让智慧在解题中提升

管燕岭

一元一次方程是最基本的一类方程，它是本学期数学学习的一个重点，也是以后学习其他类型的方程的基础. 本文旨在帮助同学们正确理解一元一次方程的概念、方程解的定义，熟练掌握一元一次方程的解法，利用一元一次方程的知识解决一些生活中的应用问题.

例1 判断下列说法是否正确：

（1） 如果ac=bc，那么a=b；

（2） 如果=，那么a=b.

【解析】 等式性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式.

等式性质2：等式的两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.

由等式性质2知，等式两边同除以同一个数，除数必须不为0，所以只有当c≠0时，才能得到a=b. 故（1）不正确. （2）正确，由=，等式两边同乘c，即得a=b.

练习1 下列变形正确的是（ ）.

A. 若x=y，则x+2m=y+2m

B. 若a=b，则a+c=b-c

C. 若a=b，则=

D. 若（m2+1）a=-1（m2+1），则a=1

答案：A.

例2 方程（m-1）x|m|=m+2n是关于x的一元一次方程，若n是它的解，则n-m=_____.

【解析】 根据一元一次方程的定义可知，未知数系数不为0，未知数最高次数为1，因此需满足m-1≠0且|m|=1；根据方程的解的定义可知x=n是方程的解.

解：由方程（m-1）x|m|=m+2n是关于x的一元一次方程知：m-1≠0且|m|=1，解得m=-1. 原方程化简为-2x=-1+2n. 由n是方程-2x=-1+2n的解知-2n=-1+2n，解得n=. 则n-m=.

练习2 关于x的一元一次方程（k2-1）xk-1+（k-1）x-8=0的解为_____.

答案：x=2.

例3 解方程=-.

【解析】 该方程不仅有分母，分母还是小数，若利用分数基本性质，分子、分母同时扩大，则会导致分子数值很大. 可利用等式性质2，让分母化整，再去分母.

解：=-.

等式两边同乘0.001，得

=-.

等式两边同乘72，得

3（7x-1）=4（1-0.2x）-6（5x+1）.

去括号，得21x-3=4-0.8x-30x-6.

移项，得21x+0.8x+30x=4-6+3.

合并同类项，得51.8x=1.

系数化为1，得x=.

练习3 解方程：-=20.

答案：x=-10.

例4 当x=1时，px3+qx+1的值为2 004，则当x=-1时，px3+qx+1=______.

解：把解“代”回家，当x=1时，px3+qx+1=p×13+q×1+1=p+q+1=2 004，由此可得p+q=2 003；再把x=-1代入px3+qx+1，可得px3+qx+1=p×（-1）3+q×（-1）+1=-p-q+1=-2 003+1=-2 002.

练习4 方程-=2x+k的解是x=3，那么k2+的值等于_______.

答案：35.

例5 A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/小时，乙车速度为80千米/小时，经过t小时后甲、乙两车相距50千米，则t的值为_________.

【解析】 因为经过t小时后甲、乙两车相距50千米，包括两种情况：一种是还未相遇两车相距50千米；一种是相遇后继续行进，相距50千米. 所以求t值时，应分类讨论.

解：当两车未相遇时，120t+80t+50=450，解得t=2；当两车相遇时，120t+80t-50=450，解得t=2.5. 因此经过2小时或2.5小时两车相距50千米.

练习5 A、B两城市相距110 km，大巴车和出租车分别从A、B两地同时出发相向而行，大巴车的速度为55 km/h，出租车的速度为65 km/h，两车出发多长时间后相距10 km？

答案：两车出发50分钟或1小时后相距10 km.

例6 为迎接校运动会的召开，七（2）班学生接受了制作小旗的任务. 原计划一半同学参加制作，每天制作40面. 完成了三分之一后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务. 假设每人的制作效率相同，问共制作小旗多少面？

【解析】 本题可借助示意图来理清思路，从而找到等量关系.

若设计划做x天完成，由题知：

解：方法一 设计划做x天完成，

由题可列方程：

40×x+40×2×

x-1.5=40x.

解方程得x=4.5.

所以，40×4.5=180（面）.

答：共制作小旗180面.

方法二 设共制作x面小旗，由题可列方程：=×++1.5.

解方程得x=180.

答：共制作小旗180面.

练习6 一收割机队每天收割小麦12公顷，收割完一片麦地的后，该收割队改进操作，效率提高到原来的倍，因此比预定时间提早1天完成.问这片麦地有多少公顷？

答案：这片麦地有180公顷.

例7 为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准部分的水价为2.5元/吨. 该市小明家5月份用水12吨，交水费20元. 请问：该市规定的每户每月用水标准是多少吨？

【解析】 设该市规定的每户每月用水标准为x吨，根据小明家所交的水费判断出x的范围，然后可得出方程，解出即可.

解：设该市规定的每户每月用水标准为x吨，

∵ 12×1.5=18<20，

∴ x<12，

从而可得方程：1.5x+2.5（12-x）=20，

解得：x=10.

答：该市规定的每户每月用水标准为10吨.

（作者单位：江苏省常州外国语学校）