闭格的性质

李庆国+吴琼+伍秀华

摘要：对闭格进行研究，给出了闭格的等价刻画，讨论了闭格与Locale的关系，并证明了闭格的笛卡尔乘积仍是闭格.同时，得到了闭格在保任意并的满态射下仍是闭格，最后证明了闭格在闭包运算下的像是闭格.

关键词：闭格； 并不可约元； Locale； 笛卡尔乘积； 闭包运算

中图分类号：O153.1 文献标识码：A

近几十年来，随着理论计算机科学的发展，格理论与拓扑结构受到计算科学家和数学家越来越多的关注.在 ＼[1＼]中Raney通过引入完备集环的概念，给出了完备集环的格表示，也就是Raney在文＼[2＼]中定义的完全分配的代数格，并给出了完全分配完备格的等价定理.在＼[3＼]中Davey等人又给出代数格的概念，指出代数格中的任意元都是所有紧元的并，一个代数格可以构造一个与之同构的有上界的代数交结构；反之，一个有上界的代数交结构也可以构成一个代数格.在[4]中郭兰坤和李庆国提出了F扩张闭包空间并实现了代发domain的集族表示，从而拓广了Davey等人的结果.而且，许多学者系统研究了闭包系统的性质[5-6].在＼[7＼]中，杨田和李庆国等对有限并是封闭的闭包算子所构建的有上界的交结构（称之为拓扑交结构）进行研究，并引入闭格的概念，给出了拓扑交结构的格表示.在本文中，我们继续对闭格进行研究，讨论了闭格的等价刻画和闭格与Frame的关系以及它的基本性质，并得到闭格在保任意并的满态射下仍是闭格，最后证明了闭格运算下的像是闭格.

首先，给出闭格的一些基本概念.

（2）对于任意的a，b∈L， 都有Da∪Db=Da∨b.

定理1[7] 设C为集合X上的闭包算子，Lc是相应的有上界的交结构，则如下命题等价：

（1） C是拓扑闭包算子.

（2）若对于任意X的子集A和B均有C（A∪B）=C（A）∪C（B）.

（3）Lc是有上界的拓扑交结构.

定理2[7]（1）若L为有上界的拓扑交结构，则L可构成闭格.

（2）若L为闭格，则L：=Daa∈L是一个有上界的拓扑交结构，并且与L同构.

定理3[7]（1）若L为拓扑交结构，则L可构成一个闭半格.

（2）若L为闭半格， 则L：=Daa∈L是一个拓扑交结构，并且与L同构.

1闭格的等价刻画

在本节中，继续对闭格进行研究，给出了闭格的等价刻画.

定理4设L是完备格，对于任意的a∈L都有a=∨Da， 则下列条件是等价的：

（1）对于任意的a，b∈L，都有Da∪Db=Da∨b.

（2）并不可约元与并素元是等价的，即J（L）=P（L）.

（3）L是分配格.

证（1）（2）假设对任意的x∈P（L），存在a，b∈L使得x=a∨b. 由并素元的定义可知若x≤a∨b，则对任意的a，b∈L有x≤a或x≤b. 又x=a∨b意味着x≥a且x≥b. 故x=a或x=b.从而P（L）J（L）.

反之，设x∈J（L）满足x≤a∨b. 由Da∨b定义知x∈Da∨b=Da∪Db.

根据定义6有x∈Da或x ∈Db，即x≤a或x≤b. 则J（L）P（L）， 所以P（L）=J（L）.

（3）（2）只需证J（L）P（L）.

假设对任意的x∈J（L），存在a，b∈L满足x≤a∨b，那么x=x∧（a∨b）. 因 为 L是分 配 格，则x=（x∧a）∨（x∧b）. 由并不可约元的定义又可知x=x∧a或x=x∧b，因此x≤a或x≤b，故J（L）P（L）. 所以P（L）=J（L）.

定理5设L是完备格，Pa={p∈P（L）p≤a}. 则L为闭格当且仅当对任意的a∈L， a=∨Pa.

证 充分性. 对任意的a∈L，a=∨Pa， 而PaDa，则a∈L，a=∨Da. 由定理4可知只须证明L为分配格. 对任意的a，b，c∈L，显然a∧（b∨c）≥（a∧b）∨（a∧c）成立.

