低轨卫星精密定轨算法研究及初步结果分析

摘 要 卫星的精密定轨指的是从观测数据中获取指定预报开始时刻的高精度参数轨道。由于GPS观测数据中不可避免的带有随机误差和系统误差等非线性影响因素，因而不可能确定一条能够精确地拟合所有观测值的轨道，所以需要利用大量的观测数据使用统计学原理对航天器轨道状态进行估计。本文以低轨卫星为研究对象，分析了精密定轨的基本理论方法，包括摄动力模型以及最小二乘估计法。最后分别通过批处理和递推算法对GRACE-A卫星数据进行计算，实现了低轨卫星的定轨，并达到了一定的精度。

关键词 精密定轨；非线性影响；最小二乘估计；递推

中图分类号：V19 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2014）19-0029-03

人造地球卫星的运动，可以当作是一个受摄二体问题，所涉及的数学模型是一个比较复杂的非线性动力学模型。从数学的角度上看，精密定轨就是将一个常微分方程问题转化为边值问题，再由边值条件反过来确定初值。同时，在这个过程中，不能简单的将一个初值问题转化为边值问题来求解，还需要用到大量观测数据的统计特性，这将涉及到最优估计问题。

目前，在卫星精密定轨中，最为常用的是最小二乘估计法。传统的最小二乘估计法是用于卫星的事后轨道确定，也称为批处理算法定轨。批处理算法的优点是实现简单，稳定性好，对先验知识的要求少。但是，当观测数据含有非线性误差的时候，批处理算法不具有抗干扰性，得到的估值可能具有较大的偏差。

这种算法在观测数据比较大的情况下，数据存储量太大，不便于计算，因而又有人提出避免量大的递推算法。递推算法是将观测序列按时间顺序分成若干批，每次处理一批观测量，得到定轨结果后带到下一批数据中，从而递推去处理下一批观测量，与批处理算法中将一批观测量进行处理获得估计值不同。传统的最小二乘估计是没有初始估计的，但是利用递推算法，也能够导出有初始估计条件下的最小二乘估计公式。

本文研究的数据来源是星载GPS的位置速度信息，相当于一般研究中GPS几何法定轨得到的实时定轨结果。这种结果精度不够高，直接用于轨道预报时轨道状态极易发射，必须进行进一步的处理。

1 最小二乘估计原理

对于卫星的运动，其数学模型如下：

以此类推，我们可以将观测数据根据时间先后关系分成n批，一次只处理一批数据，然后舍掉这批数据，再递推去处理下一批数据。但是，在处理低轨卫星数据时，由于模型的不确定性以及复杂性，每处理一批数据之后都需要带到原始模型中进行修正。这样一来，定轨精度会大大提高，但是复杂度也随之增加。

2 卫星精密定轨

实际问题中，卫星运动所涉及的是非线性系统。由（2）式可知，对于状态方程，向量函数f的作用有两个，一个是用来作状态转移计算，即由X0算出Xl，就此而言，f的形式到底如何无关紧要，只要求它满足相应的精度，特别是其中的卫星精密星历计算；另一个作用是在测量方程线性化过程中提供相应的偏导数

条件方程中有两组量要计算，分别是残差yl和系数矩阵，前者涉及观测量Y的类型，即相应的函数，而后者则涉及观测量对状态量的偏导数矩阵和状态转移矩

阵。

由于本文中观测量的形式是位置和速度的GPS观测信息，容易给出，状态转移矩阵是tl时刻轨道信息相对初始时刻t0轨道信息的偏导数，可根据动力学方程积分得到。

3 计算流程

由于本文中数据来源是GPS的速度位置信息，相当于是已经预处理过了的干净数据。因此，针对之前对算法的分析，拟定的计算流程如下。

步骤一 确定各个参数的先验信息。确定t0时刻的初始状态X0。此时的X0为初始估计量，t0可取为观测值间的任一时刻。

步骤二 计算观测残差和B矩阵。具体的过程就是最小二乘估计。

步骤三 轨道状态计算。以X0为初值，选用合适的摄动力计算模型，计算出任一时刻t的瞬时轨道状态。

步骤四 残差分析。需要计算残差的加权均方根RMS。加权均方根也就是加权残差平方的均方根，而加权残差表示的是真正残差与观测标准偏差的比值。对第j个观测值，RMS的计算公式如下：

