想说“等你”不容易

利用基本不等式求最值时，“=”号能否成立，是同学们平时容易忽略和比较棘手的问题.对于简单的情形，很容易判断等号是否成立，但对于较复杂的问题，为了保证等号成立，还需要对原式进行适当的变形和处理.另外，当此类问题与离散型变量相结合时，更应关注等号能否成立，否则就会出现科学性错误.正是基于这种考虑，笔者在高三进行了一次 “应用基本不等式求最值”的研究性学习.

例1  已知a>0，b>0，求的最小值.

对于初始问题，同学们解决起来并不困难，但它却是将本节课引向纵深的一个“导火索”. 我们由基本不等式可知：a2+b2≥2ab，所以≥2（当且仅当a=b时，“=”成立），所以min=2.

初始问题解决后，笔者让同学们体会应用基本不等式求最值的一般方法及步骤，并着重强调验证“=”能否成立！如果说，初始问题只是“小试牛刀”，那么，接下来的变式问题，则会将学习引向深入.

变式1  已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

对于变式1，仅仅是将字母从两个增加为三个，问题的本质并未发生改变. 我们自然会想到：为了创造利用基本不等式求最值的条件，更为了保证“=”成立，必须将原式分子中的三项等分为两项之和的形式.

由已知可得，==≥=1，可以验证：当且仅当a=b=c时，“=”成立，从而可得min=1.

变式2  已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

变式2与变式1的不同，在于分母中的变化.我们注意到分母中，只含有ab及bc项，所以只需将分子中的b2项进行拆分，又注意到ab与bc前的系数都是1，所以考虑将b2项进行等分！

因为a2+b2+c2=a2+b2+b2+c2≥2+2=（ab+bc），所以原式≥. 可以验证：当且仅当a=c=时，“=”成立. 所以min=.

变式3  已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

变式3与变式2尽管分母中都只含有ab及bc项，但前面的系数不同.我们可能会想到利用基本不等式来解题，但对于分子如何进行拆项，却无从下手. 在变式2中，我们将b2项进行等分，也许是“跟着感觉走”，但这里均拆法已经行不通，如果逐个进行尝试，既费时，又比较盲目！这时我们应采用待定系数法来进行拆项，既快捷，又方便！

设a2+b2+c2=a2+（xb2+yb2）+c2=（a2+xb2）+（yb2+c2）≥2ab+2bc（其中x+y=1），为了使得原式取得最小值，必须使得2ab+2bc与ab+2bc的商是一个定值，于是可设：2ab+2bc=k（ab+2bc），因此，2=k，2=2k，x+y=1，解得：x=，y=，k=.于是，原式≥.当且仅当a=b，c=b时，“=”成立. 故min=.

通过变式3，我们应熟练掌握利用待定系数法进行拆项的方法和技巧. 在解决了上述问题以后，有些同学会误以为利用基本不等式求最值是万能的，这时我们再来看看变式4，经过对它的错误解法进行探究，从而树立对这一问题的正确认识！

变式4  求sin2x+的最小值.

对于此题，有些同学可能会出现下面的典型性错解：sin2x+≥2=4，所以y=4.

对于这种错解，我们必须从“=”能否成立入手进行探究.这里要使得“=”成立，必须sin2x=，即sin2x=2，这显然不可能！如果想通过拆项的方法，创造等号成立的条件，是非常困难的！因此，对于本题，只能改用函数的单调性来求最值. 正确的解题过程如下：设sin2x=t（0

在完成了例1及变式的探究后，考虑到同学们对利用待定系数法进行拆项还不是很熟悉，接下来，笔者又给出具有挑战性的拓展问题，让大家进一步探究，从而加深对方法的理解和应用.

例2  若x是非负实数，求函数y=+的最大值.