下面证明a∧（b∨c）≤（a∧b）∨（a∧c）.

由已知条件有a∧（b∨c）=∨Pa∧（b∨c）. 对任意的p∈Pa∧（b∨c）， 有p≤a∧（b∨c）， 则p≤a且p≤b∨c. 又由于p∈P（L）， 因此当p≤b∨c时，可以推出p≤b或者p≤c， 综合上述可知p≤a∧b或者p≤a∧c， 即p≤（a∧b）∨（a∧c）， 所以a∧（b∨c）=∨Pa∧（b∨c）≤（a∧b）∨（a∧c） 必要性显然成立.

注因此可知杨田对有上界的交结构（称之为拓扑交结构）进行研究定义的闭格与1959年S.Papert定义的闭集格是一样的.

由于闭格具有很好的分配性质，所以讨论闭格与Locale的关系.

定义7[10] 设L是完备格且满足无限分配律，即对任意的a∈L，BL， 有a∧∨B=∨a∧bb∈B， 则称L是Locale.

定义8[10]以满足无限分配律的完备格为对象，以保任意并，有限交的映射为态射所构成的范畴称为Frame范畴，并记作Frm. 在Frame范畴中，对象称为frame，态射称为frame同态.

定义9[10]设L是Locale. 若frame同态φ：L→Ω（ptL）是单射（从而是格同构），则称Locale L是空间式的，或称L有足够多的点.

引理1[10]设L是Locale，则下列条件等价：

（1）L是空间式的.

（2）对任意的a，b∈L，a>b， 存在p∈ptL使得p（a）=1与p（b）=0.

（3）对任意的a，b∈L，a>b， 存在L的素元x使得a>x，b≤x.

（4）对任意的a∈L，a是L的素元之交.

命题1空间式Locale的对偶是闭格.

证由定理5和引理1可知空间式Locale L的对偶满足情形：任意的元都是L对偶的并素元之并，因而L的对偶是闭格.

2主要性质

在本节中，给出闭格的完备子格仍是闭格的条件，证明了闭格的笛卡尔乘积仍然是闭格和闭格的保任意并的满态射像仍是闭格.同时得到了闭格在闭包运算下的态射仍是闭格.

定义10设L是闭格，非空子集SL. 若S对L中的任意非空并和任意非空交都封闭，即对任意的非空子集AS， ∨LA和∧LA存在时，总有∨LA， ∧LA∈S成立，则称S是L的完备子格.

引理2 设S是闭格L的完备子格且为下集，则P（L）∩S=P（S）.

证 设x∈P（S）， 若存在a，b∈L使得x≤a∨b，则x≤（a∨b）∧x. 由定理4知，L是分配格，则x≤（a∨b）∧x=（a∧x）∨（b∧x）.

由S是L的下集可知，a∧x，b∧x∈S，故（a∧x）∨（b∧x）∈S. 又x是S中的并素元，因此x≤a∧x或x≤b∧x. 从而x≤a或x≤b， 即x∈P（L）∩S， 所以P（S）P（L）∩S. 反之，设x∈P（L）∩S， 若存在a，b∈S使得x≤aVsb， 则x≤a∨Lb， 从而x≤a或x≤b， 即x∈P（S）.

定理6设S是闭格L的完备子格且为下集， 则S仍是闭格.

证由定理5只须证x=∨s（P（S）∩↓sx）.显然∨s（P（S）∩↓sx）≤x，设x∈S且S是L的下集，则↓sx=↓x. 而根据引理2可知

∨s（P（S）∩↓sx）=∨s（P（L）∩↓x∩S）=∨s（P（L）∩↓x）∨L（P（L）∩↓x）=x

所以x=∨s（P（S）∩↓sx）， 即S是闭格.

定理7设Lii∈I是一族闭格，记L=∏i∈ILi是笛卡尔乘积集，则L赋予逐点序也是闭格.

证设（Li）i∈I为一族闭格，记L=∏i∈ILi. 由闭格的定义可知i∈I，Li为分配格. 令a，b，c∈L， 则有

即L是分配格.对于任意的aii∈I， 令δi={x∈∏i∈ILi|xi≤ai且xi∈J（Li），j≠i时xj=0}显然∪i∈Iδi中的元是∏i∈ILi中的并不可约元，且∪i∈Iδi在∏i∈ILi的并是aii∈I. 综上可得L是闭格.