从上表可以看出，利用递推算法的实时定轨精度要高于利用批处理进行的事后定轨精度。但是，在软件计算的过程中，递推算法所用的时间要远高于批处理算法所用的时间。这也是之前所提到的，低轨卫星模型复杂，实时定轨过程中，每处理一批数据都要带到模型中进行修正，计算的复杂程度也随之

提高。

5 结论

本文对低轨卫星的精密定轨算法进行了研究，从经典的最小二乘法入手，介绍了批处理方法的原理，并结合他人所提的递推算法，从传统的事后定轨研究转向对实时定轨进行研究。同时考虑了在低空情况下如何建立卫星的轨道模型问题，并在实时定轨过程中，结合轨道模型进行修正，达到了提高定轨精度的效果。但是，不足的是，改进的递推算法计算过程比较复杂，耗时较长，这也是今后需要进行研究并改进的地方。

参考文献

[1]Chen K. Real-Time Precise Point Positioning and Its Potential Applications[C]. ION GNSS 17th International Technical Meeting of the Satellite Division， Long Beach， CA， 2004.

[2]Lucchesi D M. The LAGEOS satellites orbital residuals determination and the way to extract gravitational and non-gravitational unmodeled perturbing effects[J]. Advances in Space Research， 2007， 39（10）：1559-1575.

[3]刘林.航天器轨道理论[M].北京：国防出版社，2000：

425-431.

[4]李济生.人造卫星精密定轨确定[M].北京：解放军难出版社，1995：5-13.

[5]Kouba J， Heroux P. GPS Precise Point Positioning Using IGS Orbit Projucts[J]. GPS Solution， 2001， 5（2）：12-28.

[6]益鹏举，赵春梅.LAGEOS卫星精密定轨及San Juan站数据残差分析[J].北京：北京测绘学会“拓普康杯”大地测量青年论文大赛，2009.

[7]Katagiri S J， Yamamoto Y K. Technology of precise orbit determination[J]. Fujitsu Scientific and Technical Journal， 2008， 44（4）：401-409.

[8]赵齐乐.GPS导航星座及低轨卫星的精密定轨理论和软件研究[D].武汉：武汉大学，2004.

作者简介

袁凡（1989-），湖北武汉人，硕士研究生，研究方向：航天器动力学与控制。endprint

摘 要 卫星的精密定轨指的是从观测数据中获取指定预报开始时刻的高精度参数轨道。由于GPS观测数据中不可避免的带有随机误差和系统误差等非线性影响因素，因而不可能确定一条能够精确地拟合所有观测值的轨道，所以需要利用大量的观测数据使用统计学原理对航天器轨道状态进行估计。本文以低轨卫星为研究对象，分析了精密定轨的基本理论方法，包括摄动力模型以及最小二乘估计法。最后分别通过批处理和递推算法对GRACE-A卫星数据进行计算，实现了低轨卫星的定轨，并达到了一定的精度。

关键词 精密定轨；非线性影响；最小二乘估计；递推

中图分类号：V19 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2014）19-0029-03

人造地球卫星的运动，可以当作是一个受摄二体问题，所涉及的数学模型是一个比较复杂的非线性动力学模型。从数学的角度上看，精密定轨就是将一个常微分方程问题转化为边值问题，再由边值条件反过来确定初值。同时，在这个过程中，不能简单的将一个初值问题转化为边值问题来求解，还需要用到大量观测数据的统计特性，这将涉及到最优估计问题。