对于本题，我们可能想到利用导数来求它的最值，但尝试以后，发现运算较繁. 于是，笔者引导同学们利用基本不等式来寻求它的最值. 首先，为沟通解析式右边两部分之间的联系，应利用基本不等式对4+x2进行放缩. 因为4+x2≥，所以≤，所以≤，所以y≤+=+. 接下来，还需对进行放缩，从而为利用基本不等式求最值创造条件，怎样放缩？由于有上题的解题经验，同学们自然会想到用待定系数法来实现. 设+n≥2（？鄢），这时，一方面2=1？圯mn= ①;另一方面，由（？鄢）式，可得：≤+n，于是可得：y≤++n=+n，要使得此式为一定值，必须= ②. 由①②解得：m=，n=. 将m，n的值代入（？鄢）式，从而可得≤+=·+，因此y≤+=. 要使得这里的“=”成立，必须满足x=2，=n，即x=2时，“=”成立. 故y=.

以上通过基本不等式求出函数的最值，尽管解题过程较简洁，但对变形技巧的要求较高，特别是对放缩法和待定系数法要运用娴熟！

通过以上问题的研究性学习，同学们已能准确地利用基本不等式解决最值问题.但为了进一步强化“应用基本不等式求最值时，必须保证等号成立”的思想，笔者展示了以前某市高三调研测试卷上的一道错题，让大家进行探究. 一方面，再次让同学们认识到保证等号成立的重要性;另一方面，也让同学们明白，就是老师在编制基本不等式求最值的问题时，也应充分考虑等号能否取到，特别是当此类问题与离散型变量结合时，更应慎之又慎，否则就会犯科学性错误！

例3  （2013年某市高三调研测试卷）数列{an}满足a1>1，an+1-1=an（an-1）（n∈N？鄢），且++…+=2，则a2013-4a1的最小值为________.

笔者首先呈现命题者给出的解答：

由题意可知，-=，即-=，在此式中令n=1，2，…，2012，将所得式子相加得：-=++…+.

又++…+=2，所以-=2. 设a1-1=x，a2013-1=y，所以-=2，则a2013-4a1=y-4x-3=（y-4x）--3=-1-4++-3≥-.

当且仅当=，-=2时，即x=，y=时，“=”成立. 此时a1=，a2013=.

（下转39页）

所以（a2013-4a）=-.

接下来，让同学们探究最小值

-能否取到，也就是要判断“=”能否成立. 有些同学可能会意识到答案有问题，但又不能断定“=”能否成立，因为从以上的解答来看，似乎无懈可击，但这是一道有科学性错误的试题.

具体原因如下：

因为an+1=a-an+1，所以an+1-an=a-2an+1=（an-1）2>0，所以{an}是一个递增数列，所以对an（1≤n≤2013），都有：

a1≤an≤a2013，所以≥=，所以≥2012×>2.

这显然与已知矛盾！endprint

利用基本不等式求最值时，“=”号能否成立，是同学们平时容易忽略和比较棘手的问题.对于简单的情形，很容易判断等号是否成立，但对于较复杂的问题，为了保证等号成立，还需要对原式进行适当的变形和处理.另外，当此类问题与离散型变量相结合时，更应关注等号能否成立，否则就会出现科学性错误.正是基于这种考虑，笔者在高三进行了一次 “应用基本不等式求最值”的研究性学习.

例1  已知a>0，b>0，求的最小值.

对于初始问题，同学们解决起来并不困难，但它却是将本节课引向纵深的一个“导火索”. 我们由基本不等式可知：a2+b2≥2ab，所以≥2（当且仅当a=b时，“=”成立），所以min=2.

初始问题解决后，笔者让同学们体会应用基本不等式求最值的一般方法及步骤，并着重强调验证“=”能否成立！如果说，初始问题只是“小试牛刀”，那么，接下来的变式问题，则会将学习引向深入.

变式1  已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

对于变式1，仅仅是将字母从两个增加为三个，问题的本质并未发生改变. 我们自然会想到：为了创造利用基本不等式求最值的条件，更为了保证“=”成立，必须将原式分子中的三项等分为两项之和的形式.

由已知可得，==≥=1，可以验证：当且仅当a=b=c时，“=”成立，从而可得min=1.

