点击带电粒子在交变电场中的运动

陈强燕

带电粒子在交变电场中的运动由于不同时间段受力情况的不同，往往使得运动情况比较复杂，题目的难度较大.这类题目主要考查对牛顿第二定律和运动学规律的应用，以及对公式、规律的理解能力、推理能力、分析综合能力和应用数学解决物理问题的能力.本文选取1994年，2002年2个典型问题进行赏析，一方面试图对此类问题的解法进行探讨，另一方面直面高考命题的变化与延续，以期给读者提供一些参考.

1.借助v-t图像分析周期性运动的特征

v-t像是研究带电粒子在交变电场中运动的比较常用的方法，通过v-t图像能够将复杂的运动过程通过时间轴同时展现出来，有助于对复杂运动过程的分析和理解.

例1 （1994年全国高考）如图1所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压u.A板的电势φA=0，B板的电势φB随时间的变化规律为：在0到T2的时间内，φB=φ0（正的常数）；在T2到T的时间内，φB=-φ0；在T到3T2的时间内φB=φ0；在3T2到2T的时间内，φB=-φ0……现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区内，设电子的初速度和重力对它的影响均可忽略，则（ ）.

A.若电子是在t=0时刻进入的，它将一直向B板运动

B.若电子是在t=T8时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上

C.若电子是在t=3T8时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上

D.若电子是在t=T2时刻进入的，它可能时而向B板，时而向A板运动

解析依据题意，A、B板间电场在0～T2，T～3T2，……时间内场强方向竖直向下；在T2～T，3T2～2T，……时间内场强方向竖直向上.

若电子无初速进入电场区，由于进入的时刻不同，将做不同种类的运动.为了认清运动过程，可借助电子的v-t图像直观地表示出来.由时刻对应关系，作出电子的v-t图像如图2所示.由图像的特征可知，在0～T2，T～3T2，……时间内加速度竖直向上；在T2～T，3T2～2T，……时间内加速度竖直向下，且不论何时进入，加速度的大小均相同，所以速度图线是平行的直线.

若电子在t=0时刻进入板间，则在0～T2时间内，将向B板加速运动，到T2时刻，电子已获得一定的竖直向上的速度，在T2～T时间内（电子也可能在此前或此间到达B板），电子做匀减速运动.根据运动的对称性，到T时刻，粒子速度减为零，此后重复上述运动，直到到达B板时止.故A对.

若电子在T8时刻进入，则电子在T8～T2时间内向B板加速运动，在T2～7T8时间内向B板减速运动，到7T8时刻速度为零；在7T8～T时间内反向向A板加速运动，在T～9T8时间内向A板减速运动，在9T8时刻速度为零；在9T8～3T2时间内又向B板运动.从v-t图像可以判断，正的位移比负的位移大，最终电子将到达B板.故B正确.类似的分析可以判断C、D错误.

2.关注过程分析挖掘周期性运动的规律

此类问题通常需要分析开始几个周期内的运动情况，找出粒子运动过程中所满足的共同规律和特点，从而归纳出N个周期以后的运动情况.

例2 （2002年广东高考）如图3所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）.在两板之间有一带负电的质点P.已知若在A、B间加电压U0，则质点P可以静止平衡.

现在A、B 间加上如图4所示的随时间t变化的电压U，在t=0时质点P位于A、B间的中点处且初速为0.已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而不与两板相碰，求图4中U改变的各时刻t1、t2、t3及tn的表达式.（质点开始从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次.）

解析设质点P的质量为m，电量大小为q.当A、B间的电压为U0时， qU0d=mg；当两板间的电压为2U0时，q2U0d-mg=ma ，可知P的加速度向上，其大小为a=g.

当两板间的电压为0时，P在重力作用下自由下落，加速度为g，方向向下.

在t=0时，两板间的电压为2U0，P自A、B间的中点向上做初速为0的匀加速运动，加速度为g.经过时间τ1，P的速度变为v1，此时使电压变为0，P在重力作用下向上作匀减速运动，再经过τ1，P正好达到A板且速度变为0.依据运动学公式v1=gτ1；0=v1-gτ1′；12d=12gτ21+v1τ1′-12gτ′21可得τ1=τ1′=22dg.根据题意可知 t1=τ1，所以t1=22dg.

在重力作用下，P由A板处向下做匀加速运动，经过时间τ2，P的速度变为v2，方向向下.此时加上电压使P向下做匀减速运动，再经过τ2′，P正好达到B板且速度变为0.依据运动学公式v2=gτ2；0=v2-gτ2′；d=12gτ22+v2τ2′-12 gτ′22，

可得τ2=τ2′=dg.