目前，在卫星精密定轨中，最为常用的是最小二乘估计法。传统的最小二乘估计法是用于卫星的事后轨道确定，也称为批处理算法定轨。批处理算法的优点是实现简单，稳定性好，对先验知识的要求少。但是，当观测数据含有非线性误差的时候，批处理算法不具有抗干扰性，得到的估值可能具有较大的偏差。

这种算法在观测数据比较大的情况下，数据存储量太大，不便于计算，因而又有人提出避免量大的递推算法。递推算法是将观测序列按时间顺序分成若干批，每次处理一批观测量，得到定轨结果后带到下一批数据中，从而递推去处理下一批观测量，与批处理算法中将一批观测量进行处理获得估计值不同。传统的最小二乘估计是没有初始估计的，但是利用递推算法，也能够导出有初始估计条件下的最小二乘估计公式。

本文研究的数据来源是星载GPS的位置速度信息，相当于一般研究中GPS几何法定轨得到的实时定轨结果。这种结果精度不够高，直接用于轨道预报时轨道状态极易发射，必须进行进一步的处理。

1 最小二乘估计原理

对于卫星的运动，其数学模型如下：

以此类推，我们可以将观测数据根据时间先后关系分成n批，一次只处理一批数据，然后舍掉这批数据，再递推去处理下一批数据。但是，在处理低轨卫星数据时，由于模型的不确定性以及复杂性，每处理一批数据之后都需要带到原始模型中进行修正。这样一来，定轨精度会大大提高，但是复杂度也随之增加。

2 卫星精密定轨

实际问题中，卫星运动所涉及的是非线性系统。由（2）式可知，对于状态方程，向量函数f的作用有两个，一个是用来作状态转移计算，即由X0算出Xl，就此而言，f的形式到底如何无关紧要，只要求它满足相应的精度，特别是其中的卫星精密星历计算；另一个作用是在测量方程线性化过程中提供相应的偏导数

条件方程中有两组量要计算，分别是残差yl和系数矩阵，前者涉及观测量Y的类型，即相应的函数，而后者则涉及观测量对状态量的偏导数矩阵和状态转移矩

阵。

由于本文中观测量的形式是位置和速度的GPS观测信息，容易给出，状态转移矩阵是tl时刻轨道信息相对初始时刻t0轨道信息的偏导数，可根据动力学方程积分得到。

3 计算流程

由于本文中数据来源是GPS的速度位置信息，相当于是已经预处理过了的干净数据。因此，针对之前对算法的分析，拟定的计算流程如下。

步骤一 确定各个参数的先验信息。确定t0时刻的初始状态X0。此时的X0为初始估计量，t0可取为观测值间的任一时刻。

步骤二 计算观测残差和B矩阵。具体的过程就是最小二乘估计。

步骤三 轨道状态计算。以X0为初值，选用合适的摄动力计算模型，计算出任一时刻t的瞬时轨道状态。

步骤四 残差分析。需要计算残差的加权均方根RMS。加权均方根也就是加权残差平方的均方根，而加权残差表示的是真正残差与观测标准偏差的比值。对第j个观测值，RMS的计算公式如下：

从上表可以看出，利用递推算法的实时定轨精度要高于利用批处理进行的事后定轨精度。但是，在软件计算的过程中，递推算法所用的时间要远高于批处理算法所用的时间。这也是之前所提到的，低轨卫星模型复杂，实时定轨过程中，每处理一批数据都要带到模型中进行修正，计算的复杂程度也随之

提高。

5 结论

本文对低轨卫星的精密定轨算法进行了研究，从经典的最小二乘法入手，介绍了批处理方法的原理，并结合他人所提的递推算法，从传统的事后定轨研究转向对实时定轨进行研究。同时考虑了在低空情况下如何建立卫星的轨道模型问题，并在实时定轨过程中，结合轨道模型进行修正，达到了提高定轨精度的效果。但是，不足的是，改进的递推算法计算过程比较复杂，耗时较长，这也是今后需要进行研究并改进的地方。

参考文献

[1]Chen K. Real-Time Precise Point Positioning and Its Potential Applications[C]. ION GNSS 17th International Technical Meeting of the Satellite Division， Long Beach， CA， 2004.

