巧用辅助未知数，解方程更简便

梅怡文

应用题是数学竞赛中的热门题型，涵盖的知识点较多，且解法多样灵活. 而方程则是最为常见的解题工具.解此类题目的关键是要从实际问题中抽象出数学模型，列出相应的方程式，而列方程最重要的环节就是未知数的设立，因此，要列好方程，首先要学会合理设置未知数，设置有价值的未知数.

设立直接未知数或间接未知数是同学们在解方程时常用的方法，一般的方程应用题运用以上两种设法基本上都可以解决，但是有些较复杂、信息量较大的题目就要学会设置辅助未知数来巧妙求解. 这些未知数不一定要求解，因为在解题过程中它们往往会相消或者是相约，只是利用它们的过渡作用达到列出方程并解出方程的目的. 下面选取几个例题来说明辅助未知数的用法，与大家共享：

例1 一个工程队承包了甲、乙两项工程，甲工程的工作量是乙工程的两倍，前半个月全体工人都在甲工程上工作，后半个月工人平均分成两组，一组仍在甲工程工作，另一组到乙工程工作，一个月后，甲工程完工，乙工程的剩余量刚好是一个工人一个月的工作量. 请问：这个工程队一共有多少工人？（每个工人的工作效率相同）

分析：本题在解答过程中要抓住的是甲、乙工程量的关系，因为工人的工作效率未知，故可设置其为辅助未知数.

解：设总人数为x，每个工人的月工作量为a，列方程如下：

x·+·=2

·+a.

ax=ax+2a.

x=x+2.

x=8.

答：这个工程队共有8人.

小结：解方程过程中辅助未知数被相约，从而只剩下一个未知数，可以轻松解出所求未知数.

例2 在某种浓度的盐水中加入一杯水后，得到新盐水，它的含盐率为20%，又在新盐水中加入与前述“一杯水”相同质量的纯盐后，盐水的含盐率变成33.33%即为

，那么原来的盐水含盐率为（ ）.

A. 23% B. 25%

C. 30% D. 32%

分析：本题在解答时应抓住前后两次改变后的含盐率，并利用公式——盐水×含盐率=盐，且明确——加入水质量=加入盐质量.

解：设原盐水质量为a，含盐率为x，加入的水（盐）质量为b.

=， ①

=. ②

由①得5ax=a+b，由②得ax+b=，ax代入后得=.

求得a=4b，代入①得=，相约后得x=，即x=25%.

答：应选B.

小结：本题在设未知数的过程中，a，b均为辅助未知数，最后用含有b的代数式来表示a并将分子与分母中的b相约从而求得x. 同时这个题目中运用的代入消元法，也能帮助我们将复杂的方程式化成一元一次方程.

由上述两个例子我们可以看出，对于存在等量关系的实际问题，我们都可以运用方程的思想着手解决，不用担心未知数的个数，列出方程后再运用消元的思想去解方程.

教师点评：这两类问题我们经常会遇到，尤其是例2，它反映了数学学科和化学学科之间的联系，学科间的融合性在这里充分体现. 该同学能根据问题中的等量关系，大胆地列出方程，并转化成我们所学过的一元一次方程去解决，体现了解决方程最本质的消元思想.

（指导教师：李 慧）