦点在哪个轴上.

教师：刚才那位同学将绳子拉直后，轨迹方程是什么？

学生：一条线段，方程x=0（-c≤x≤c）.

讲解新知识后的“留白”设计意图：教师与学生共同活动中，得出一个新的公式、定理后，作为学生，他们是第一次接触，并不熟习，尤其是对于数学基础不是很扎实的学生，需要对新的公式或定理的结构形式特点、条件和结论、有关参数的意义等进一步理解和记忆，以便在应用时得心应手. 否则，得出新知识后马上举例，就会导致部分学生跟不上教师的进度.

（三）例题讲解前后的“留白”

在得出椭圆的标准方程后，接下来就是巩固训练，讲解例题.本课时笔者安排了以下四个例题.

例1：求下列椭圆的焦点坐标、长半轴a和短半轴b的长.

（1）■+■=1；

（2）■+■=1；

（3）■+■=1；

（4）9x2+16y2=144.

例2：椭圆的两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程.

例3：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0）， 并且经过点■，-■，求椭圆的标准方程.

例4：已知△ABC的顶点B，C在椭圆■+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是__________.

1. 出示例题后，教师不要急于去讲，而是要设计留白，让学生自己去看题、读题、思考，尝试着去解决问题. 然后，教师再让有思路的学生讲思路、讲解法，一般为了节约时间，教师来做适当的板演.

2. 一般情况下，例题讲解结束，紧接着就是简单的小结，然后布置作业，但是这样的安排往往不利于学生解题能力的提升. 此时，笔者设计了以下的“留白”.

教师：通过例题的学习，大家总结一下有些什么收获？

学生1：将椭圆化为标准方程后，可以根据x2，y2的分母的大小来确定焦点在哪个坐标轴上，可以归纳为“看大小确定确定长、短轴，焦点跟长轴”，分母大的是a2，小的是b2，a2的上面是焦点所在的轴.

学生2：如果一个动点的轨迹方程是■+■=10，不要再进行化简，可以直接写出它的标准方程■+■=1. 类似这样两个根号方程，都可以直接利用推导出来的结论.

学生3：方程中两个待定的系数，可以根据题意先设标准方程，然后用待定系数法来确定这个方程.

学生4：应用椭圆的定义，可以求出过焦点的有关线段长度.

上述例题都是先让学生练习，请学生上黑板板书，然后教师再点评，把时间留给学生，把黑板留给学生. 教师的点评让更多的学生能掌握好本堂课的重点.例题的讲解中留白，可以让学生审视问题的所在，学会思考问题、分析问题，并在解决问题时学会思考.

（四）课堂小结的“留白”

“留白式”课堂教学模式打破传统的教学模式，让学生自己小结，教师将学生总结中不足的补充完整.

教师：同学们总结一下，这节课学到了哪些知识？

在学生陆续回答中，教师板书：

一、椭圆的定义及其标准方程

PF1+PF2=2a，F1F2=2c.

（1）a>c时，P点的轨迹是椭圆；

（2）a=c时，P点的轨迹是线段；

（3）中心为原点，焦点在x轴上，标准方程是■+■=1（a>b>0）；当a=c时，P点的轨迹方程是x=0（-c≤x≤c）；

（4）中心为原点，焦点在y轴上的标准方程，将（3）中的方程x和y互换.

二、方程应用和解题方法和技巧

（1）求轨迹方程的步骤和建立坐标系的技巧；

（2）含有根式的方程的一般化简的方法；

（3）P（x，y）到F1（-c，0）与到F2（c，0）距离之和等于2a？圳■+■=2a？圳■+■=1；

（4）待定系数法，求椭圆的标准方程；

（5）在标准方程中，“看大小”确定长短轴，判断焦点在什么轴上；

（6）用定义求过焦点的线段长.

三、“留白”反思

文中采用的是“留白” 式的教学模式，此模式打破了传统的数学教学课堂模式中“以教师为主体，以讲授为主要形式，以完成教学目标的预设的内容为主要目的”的教学模式. 德国教育家第斯多惠指出：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞.” 有效的数学教学，课堂中应该让学生动手实践，亲身体会知识的发生、发展过程. 教学中将“问题”留白，知识点让学生回答，通过问题留白使学生的知识和思维同步发展. 通过精讲例题、精选习题，培养学生的综合数学能力.该课中“留白” 式教学模式，教师从教材出发，在课堂教学中根据教学内容的需要，不直接把一些学习内容通过讲述的方式明确告之学生，而是通过言语激发、提出问题等方式留下“空白”，引发学生在更广阔的时间和空间里实践与操作、联想与想象、思考与探索，更好地发挥学生主体作用填补空白的一种教学模式，学生都积极主动地参与了教学中的每一个环节，吸引了学生的注意力，激发了学习兴趣，让学生在求知的过程中主动地去探索、思考和发现. 同时，适当地采用一些留白教学，学生能在教师留下的空白里得以充分发挥，使课堂更加精彩，课堂教学的有效性也得到了提高.