[2]Lucchesi D M. The LAGEOS satellites orbital residuals determination and the way to extract gravitational and non-gravitational unmodeled perturbing effects[J]. Advances in Space Research， 2007， 39（10）：1559-1575.

[3]刘林.航天器轨道理论[M].北京：国防出版社，2000：

425-431.

[4]李济生.人造卫星精密定轨确定[M].北京：解放军难出版社，1995：5-13.

[5]Kouba J， Heroux P. GPS Precise Point Positioning Using IGS Orbit Projucts[J]. GPS Solution， 2001， 5（2）：12-28.

[6]益鹏举，赵春梅.LAGEOS卫星精密定轨及San Juan站数据残差分析[J].北京：北京测绘学会“拓普康杯”大地测量青年论文大赛，2009.

[7]Katagiri S J， Yamamoto Y K. Technology of precise orbit determination[J]. Fujitsu Scientific and Technical Journal， 2008， 44（4）：401-409.

[8]赵齐乐.GPS导航星座及低轨卫星的精密定轨理论和软件研究[D].武汉：武汉大学，2004.

作者简介

袁凡（1989-），湖北武汉人，硕士研究生，研究方向：航天器动力学与控制。endprint

摘 要 卫星的精密定轨指的是从观测数据中获取指定预报开始时刻的高精度参数轨道。由于GPS观测数据中不可避免的带有随机误差和系统误差等非线性影响因素，因而不可能确定一条能够精确地拟合所有观测值的轨道，所以需要利用大量的观测数据使用统计学原理对航天器轨道状态进行估计。本文以低轨卫星为研究对象，分析了精密定轨的基本理论方法，包括摄动力模型以及最小二乘估计法。最后分别通过批处理和递推算法对GRACE-A卫星数据进行计算，实现了低轨卫星的定轨，并达到了一定的精度。

关键词 精密定轨；非线性影响；最小二乘估计；递推

中图分类号：V19 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2014）19-0029-03

人造地球卫星的运动，可以当作是一个受摄二体问题，所涉及的数学模型是一个比较复杂的非线性动力学模型。从数学的角度上看，精密定轨就是将一个常微分方程问题转化为边值问题，再由边值条件反过来确定初值。同时，在这个过程中，不能简单的将一个初值问题转化为边值问题来求解，还需要用到大量观测数据的统计特性，这将涉及到最优估计问题。

目前，在卫星精密定轨中，最为常用的是最小二乘估计法。传统的最小二乘估计法是用于卫星的事后轨道确定，也称为批处理算法定轨。批处理算法的优点是实现简单，稳定性好，对先验知识的要求少。但是，当观测数据含有非线性误差的时候，批处理算法不具有抗干扰性，得到的估值可能具有较大的偏差。

这种算法在观测数据比较大的情况下，数据存储量太大，不便于计算，因而又有人提出避免量大的递推算法。递推算法是将观测序列按时间顺序分成若干批，每次处理一批观测量，得到定轨结果后带到下一批数据中，从而递推去处理下一批观测量，与批处理算法中将一批观测量进行处理获得估计值不同。传统的最小二乘估计是没有初始估计的，但是利用递推算法，也能够导出有初始估计条件下的最小二乘估计公式。

本文研究的数据来源是星载GPS的位置速度信息，相当于一般研究中GPS几何法定轨得到的实时定轨结果。这种结果精度不够高，直接用于轨道预报时轨道状态极易发射，必须进行进一步的处理。

1 最小二乘估计原理

对于卫星的运动，其数学模型如下：

以此类推，我们可以将观测数据根据时间先后关系分成n批，一次只处理一批数据，然后舍掉这批数据，再递推去处理下一批数据。但是，在处理低轨卫星数据时，由于模型的不确定性以及复杂性，每处理一批数据之后都需要带到原始模型中进行修正。这样一来，定轨精度会大大提高，但是复杂度也随之增加。