根据题意可知t2=t1+τ1′+τ2，所以t2=（2+1）dg.

在电场力和重力作用下，P又由B板向上作匀加速运动，经过时间τ3，速度变为v3，此时使电压变为0，让P在重力作用下向上作匀减速运动，经过τ3，P正好达到A板且速度变为0.

由运动学公式v3=τ3，0=v3-gτ3，d=12gτ23+v3τ3′-12gτ′23，可得τ3′=τ3=dg.

根据题意可知t3=t2+τ2′+τ3，所以t3=（2+3）dg.

根据上面的分析，粒子重复刚才的运动，因重力作用，P由A板向下做匀加速运动，经过τ2′，再加上电压P向下做匀减速运动，经过τ2，P到达B且速度为0，所以t4=t3+τ3′+τ2，即t4=（2+5）dg.

同样分析可归纳得tn=（2+2n-3）dg（n≥2）.

通过上述两个问题的探讨，可以清楚地感受到高考命题的一脉相承、推陈出新，变化与延续是高考命题永恒不变的脉络.从延续的角度看，两个问题都以匀变速直线运动规律和牛顿第二定律为基点，着重对学生的推理能力、分析综合能力和应用数学解决物理问题的能力的考查，充分体现动力学问题在高中物理的基础地位.从变化的角度看，近几年来高考命题更强调理论与实践的联系，在分析和推理能力的基础上进一步加大了数学方法处理物理问题能力的考查.平时的学习中如能加强这几个方面的训练，必将在高考中轻松应对，且事半功倍.

带电粒子在交变电场中的运动由于不同时间段受力情况的不同，往往使得运动情况比较复杂，题目的难度较大.这类题目主要考查对牛顿第二定律和运动学规律的应用，以及对公式、规律的理解能力、推理能力、分析综合能力和应用数学解决物理问题的能力.本文选取1994年，2002年2个典型问题进行赏析，一方面试图对此类问题的解法进行探讨，另一方面直面高考命题的变化与延续，以期给读者提供一些参考.

1.借助v-t图像分析周期性运动的特征

v-t像是研究带电粒子在交变电场中运动的比较常用的方法，通过v-t图像能够将复杂的运动过程通过时间轴同时展现出来，有助于对复杂运动过程的分析和理解.

例1 （1994年全国高考）如图1所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压u.A板的电势φA=0，B板的电势φB随时间的变化规律为：在0到T2的时间内，φB=φ0（正的常数）；在T2到T的时间内，φB=-φ0；在T到3T2的时间内φB=φ0；在3T2到2T的时间内，φB=-φ0……现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区内，设电子的初速度和重力对它的影响均可忽略，则（ ）.

A.若电子是在t=0时刻进入的，它将一直向B板运动

B.若电子是在t=T8时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上

C.若电子是在t=3T8时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上

D.若电子是在t=T2时刻进入的，它可能时而向B板，时而向A板运动

解析依据题意，A、B板间电场在0～T2，T～3T2，……时间内场强方向竖直向下；在T2～T，3T2～2T，……时间内场强方向竖直向上.

若电子无初速进入电场区，由于进入的时刻不同，将做不同种类的运动.为了认清运动过程，可借助电子的v-t图像直观地表示出来.由时刻对应关系，作出电子的v-t图像如图2所示.由图像的特征可知，在0～T2，T～3T2，……时间内加速度竖直向上；在T2～T，3T2～2T，……时间内加速度竖直向下，且不论何时进入，加速度的大小均相同，所以速度图线是平行的直线.

若电子在t=0时刻进入板间，则在0～T2时间内，将向B板加速运动，到T2时刻，电子已获得一定的竖直向上的速度，在T2～T时间内（电子也可能在此前或此间到达B板），电子做匀减速运动.根据运动的对称性，到T时刻，粒子速度减为零，此后重复上述运动，直到到达B板时止.故A对.

若电子在T8时刻进入，则电子在T8～T2时间内向B板加速运动，在T2～7T8时间内向B板减速运动，到7T8时刻速度为零；在7T8～T时间内反向向A板加速运动，在T～9T8时间内向A板减速运动，在9T8时刻速度为零；在9T8～3T2时间内又向B板运动.从v-t图像可以判断，正的位移比负的位移大，最终电子将到达B板.故B正确.类似的分析可以判断C、D错误.

2.关注过程分析挖掘周期性运动的规律

此类问题通常需要分析开始几个周期内的运动情况，找出粒子运动过程中所满足的共同规律和特点，从而归纳出N个周期以后的运动情况.

