从数学“能力立意”题的教学谈学生探究能力的培养策略

摘 要：高考数学试题越来越彰显“考查基础知识的同时，注重考查能力”的特点，这是课程改革、考试改革的必然趋势，而在高中数学教学过程中如何培养学生数学素养、提高学生综合探究问题的意识和能力，也是高中教师迫切需要解决的问题. 以“能力立意题”为载体，注重细节，领悟本质，优化思维，综合探究，恰是解决这一问题的有效途径.

关键词：能力立意；综合探究；培养策略

高考命题经历了由“经验型命题方式”向“科研型命题方式”的转化，“能力立意”成为教育改革深化的必然趋势. 《2013年浙江省普通高考考试说明》中指出：数学学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养. 浙江数学高考中几个“灵活性”较大的试题往往体现了这样的素养要求，我们把这些题称为“能力立意”题. 历年来这些题往往描述简约，实不简单，透过现象看本质，又是凭借极其基础的知识内容，达到学科整体高度和思维价值高度. 学生面对这些问题往往望而生畏，不敢触碰. 这种现象也反映了当前学生的数学学习还停留于“模仿+训练”的阶段，缺乏自主探究和综合应用的能力.

由于能力的形成是一个潜移默化的渐进过程，作为数学教师，也要适应时代发展的需要，积极研究能力立意题的命题特点和动向，不应在高三复习阶段，而应在整个高中阶段，多设计运用并挖掘能力立意题的教学教育功能，以提高教学针对性、有效性，真正提高学生的数学素养和综合探究问题的意识和能力.

■能力立意题的类型和特点

以知识点考查为载体，突出能力立意的数学问题大致可归为如下几种类型：

类型1：以数学内容为基点， 以基本的推理能力和思维要求为立足点， 突出考查学生一般能力的表现，测量学生的学习能力.

例1 （08年浙江高考理科数学卷第10题）设AB是平面α的斜线段，A为斜足；点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）（选项略）.

分析：该题考查空间图形中的动点轨迹，初看很难，但由条件“△ABP的面积为定值”稍作推理便知点P在圆柱的侧面上，再由条件“点P在平面α内运动”便知动点P的轨迹是平面α截圆柱的侧面所得的图形，为一个椭圆.

类型2：以多元化、多途径、开放式的设问背景， 比较客观、全面地测量学生观察、试验、联想、猜测、归纳、类比、推广等思维活动的水平，激发学生探索精神、求异创新思维.

例2 （07年上海高考理科卷第10题）平面内两直线有三种位置关系：相交、平行与重合.已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2. 试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件.

分析：该题具有开放式的设问背景，答案不唯一，需要学生通过观察、试验、联想、猜测等思维活动，最终归纳出答案.

类型3：以源于社会、源于生活的问题考查学生，有效地测量学生抽象、概括以及建立数学模型的能力，使学生认识世界，把握问题的本质，筹划应对的策略.

例3 （08年浙江高考理科卷第19题）一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是■；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是■.

（Ⅰ）若袋中共有10个球，

（ⅰ）求白球的个数；

（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ.

（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于■，并指出袋中哪种颜色的球个数最少.

分析：该题通过具体的摸球模型考查概率统计问题，要求学生能将实际问题抽象成典型的概率模型来计算（第1小题），并通过对数据的分析来刻画实际情景（第2小题）.

■通过能力立意题培养学生自主探究和综合应用能力的教学策略

能力的含义非常广泛，就高中数学教学而言，能力主要指学生的自主探究和综合应用能力. 为此，在解题教学中通过能力立意题培养学生能力可采取以下策略：

策略1 注重剖析学生解题困难或解题错误之细节所在

当高中学生已具有相当的解题水平和综合应用能力时，许多问题不能得到圆满解决并非是因为没有思路不会做，而是在某些细微环节上处理不当，不会调控解题策略导致“卡壳”，作为教师，应该在这种地方做好弥补工作.

例4 （2013年高考全国卷Ⅰ理科题16）若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为_________.