定理8设L是闭格，Q是完备格. 若f：L→Q为保任意并的满映射， 且f（P（L））P（Q）， 则Q是闭格.

证由于f为满映射，则对任意的y∈Q， 存在x∈L， 使 得 f（x）=y.

显然 ∨（P（Q）∩↓f（x））≤f（x）. 又L是闭格，则f（x）=f∨PL∩↓x=∨fPL∩↓x.

对于任意的z∈PL∩↓x，则z≤x，由于f是保任意并的映射，则f（z）≤f（x）

参考文献

[1]RANEY G N. Completely distributive complete lattice [J]. Proc Amer Math Soc， 1952， 3： 677-680.

[2]RANEY G N. A subdirectunion representation for completely distributive complete lattice [J]. Proc Amer Math Soc， 1953， 4： 518-522.

[3]DAVEY B A， PRIESTLEY H A. Introduction to lattice and order [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2002.

[4]GUO Lankun， LI Qingguo. The categorical equivalence between algebraic domains and Faugmented closure spaces[J]. Order， Doi： 10.1007/s11083-014-9318-8.

[5]GUO Lankun， ZHANG Guoqiang， LI Qingguo. Fuzzy closure systems on Lordered sets[J]. Mathematical Logic Quarterly， 2011，57（3）： 281-291.

[6]ERNE M C， MYNARD F， PEARL E，et al. Beyond topology， contemporary mathematics[J]. American Mathematical Society， Providence，2009.

[7]杨田， 李庆国. 闭格与拓扑交结构[J]. 湖南大学学报： 自然科学版， 2007，34（3）： 250-258.

YANG Tian， LI Qingguo. On closed lattice and topological intersection structure [J]. Journal of Hunan University： Natural Sciences， 2007， 34（3）： 250-258. （In Chinese）

[8]BIRKHOFF G. Lattice theory[M]. Revised Ed. Amer Math Soc Colloquium Publication， 1948，25.

[9]GIERZ G， HOFAMANN K H， KEIMEL K， et al. Continuous lattice and domains [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2003.

[10]郑崇友， 樊磊， 崔宏斌. Frame与连续格[M]. 北京： 首都师范大学出版社， 2000：44-106.

ZHENG Chongyou， FAN Lei， CUI Hongbin. Frame and continuous lattice [M]. Beijing： Capital Normal University Press， 2000：44-106.（In Chinese）

命题1空间式Locale的对偶是闭格.

证由定理5和引理1可知空间式Locale L的对偶满足情形：任意的元都是L对偶的并素元之并，因而L的对偶是闭格.

2主要性质

在本节中，给出闭格的完备子格仍是闭格的条件，证明了闭格的笛卡尔乘积仍然是闭格和闭格的保任意并的满态射像仍是闭格.同时得到了闭格在闭包运算下的态射仍是闭格.

定义10设L是闭格，非空子集SL. 若S对L中的任意非空并和任意非空交都封闭，即对任意的非空子集AS， ∨LA和∧LA存在时，总有∨LA， ∧LA∈S成立，则称S是L的完备子格.

引理2 设S是闭格L的完备子格且为下集，则P（L）∩S=P（S）.

证 设x∈P（S）， 若存在a，b∈L使得x≤a∨b，则x≤（a∨b）∧x. 由定理4知，L是分配格，则x≤（a∨b）∧x=（a∧x）∨（b∧x）.

由S是L的下集可知，a∧x，b∧x∈S，故（a∧x）∨（b∧x）∈S. 又x是S中的并素元，因此x≤a∧x或x≤b∧x. 从而x≤a或x≤b， 即x∈P（L）∩S， 所以P（S）P（L）∩S. 反之，设x∈P（L）∩S， 若存在a，b∈S使得x≤aVsb， 则x≤a∨Lb， 从而x≤a或x≤b， 即x∈P（S）.

定理6设S是闭格L的完备子格且为下集， 则S仍是闭格.