变式2  已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

变式2与变式1的不同，在于分母中的变化.我们注意到分母中，只含有ab及bc项，所以只需将分子中的b2项进行拆分，又注意到ab与bc前的系数都是1，所以考虑将b2项进行等分！

因为a2+b2+c2=a2+b2+b2+c2≥2+2=（ab+bc），所以原式≥. 可以验证：当且仅当a=c=时，“=”成立. 所以min=.

变式3  已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

变式3与变式2尽管分母中都只含有ab及bc项，但前面的系数不同.我们可能会想到利用基本不等式来解题，但对于分子如何进行拆项，却无从下手. 在变式2中，我们将b2项进行等分，也许是“跟着感觉走”，但这里均拆法已经行不通，如果逐个进行尝试，既费时，又比较盲目！这时我们应采用待定系数法来进行拆项，既快捷，又方便！

设a2+b2+c2=a2+（xb2+yb2）+c2=（a2+xb2）+（yb2+c2）≥2ab+2bc（其中x+y=1），为了使得原式取得最小值，必须使得2ab+2bc与ab+2bc的商是一个定值，于是可设：2ab+2bc=k（ab+2bc），因此，2=k，2=2k，x+y=1，解得：x=，y=，k=.于是，原式≥.当且仅当a=b，c=b时，“=”成立. 故min=.

通过变式3，我们应熟练掌握利用待定系数法进行拆项的方法和技巧. 在解决了上述问题以后，有些同学会误以为利用基本不等式求最值是万能的，这时我们再来看看变式4，经过对它的错误解法进行探究，从而树立对这一问题的正确认识！

变式4  求sin2x+的最小值.

对于此题，有些同学可能会出现下面的典型性错解：sin2x+≥2=4，所以y=4.

对于这种错解，我们必须从“=”能否成立入手进行探究.这里要使得“=”成立，必须sin2x=，即sin2x=2，这显然不可能！如果想通过拆项的方法，创造等号成立的条件，是非常困难的！因此，对于本题，只能改用函数的单调性来求最值. 正确的解题过程如下：设sin2x=t（0

在完成了例1及变式的探究后，考虑到同学们对利用待定系数法进行拆项还不是很熟悉，接下来，笔者又给出具有挑战性的拓展问题，让大家进一步探究，从而加深对方法的理解和应用.

例2  若x是非负实数，求函数y=+的最大值.

对于本题，我们可能想到利用导数来求它的最值，但尝试以后，发现运算较繁. 于是，笔者引导同学们利用基本不等式来寻求它的最值. 首先，为沟通解析式右边两部分之间的联系，应利用基本不等式对4+x2进行放缩. 因为4+x2≥，所以≤，所以≤，所以y≤+=+. 接下来，还需对进行放缩，从而为利用基本不等式求最值创造条件，怎样放缩？由于有上题的解题经验，同学们自然会想到用待定系数法来实现. 设+n≥2（？鄢），这时，一方面2=1？圯mn= ①;另一方面，由（？鄢）式，可得：≤+n，于是可得：y≤++n=+n，要使得此式为一定值，必须= ②. 由①②解得：m=，n=. 将m，n的值代入（？鄢）式，从而可得≤+=·+，因此y≤+=. 要使得这里的“=”成立，必须满足x=2，=n，即x=2时，“=”成立. 故y=.

以上通过基本不等式求出函数的最值，尽管解题过程较简洁，但对变形技巧的要求较高，特别是对放缩法和待定系数法要运用娴熟！

通过以上问题的研究性学习，同学们已能准确地利用基本不等式解决最值问题.但为了进一步强化“应用基本不等式求最值时，必须保证等号成立”的思想，笔者展示了以前某市高三调研测试卷上的一道错题，让大家进行探究. 一方面，再次让同学们认识到保证等号成立的重要性;另一方面，也让同学们明白，就是老师在编制基本不等式求最值的问题时，也应充分考虑等号能否取到，特别是当此类问题与离散型变量结合时，更应慎之又慎，否则就会犯科学性错误！

例3  （2013年某市高三调研测试卷）数列{an}满足a1>1，an+1-1=an（an-1）（n∈N？鄢），且++…+=2，则a2013-4a1的最小值为________.

