具有噪声与时延的多个体系统的鲁棒一致性

黄新宇 李德权

摘 要：针对一般的有向非平衡网络，研究了当测量噪声与通信时延共存时的单积分多个体系统的鲁棒一致性问题。通过在随机逼近一致性协议中引入时变控制增益来抑制测量噪声，并利用不等式放缩和数学归纳法证明了只要网络中通信时延有上界，多个体系统能够实现均方一致性，最终的一致性值收敛到一个随机变量。最后通过仿真算例验证了所得的结论。

关键词：随机逼近；鲁棒一致性；测量噪声；多个体系统

中图分类号：TP13 文献标志码：A 文章编号：1672-1098（2014）02-0017-06

网络化多个体系统由大量个体或节点相互之间信息传递耦合而成，每个个体具有各自的动力学行为且仅能获得局部信息。由于不需要集中式控制和网络全局信息，多个体系统不仅节约成本，而且在复杂环境下具有极强的鲁棒性和适应能力。多个体系统一致性是指系统中个体间通过局部信息共享，最终使网络中所有个体状态趋于相同。一致性问题的关键是如何设计合理的一致性算法或协议使网络中的个体能够达成一致。而平均一致性问题作为一致性问题的特例，则要求最终的一致性值是网络中所有个体初始状态的算术平均，并在负载平衡等方面具有广泛应用。

实际应用中网络个体间的信息通信通常会遇到以下两种情况：一是由于多个体间进行信息交换时，发送方的信息经过一定时间滞后才能够使接收方收到，这就导致通信时延的产生；二是网络都是在一定的环境下运行，由于随机通信环境的影响，网络中个体间信息的获取和传送过程中不可避免会受到测量噪声的干扰。到目前为止，已有相当的文献已经分别研究了上述两种情况对多个体系统一致性的影响，但是当上述两种情况共存时关于多个体系统的一致性研究尚未有系统性结论。因次，对测量噪声和通信时延共存时的多个体系统一致性问题进行研究，既具有极强的实际应用背景，也非常必要。

文献[1]研究了具有测量噪声干扰的有向网络多个体系统的鲁棒一致性，通过构造一个广义二次李雅普诺夫函数来分析收敛性，证明所有个体在随机逼近一致性算法的作用下达到均方一致性。然而没有考虑个体信息交换过程中出现时延的情况。文献[2]研究了具有测量噪声和通信时延的无向网络多个体系统的鲁棒一致性并分析了收敛速率。文中通过选用一个适当的线性回归函数，使得具有有限时延的多个体系统达到渐近一致性。此外还证明了收敛速率和步长的关系，得到收敛速率仅仅和步长有关而与时延无关的结论。但是此结论仅对无向网络成立，从而限制其应用范围并可能会在实际应用中会带来算法执行方面的问题。

本文在文献[1]和文献[2]的基础上研究了测量噪声和时延共存时多个体系统的一致性。和文献[1]的方法类似，在随机逼近一致性算法的作用下，通过降低控制增益使每个个体减少分配给其邻居个体相应边的权重，从而达到抑制测量噪声的目的。与文献[2]不同的是，本文研究了更一般的有向网络多个体系统的鲁棒一致性问题，并主要通过不等式放缩和数学归纳法分析了闭环系统的收敛性，而文献[2]通过对称矩阵对角化技术和无向图的拉普拉斯矩阵相关性质来分析闭环系统的一致收敛性，这种分析方法对一般的有向网络不再适用。

1 准备知识

通常，多个体间的通信网络拓扑结构可以用有向图G=（v，ε，W）来表示，其中v表示通信网络中个体或节点数，ε={eij=（i，j）|i，j∈v}表示边集，W=（wij）∈RN×N表示与有向网络相对应的邻接矩阵，有向边eji∈ε表示个体或节点i可以获得个体j的信息，这时个体j称为个体i的入度邻居，此时的有向边（j，i）的边权wij>0，否则wij=0。若有向图G中的有序节点序列（i1，i2，…，ir）满足eij，ij+1∈ε，j∈{1，…，r-1}，则称这个有序节点序列（i1，i2，…，ir）为有向图G中的一条有向路径。如果有向图G中的任意两个不同节点i和j之间都存在一条有向路径，则称图G是强连通的[3]。本文假定所有个体具有自环，亦即eii∈ε（i∈v）表示第i个个体可以获得其自身信息，这意味着wii>0。如果图G中任意节点i的入度和出度都相等，亦即对所有i∈ν成立，∑Nj=1wij=∑Nj=1wji，则称图G为平衡图。若W中的元素wij≥0，同时还满足W1=1，1=（1，1，…，1）T，则W是随机矩阵。此外如果W是随机矩阵且成立1TW=1T，那么W称为双随机矩阵。此时所对应的有向图为平衡图，这意味着网络中所有节点具有相同的重要性。

2 问题描述

考虑具有N个体的多个体系统，其中个体i具有如下一阶动力学方程

由于个体间信息交换通常受到测量噪声和通信时延的影响，个体i接收到个体j的信息为

式中：ξji（k-τ）为k时刻个体i接收到的时延测量噪声； xj（k-τ）为个体i在k时刻接收到个体j在k-τ时刻的状态；τ为通信时延。

现对个体i在k时刻设计如下的随机逼近一致性控制输入为

3 主要结论

为证式（6）的一致收敛性，现给出下面引理。

引理1[7] 如果下列条件成立：

4 仿真结果

下面用一个简单的例子来验证本文的主要结论。设有3个节点的有向非平衡网络如图1所示。

5 结束语

针对基于有界通信时延和测量噪声的多个体系统，本文提出一种随机逼近一致性算法并分析了闭环系统的的一致收敛性。 通过构造了一个适当的线性回归函数，证明所有个体状态最终收敛到一个随机变量，从而实现均方一致性，最后用仿真结果验证了本文理论分析。但仍有许多问题需要进一步研究，下一步将考虑控制增益和收敛速度的关系，以及网络拓扑切换情形时的鲁棒一致收敛性问题。

参考文献：

[1] 李德权.有向网络多个体系统的量化与鲁棒一致性研究[D].上海：上海交通大学，2012.

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（责任编辑：何学华）