分析：由图象关于直线x=-2对称，易知函数有四个零点-5，-3，-1，1，所以可设f（x）=（1-x2）（x+3）（x+5），即f（x）=（1-x2）（x2+8x+15），所以f ′（x）=-4（x3+6x2+7x-2）. 又由图象关于直线x=-2对称，易知f ′（-2）=0（-2是函数f（x）的极值点，如图1所示），所以f ′（x）=-4（x+2）·（x2+4x-1）. 由f ′（x）=0解得函数f（x）的极大值点为-2±■，可求得f（x）的最大值等于f（-2±■）=16.

反思：本题利用四次函数图象的对称性，不仅简洁地求得了解析式，而且克服了对导函数（是一个三次函数）分解因式的困难. 由对称性得到-2是函数f（x）的极值点是成功解题的关键.

策略2 启发学生领悟知识与方法的数学本质

1. 领悟知识本质，实现举一反三

一个问题的解决，只有从知识与方法角度领悟其数学本质后，才能真正达到“举一反三”的效果.

例5 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且■=■，求■=______.

解答：■=■=■.

分析：上述解法看似简便，但没有触及等差数列本质的数学性质.如果改求■=______，就无法用上述方法完成. 教师应启迪学生从数列的函数本质入手，作如下解答：由■=■，设Sn=kn（5n+3），Tn=kn（2n+7）（k为某非零常数），则■=■=■，用该方法也能解上述题. 因此，设Sn=kn（5n+3），Tn=kn（2n+7）（k为某非零常数）是解这类问题的“通法”. 而教师需要进一步指明这种做法的缘由，即知识背景是“等差数列前n项和一定可表示为Sn=An2+Bn的形式”.

2. 辨析方法本质，审视“巧思妙解”

例6 （2008年高考浙江卷题8）若cosα+2sinα=-■，则tanα等于（ ）

A. ■？摇？摇？摇 B. 2？摇？摇？摇？摇 C. -■？摇？摇？摇？摇？摇D. -2

“巧解”如下：由f ′（α）=-sinα+2cosα=0，解得tanα=2.

分析：f（x）=cosx+2sinx在α处取极（最）大值，所以f ′（α）=-sinα+2cosα=0. 如果忽视这一本质条件，那会造成解题错误，比如若cosα+2sinα=-■时tanα=2显然不能成立.

策略3 引导学生积极反思，优化数学思维过程

数形结合、等价转化等都是处理能力立意题的常见思想方法，也是重要的数学思想方法，在解题后的反思中应突出强化.

例7 （2011届杭州市二模试题）设实数x，y满足不等式组2x-y-1≥0，4x-y-6≤0，2x+y-k-2≥0， 且4x2+y2的最小值为m，当9≤m≤25时，实数k的取值范围是______.

分析：如果直接观察z=4x2+y2的几何意义，可先化为■+■=1，则■表示动椭圆长半轴的取值.因为观察动椭圆是否经过可行域内的点比较困难（需对相切或过区域某顶点进行讨论），所以可将问题作如下转化： 设x′=2x，y′=y，则x′-y′-1≥0，2x′-y′-6≤0，x′+y′-k-2≥0， 目标函数z=x′2+y′2，那么■表示点（x′，y′）到原点的距离，可求得k∈[■-2，5]（过程略）.

反思：通过换元转化为线性问题，大大简化了问题情景.

策略4 引导学生自主探究与发现，切实提高解决综合问题的能力

自主探究充分体现了数学学习的过程与方法，训练了学生提出新问题、解决新问题的能力.为发挥教师的主导作用，教师在“如何创设学生自主探究的情景、如何指导学生探究的方法”等方面也是需要深入研究的.