笔者首先呈现命题者给出的解答：

由题意可知，-=，即-=，在此式中令n=1，2，…，2012，将所得式子相加得：-=++…+.

又++…+=2，所以-=2. 设a1-1=x，a2013-1=y，所以-=2，则a2013-4a1=y-4x-3=（y-4x）--3=-1-4++-3≥-.

当且仅当=，-=2时，即x=，y=时，“=”成立. 此时a1=，a2013=.

（下转39页）

所以（a2013-4a）=-.

接下来，让同学们探究最小值

-能否取到，也就是要判断“=”能否成立. 有些同学可能会意识到答案有问题，但又不能断定“=”能否成立，因为从以上的解答来看，似乎无懈可击，但这是一道有科学性错误的试题.

具体原因如下：

因为an+1=a-an+1，所以an+1-an=a-2an+1=（an-1）2>0，所以{an}是一个递增数列，所以对an（1≤n≤2013），都有：

a1≤an≤a2013，所以≥=，所以≥2012×>2.

这显然与已知矛盾！endprint

利用基本不等式求最值时，“=”号能否成立，是同学们平时容易忽略和比较棘手的问题.对于简单的情形，很容易判断等号是否成立，但对于较复杂的问题，为了保证等号成立，还需要对原式进行适当的变形和处理.另外，当此类问题与离散型变量相结合时，更应关注等号能否成立，否则就会出现科学性错误.正是基于这种考虑，笔者在高三进行了一次 “应用基本不等式求最值”的研究性学习.

例1  已知a>0，b>0，求的最小值.

对于初始问题，同学们解决起来并不困难，但它却是将本节课引向纵深的一个“导火索”. 我们由基本不等式可知：a2+b2≥2ab，所以≥2（当且仅当a=b时，“=”成立），所以min=2.

初始问题解决后，笔者让同学们体会应用基本不等式求最值的一般方法及步骤，并着重强调验证“=”能否成立！如果说，初始问题只是“小试牛刀”，那么，接下来的变式问题，则会将学习引向深入.

变式1  已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

对于变式1，仅仅是将字母从两个增加为三个，问题的本质并未发生改变. 我们自然会想到：为了创造利用基本不等式求最值的条件，更为了保证“=”成立，必须将原式分子中的三项等分为两项之和的形式.

由已知可得，==≥=1，可以验证：当且仅当a=b=c时，“=”成立，从而可得min=1.

变式2  已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

变式2与变式1的不同，在于分母中的变化.我们注意到分母中，只含有ab及bc项，所以只需将分子中的b2项进行拆分，又注意到ab与bc前的系数都是1，所以考虑将b2项进行等分！

因为a2+b2+c2=a2+b2+b2+c2≥2+2=（ab+bc），所以原式≥. 可以验证：当且仅当a=c=时，“=”成立. 所以min=.

变式3  已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

变式3与变式2尽管分母中都只含有ab及bc项，但前面的系数不同.我们可能会想到利用基本不等式来解题，但对于分子如何进行拆项，却无从下手. 在变式2中，我们将b2项进行等分，也许是“跟着感觉走”，但这里均拆法已经行不通，如果逐个进行尝试，既费时，又比较盲目！这时我们应采用待定系数法来进行拆项，既快捷，又方便！

设a2+b2+c2=a2+（xb2+yb2）+c2=（a2+xb2）+（yb2+c2）≥2ab+2bc（其中x+y=1），为了使得原式取得最小值，必须使得2ab+2bc与ab+2bc的商是一个定值，于是可设：2ab+2bc=k（ab+2bc），因此，2=k，2=2k，x+y=1，解得：x=，y=，k=.于是，原式≥.当且仅当a=b，c=b时，“=”成立. 故min=.

