“有趣的勾股数”探究活动方案

艾文娟

一、 活动的提出

古往今来，勾股数被太多的人津津乐道，可见其神秘性和趣味性. 《周髀算经》记载的“勾三股四弦五”中的（3，4，5）就是一组最简单的勾股数. 当然，勾股数远远不止这些，由此足见“有趣的勾股数”探索的价值和必要性.

二、 活动的目的

（1） 由简单的勾股数发现其内在的规律，进而对勾股数计算公式进行证明，增强方程和分类讨论思想方法的培养和提升；

（2） 利用类比思想将平面上的问题拓展到空间立体图形上，初步感受科学思维的价值，发展合情推理能力.

三、 活动的过程

[创设问题]解不定方程x2+y2=z2，写出尽可能多的解.

[活动说明]呈现勾股数和方程之间的联系，体会“数”与“形”的紧密结合，学生通过动手尝试，增强了对数的规律的探究欲望.

[活动1]观察符合要求的勾股数，尝试找出勾股数的基本特征.

（3，4，5） （5，12，13） （6，8，10） （10，24，26）

（7，24，25） （8，15，17）（9，40，41）……

[活动说明]通过呈现全班同学所写出来的勾股数，去发现勾股数应满足的性质和特征，进一步提升学生的分类讨论能力.

[活动2]根据勾股数的特点，制造出勾股数生成器.

（1） 当a为奇数时，写出数b和c之间的数量关系；若设a=2n+1，用n表示b和c.（n为正整数）

（2） 当a为偶数时，写出数b和c之间的数量关系；若设a=2n，用n表示b和c.（n≥2，n为正整数）

[活动说明]在活动1了解a分奇偶性讨论的前提条件下，运用方程的思想，得到用n表示b和c的代数式，从而在随意给出一个a值的条件下，能快速说出b和c的值，让学生在探究过程中体会成功的乐趣和发现数学的奥秘.

[活动3]若a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（m>n，m，n为正整数），a，b，c是勾股数吗？若是请验证，不是请说明理由.

[活动说明]从乘法公式入手，得到这种表达式是勾股数，所以任意给出两个数，我们可以通过这个生成器得到一组勾股数. 让学生体会创新精神的新鲜和成功.

四、 活动创新

四边形ABCD是矩形，AC为对角线，则有AB2+BC2=AC2，即AB、BC、CA的数量关系符合勾股定理.

ABCD-A1B1C1D1是长方体，若长方体的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面积分别用α，β，γ表示，则是否有α2+β2=γ2成立？请说明理由.

[活动说明]从平面图形到立体图形的变化，告知学生，在数学中，我们常运用类比方法，从低维向高维发展，用已有的知识解决新的问题.

五、 活动收获

回顾本次活动对勾股数深入探究的心路历程，相信你有满满的收获，勾股数内在的规律帮助我们辨别一组数是否勾股数，可以省去很多复杂的计算.

（作者单位：江苏省镇江市外国语学校）