证由定理5只须证x=∨s（P（S）∩↓sx）.显然∨s（P（S）∩↓sx）≤x，设x∈S且S是L的下集，则↓sx=↓x. 而根据引理2可知

∨s（P（S）∩↓sx）=∨s（P（L）∩↓x∩S）=∨s（P（L）∩↓x）∨L（P（L）∩↓x）=x

所以x=∨s（P（S）∩↓sx）， 即S是闭格.

定理7设Lii∈I是一族闭格，记L=∏i∈ILi是笛卡尔乘积集，则L赋予逐点序也是闭格.

证设（Li）i∈I为一族闭格，记L=∏i∈ILi. 由闭格的定义可知i∈I，Li为分配格. 令a，b，c∈L， 则有

即L是分配格.对于任意的aii∈I， 令δi={x∈∏i∈ILi|xi≤ai且xi∈J（Li），j≠i时xj=0}显然∪i∈Iδi中的元是∏i∈ILi中的并不可约元，且∪i∈Iδi在∏i∈ILi的并是aii∈I. 综上可得L是闭格.

定理8设L是闭格，Q是完备格. 若f：L→Q为保任意并的满映射， 且f（P（L））P（Q）， 则Q是闭格.

证由于f为满映射，则对任意的y∈Q， 存在x∈L， 使 得 f（x）=y.

显然 ∨（P（Q）∩↓f（x））≤f（x）. 又L是闭格，则f（x）=f∨PL∩↓x=∨fPL∩↓x.

对于任意的z∈PL∩↓x，则z≤x，由于f是保任意并的映射，则f（z）≤f（x）

参考文献

[1]RANEY G N. Completely distributive complete lattice [J]. Proc Amer Math Soc， 1952， 3： 677-680.

[2]RANEY G N. A subdirectunion representation for completely distributive complete lattice [J]. Proc Amer Math Soc， 1953， 4： 518-522.

[3]DAVEY B A， PRIESTLEY H A. Introduction to lattice and order [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2002.

[4]GUO Lankun， LI Qingguo. The categorical equivalence between algebraic domains and Faugmented closure spaces[J]. Order， Doi： 10.1007/s11083-014-9318-8.

[5]GUO Lankun， ZHANG Guoqiang， LI Qingguo. Fuzzy closure systems on Lordered sets[J]. Mathematical Logic Quarterly， 2011，57（3）： 281-291.

[6]ERNE M C， MYNARD F， PEARL E，et al. Beyond topology， contemporary mathematics[J]. American Mathematical Society， Providence，2009.

[7]杨田， 李庆国. 闭格与拓扑交结构[J]. 湖南大学学报： 自然科学版， 2007，34（3）： 250-258.

YANG Tian， LI Qingguo. On closed lattice and topological intersection structure [J]. Journal of Hunan University： Natural Sciences， 2007， 34（3）： 250-258. （In Chinese）

[8]BIRKHOFF G. Lattice theory[M]. Revised Ed. Amer Math Soc Colloquium Publication， 1948，25.

[9]GIERZ G， HOFAMANN K H， KEIMEL K， et al. Continuous lattice and domains [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2003.

[10]郑崇友， 樊磊， 崔宏斌. Frame与连续格[M]. 北京： 首都师范大学出版社， 2000：44-106.

ZHENG Chongyou， FAN Lei， CUI Hongbin. Frame and continuous lattice [M]. Beijing： Capital Normal University Press， 2000：44-106.（In Chinese）

命题1空间式Locale的对偶是闭格.

证由定理5和引理1可知空间式Locale L的对偶满足情形：任意的元都是L对偶的并素元之并，因而L的对偶是闭格.

2主要性质

在本节中，给出闭格的完备子格仍是闭格的条件，证明了闭格的笛卡尔乘积仍然是闭格和闭格的保任意并的满态射像仍是闭格.同时得到了闭格在闭包运算下的态射仍是闭格.

定义10设L是闭格，非空子集SL. 若S对L中的任意非空并和任意非空交都封闭，即对任意的非空子集AS， ∨LA和∧LA存在时，总有∨LA， ∧LA∈S成立，则称S是L的完备子格.

引理2 设S是闭格L的完备子格且为下集，则P（L）∩S=P（S）.