通过变式3，我们应熟练掌握利用待定系数法进行拆项的方法和技巧. 在解决了上述问题以后，有些同学会误以为利用基本不等式求最值是万能的，这时我们再来看看变式4，经过对它的错误解法进行探究，从而树立对这一问题的正确认识！

变式4  求sin2x+的最小值.

对于此题，有些同学可能会出现下面的典型性错解：sin2x+≥2=4，所以y=4.

对于这种错解，我们必须从“=”能否成立入手进行探究.这里要使得“=”成立，必须sin2x=，即sin2x=2，这显然不可能！如果想通过拆项的方法，创造等号成立的条件，是非常困难的！因此，对于本题，只能改用函数的单调性来求最值. 正确的解题过程如下：设sin2x=t（0

在完成了例1及变式的探究后，考虑到同学们对利用待定系数法进行拆项还不是很熟悉，接下来，笔者又给出具有挑战性的拓展问题，让大家进一步探究，从而加深对方法的理解和应用.

例2  若x是非负实数，求函数y=+的最大值.

对于本题，我们可能想到利用导数来求它的最值，但尝试以后，发现运算较繁. 于是，笔者引导同学们利用基本不等式来寻求它的最值. 首先，为沟通解析式右边两部分之间的联系，应利用基本不等式对4+x2进行放缩. 因为4+x2≥，所以≤，所以≤，所以y≤+=+. 接下来，还需对进行放缩，从而为利用基本不等式求最值创造条件，怎样放缩？由于有上题的解题经验，同学们自然会想到用待定系数法来实现. 设+n≥2（？鄢），这时，一方面2=1？圯mn= ①;另一方面，由（？鄢）式，可得：≤+n，于是可得：y≤++n=+n，要使得此式为一定值，必须= ②. 由①②解得：m=，n=. 将m，n的值代入（？鄢）式，从而可得≤+=·+，因此y≤+=. 要使得这里的“=”成立，必须满足x=2，=n，即x=2时，“=”成立. 故y=.

以上通过基本不等式求出函数的最值，尽管解题过程较简洁，但对变形技巧的要求较高，特别是对放缩法和待定系数法要运用娴熟！

通过以上问题的研究性学习，同学们已能准确地利用基本不等式解决最值问题.但为了进一步强化“应用基本不等式求最值时，必须保证等号成立”的思想，笔者展示了以前某市高三调研测试卷上的一道错题，让大家进行探究. 一方面，再次让同学们认识到保证等号成立的重要性;另一方面，也让同学们明白，就是老师在编制基本不等式求最值的问题时，也应充分考虑等号能否取到，特别是当此类问题与离散型变量结合时，更应慎之又慎，否则就会犯科学性错误！

例3  （2013年某市高三调研测试卷）数列{an}满足a1>1，an+1-1=an（an-1）（n∈N？鄢），且++…+=2，则a2013-4a1的最小值为________.

笔者首先呈现命题者给出的解答：

由题意可知，-=，即-=，在此式中令n=1，2，…，2012，将所得式子相加得：-=++…+.

又++…+=2，所以-=2. 设a1-1=x，a2013-1=y，所以-=2，则a2013-4a1=y-4x-3=（y-4x）--3=-1-4++-3≥-.

当且仅当=，-=2时，即x=，y=时，“=”成立. 此时a1=，a2013=.

（下转39页）

所以（a2013-4a）=-.

接下来，让同学们探究最小值

-能否取到，也就是要判断“=”能否成立. 有些同学可能会意识到答案有问题，但又不能断定“=”能否成立，因为从以上的解答来看，似乎无懈可击，但这是一道有科学性错误的试题.

具体原因如下：

因为an+1=a-an+1，所以an+1-an=a-2an+1=（an-1）2>0，所以{an}是一个递增数列，所以对an（1≤n≤2013），都有：

a1≤an≤a2013，所以≥=，所以≥2012×>2.

这显然与已知矛盾！endprint