1. 设计变式问题组，引领学生深化探究

例如，向量的数量积是向量的重要运算内容，教师可以设计系列问题，让学生在积极探究中对向量数量积的运算法则、运算的几何意义、综合应用有深刻的认识，在掌握知识的同时提升能力. 为此，笔者分以下几个步骤逐层展开：

（1）回顾基本定义和运算法则.例如 “边长为1的正△ABC中，■·■=________；平面直角坐标系中，A（-1，0），B（1，0），动点P满足■·■=3，那么动点P的轨迹是______.”？摇？摇？摇

（2）剖析问题背景，合理寻求解题方案. 例如“已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且AB=■，则■·■=______.” 让学生在数量积的两种运算公式中加以辨别和选择.因为问题背景是解析几何，具备坐标，很多学生尝试用数量积的坐标运算公式来计算，结果由于A，B坐标的不确定性遭受挫折. 考虑到问题背景是直线与圆两个特殊图形，■=■=1，只需确定∠AOB=120°，问题便迎刃而解. 这类问题立意在于考查学生的探究能力，要求学生积极探究数学对象的性质，根据具体问题的特点，探究解决问题的内在规律.只有经过这样的探究，才能深刻体会到两种公式的应用情景.

（3）变式设问，引导学生积极探究，培养推理论证的能力. 通过变式练习“平面直角坐标系中，A（-1，0），B（1，0），动点P满足■·■=3，那么■·■的取值范围为______.” 首先让学生用特殊情况（点P在坐标轴上时）提出猜想与假设，然后引导学生推理和论证，将公式变为■·■=■=■，从而将问题转化为求cos∠APB的范围，问题就得到解决了；进一步可以鼓励学生提出问题，如“求■+■的取值范围”；让学生在体会知识间的联系和转化的过程中提高能力，增强数学学习兴趣.

2. 反思习题能力立意，探究习题教学功能

教师在讲解例、习题时绝不能就事论事，告诉学生正确答案就算完工了；在遵循数学知识的科学性、严密性的同时要挖掘数学的育人功能. 许多例、习题蕴涵着动人的数学思想方法，承载着深厚的教育价值，教师要高瞻远瞩，把握其能力立意，并向学生及时传达，这是在潜移默化中培养学生能力的最好途径.

例8 如图2，在三棱锥P-ABD中，PA⊥面ABD，AD⊥BD，AD=■BD=1，C为BD的中点.

（1）设PD=x，∠BPC=θ，试求tanθ与x的函数关系式，并求tanθ的最大值；

（2）在直线PA上是否存在点Q，使∠BQC>∠BAC.

■

分析：该考题巧妙地将代数与立体几何综合起来，考查了学生的空间想象能力和数据处理能力、第2小题的设问带有开放性，考查学生的探究能力和推理论证能力，而且为降低难度，第1小题设问指向性强，又为第2小题作了铺垫. 学生先结合空间想象认识图形，由三垂线定理获得PD⊥BD，然后按设问的指引，容易列出tanθ=tan（∠BPD-∠CPD）=■=■（x>1），所以当x=■时，tanθ取最大值■. 对于第2小题，先注意到tan∠BAC=■<■，可以提出猜想点Q是存在的，在推理论证中可利用第1小题提供的方法，设DQ=t，则tan∠BQC=■（t>1），由■>■，解得1∠BAC成立.

反思：通过以上分析，已向学生展示了该试题四个方面的能力立意，本人又进一步注意到该试题通过构造数学模型，解决了一个学生很难理解的问题：“已知A，B两点在平面α内，点C在平面α外，点C在平面α内的射影为C′，若∠ACB=90°，则∠ACB<∠AC′B. 那么当∠ACB≠90°时，是否也有类似结论？”绝大多数学生都误认为∠ACB<∠AC′B是恒成立的，教师用几何图形举反例又理解不了，而该试题用图形和数量的方式，清楚地设计了一个具体的几何模型，让学生很容易理解. 像这样能对问题进行转化构造，用数学模型来解决问题的思想正体现了数学的应用意识.

■结语

数学习题的基本功能在于使学生能应用基本概念、公式、定理、法则等解决问题，从而达到熟悉这些基本概念、公式、定理、法则和形成基本技能和解题方法的目的. 要求稍高的习题能承载数学思想方法，发展学生的数学思维能力和理性精神；一些具有选拔功能的习题则是考查学生的综合应用数学知识分析问题、解决问题的能力；而更有意思的习题能够为学生提供一个进一步探究的平台.

充分发挥“好”的习题的教育功能还需要教师积极发挥主导作用. 如何讲解习题？如何挖掘习题蕴涵的教育价值？如何用习题来教学生？如何用习题来调动学生的学习自主性？这些问题都是教师应该关注的.