2 卫星精密定轨

实际问题中，卫星运动所涉及的是非线性系统。由（2）式可知，对于状态方程，向量函数f的作用有两个，一个是用来作状态转移计算，即由X0算出Xl，就此而言，f的形式到底如何无关紧要，只要求它满足相应的精度，特别是其中的卫星精密星历计算；另一个作用是在测量方程线性化过程中提供相应的偏导数

条件方程中有两组量要计算，分别是残差yl和系数矩阵，前者涉及观测量Y的类型，即相应的函数，而后者则涉及观测量对状态量的偏导数矩阵和状态转移矩

阵。

由于本文中观测量的形式是位置和速度的GPS观测信息，容易给出，状态转移矩阵是tl时刻轨道信息相对初始时刻t0轨道信息的偏导数，可根据动力学方程积分得到。

3 计算流程

由于本文中数据来源是GPS的速度位置信息，相当于是已经预处理过了的干净数据。因此，针对之前对算法的分析，拟定的计算流程如下。

步骤一 确定各个参数的先验信息。确定t0时刻的初始状态X0。此时的X0为初始估计量，t0可取为观测值间的任一时刻。

步骤二 计算观测残差和B矩阵。具体的过程就是最小二乘估计。

步骤三 轨道状态计算。以X0为初值，选用合适的摄动力计算模型，计算出任一时刻t的瞬时轨道状态。

步骤四 残差分析。需要计算残差的加权均方根RMS。加权均方根也就是加权残差平方的均方根，而加权残差表示的是真正残差与观测标准偏差的比值。对第j个观测值，RMS的计算公式如下：

从上表可以看出，利用递推算法的实时定轨精度要高于利用批处理进行的事后定轨精度。但是，在软件计算的过程中，递推算法所用的时间要远高于批处理算法所用的时间。这也是之前所提到的，低轨卫星模型复杂，实时定轨过程中，每处理一批数据都要带到模型中进行修正，计算的复杂程度也随之

提高。

5 结论

本文对低轨卫星的精密定轨算法进行了研究，从经典的最小二乘法入手，介绍了批处理方法的原理，并结合他人所提的递推算法，从传统的事后定轨研究转向对实时定轨进行研究。同时考虑了在低空情况下如何建立卫星的轨道模型问题，并在实时定轨过程中，结合轨道模型进行修正，达到了提高定轨精度的效果。但是，不足的是，改进的递推算法计算过程比较复杂，耗时较长，这也是今后需要进行研究并改进的地方。

参考文献

[1]Chen K. Real-Time Precise Point Positioning and Its Potential Applications[C]. ION GNSS 17th International Technical Meeting of the Satellite Division， Long Beach， CA， 2004.

[2]Lucchesi D M. The LAGEOS satellites orbital residuals determination and the way to extract gravitational and non-gravitational unmodeled perturbing effects[J]. Advances in Space Research， 2007， 39（10）：1559-1575.

[3]刘林.航天器轨道理论[M].北京：国防出版社，2000：

425-431.

[4]李济生.人造卫星精密定轨确定[M].北京：解放军难出版社，1995：5-13.

[5]Kouba J， Heroux P. GPS Precise Point Positioning Using IGS Orbit Projucts[J]. GPS Solution， 2001， 5（2）：12-28.

[6]益鹏举，赵春梅.LAGEOS卫星精密定轨及San Juan站数据残差分析[J].北京：北京测绘学会“拓普康杯”大地测量青年论文大赛，2009.

[7]Katagiri S J， Yamamoto Y K. Technology of precise orbit determination[J]. Fujitsu Scientific and Technical Journal， 2008， 44（4）：401-409.

[8]赵齐乐.GPS导航星座及低轨卫星的精密定轨理论和软件研究[D].武汉：武汉大学，2004.

作者简介

袁凡（1989-），湖北武汉人，硕士研究生，研究方向：航天器动力学与控制。endprint