证 设x∈P（S）， 若存在a，b∈L使得x≤a∨b，则x≤（a∨b）∧x. 由定理4知，L是分配格，则x≤（a∨b）∧x=（a∧x）∨（b∧x）.

由S是L的下集可知，a∧x，b∧x∈S，故（a∧x）∨（b∧x）∈S. 又x是S中的并素元，因此x≤a∧x或x≤b∧x. 从而x≤a或x≤b， 即x∈P（L）∩S， 所以P（S）P（L）∩S. 反之，设x∈P（L）∩S， 若存在a，b∈S使得x≤aVsb， 则x≤a∨Lb， 从而x≤a或x≤b， 即x∈P（S）.

定理6设S是闭格L的完备子格且为下集， 则S仍是闭格.

证由定理5只须证x=∨s（P（S）∩↓sx）.显然∨s（P（S）∩↓sx）≤x，设x∈S且S是L的下集，则↓sx=↓x. 而根据引理2可知

∨s（P（S）∩↓sx）=∨s（P（L）∩↓x∩S）=∨s（P（L）∩↓x）∨L（P（L）∩↓x）=x

所以x=∨s（P（S）∩↓sx）， 即S是闭格.

定理7设Lii∈I是一族闭格，记L=∏i∈ILi是笛卡尔乘积集，则L赋予逐点序也是闭格.

证设（Li）i∈I为一族闭格，记L=∏i∈ILi. 由闭格的定义可知i∈I，Li为分配格. 令a，b，c∈L， 则有

即L是分配格.对于任意的aii∈I， 令δi={x∈∏i∈ILi|xi≤ai且xi∈J（Li），j≠i时xj=0}显然∪i∈Iδi中的元是∏i∈ILi中的并不可约元，且∪i∈Iδi在∏i∈ILi的并是aii∈I. 综上可得L是闭格.

定理8设L是闭格，Q是完备格. 若f：L→Q为保任意并的满映射， 且f（P（L））P（Q）， 则Q是闭格.

证由于f为满映射，则对任意的y∈Q， 存在x∈L， 使 得 f（x）=y.

显然 ∨（P（Q）∩↓f（x））≤f（x）. 又L是闭格，则f（x）=f∨PL∩↓x=∨fPL∩↓x.

对于任意的z∈PL∩↓x，则z≤x，由于f是保任意并的映射，则f（z）≤f（x）

参考文献

[1]RANEY G N. Completely distributive complete lattice [J]. Proc Amer Math Soc， 1952， 3： 677-680.

[2]RANEY G N. A subdirectunion representation for completely distributive complete lattice [J]. Proc Amer Math Soc， 1953， 4： 518-522.

[3]DAVEY B A， PRIESTLEY H A. Introduction to lattice and order [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2002.

[4]GUO Lankun， LI Qingguo. The categorical equivalence between algebraic domains and Faugmented closure spaces[J]. Order， Doi： 10.1007/s11083-014-9318-8.

[5]GUO Lankun， ZHANG Guoqiang， LI Qingguo. Fuzzy closure systems on Lordered sets[J]. Mathematical Logic Quarterly， 2011，57（3）： 281-291.

[6]ERNE M C， MYNARD F， PEARL E，et al. Beyond topology， contemporary mathematics[J]. American Mathematical Society， Providence，2009.

[7]杨田， 李庆国. 闭格与拓扑交结构[J]. 湖南大学学报： 自然科学版， 2007，34（3）： 250-258.

YANG Tian， LI Qingguo. On closed lattice and topological intersection structure [J]. Journal of Hunan University： Natural Sciences， 2007， 34（3）： 250-258. （In Chinese）

[8]BIRKHOFF G. Lattice theory[M]. Revised Ed. Amer Math Soc Colloquium Publication， 1948，25.

[9]GIERZ G， HOFAMANN K H， KEIMEL K， et al. Continuous lattice and domains [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2003.

[10]郑崇友， 樊磊， 崔宏斌. Frame与连续格[M]. 北京： 首都师范大学出版社， 2000：44-106.

ZHENG Chongyou， FAN Lei， CUI Hongbin. Frame and continuous lattice [M]. Beijing： Capital Normal University Press， 2000：44-106.（In Chinese）