例2 （2002年广东高考）如图3所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）.在两板之间有一带负电的质点P.已知若在A、B间加电压U0，则质点P可以静止平衡.

现在A、B 间加上如图4所示的随时间t变化的电压U，在t=0时质点P位于A、B间的中点处且初速为0.已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而不与两板相碰，求图4中U改变的各时刻t1、t2、t3及tn的表达式.（质点开始从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次.）

解析设质点P的质量为m，电量大小为q.当A、B间的电压为U0时， qU0d=mg；当两板间的电压为2U0时，q2U0d-mg=ma ，可知P的加速度向上，其大小为a=g.

当两板间的电压为0时，P在重力作用下自由下落，加速度为g，方向向下.

在t=0时，两板间的电压为2U0，P自A、B间的中点向上做初速为0的匀加速运动，加速度为g.经过时间τ1，P的速度变为v1，此时使电压变为0，P在重力作用下向上作匀减速运动，再经过τ1，P正好达到A板且速度变为0.依据运动学公式v1=gτ1；0=v1-gτ1′；12d=12gτ21+v1τ1′-12gτ′21可得τ1=τ1′=22dg.根据题意可知 t1=τ1，所以t1=22dg.

在重力作用下，P由A板处向下做匀加速运动，经过时间τ2，P的速度变为v2，方向向下.此时加上电压使P向下做匀减速运动，再经过τ2′，P正好达到B板且速度变为0.依据运动学公式v2=gτ2；0=v2-gτ2′；d=12gτ22+v2τ2′-12 gτ′22，

可得τ2=τ2′=dg.

根据题意可知t2=t1+τ1′+τ2，所以t2=（2+1）dg.

在电场力和重力作用下，P又由B板向上作匀加速运动，经过时间τ3，速度变为v3，此时使电压变为0，让P在重力作用下向上作匀减速运动，经过τ3，P正好达到A板且速度变为0.

由运动学公式v3=τ3，0=v3-gτ3，d=12gτ23+v3τ3′-12gτ′23，可得τ3′=τ3=dg.

根据题意可知t3=t2+τ2′+τ3，所以t3=（2+3）dg.

根据上面的分析，粒子重复刚才的运动，因重力作用，P由A板向下做匀加速运动，经过τ2′，再加上电压P向下做匀减速运动，经过τ2，P到达B且速度为0，所以t4=t3+τ3′+τ2，即t4=（2+5）dg.

同样分析可归纳得tn=（2+2n-3）dg（n≥2）.

通过上述两个问题的探讨，可以清楚地感受到高考命题的一脉相承、推陈出新，变化与延续是高考命题永恒不变的脉络.从延续的角度看，两个问题都以匀变速直线运动规律和牛顿第二定律为基点，着重对学生的推理能力、分析综合能力和应用数学解决物理问题的能力的考查，充分体现动力学问题在高中物理的基础地位.从变化的角度看，近几年来高考命题更强调理论与实践的联系，在分析和推理能力的基础上进一步加大了数学方法处理物理问题能力的考查.平时的学习中如能加强这几个方面的训练，必将在高考中轻松应对，且事半功倍.

带电粒子在交变电场中的运动由于不同时间段受力情况的不同，往往使得运动情况比较复杂，题目的难度较大.这类题目主要考查对牛顿第二定律和运动学规律的应用，以及对公式、规律的理解能力、推理能力、分析综合能力和应用数学解决物理问题的能力.本文选取1994年，2002年2个典型问题进行赏析，一方面试图对此类问题的解法进行探讨，另一方面直面高考命题的变化与延续，以期给读者提供一些参考.

1.借助v-t图像分析周期性运动的特征

v-t像是研究带电粒子在交变电场中运动的比较常用的方法，通过v-t图像能够将复杂的运动过程通过时间轴同时展现出来，有助于对复杂运动过程的分析和理解.

例1 （1994年全国高考）如图1所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压u.A板的电势φA=0，B板的电势φB随时间的变化规律为：在0到T2的时间内，φB=φ0（正的常数）；在T2到T的时间内，φB=-φ0；在T到3T2的时间内φB=φ0；在3T2到2T的时间内，φB=-φ0……现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区内，设电子的初速度和重力对它的影响均可忽略，则（ ）.

A.若电子是在t=0时刻进入的，它将一直向B板运动

B.若电子是在t=T8时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上

C.若电子是在t=3T8时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上

D.若电子是在t=T2时刻进入的，它可能时而向B板，时而向A板运动

解析依据题意，A、B板间电场在0～T2，T～3T2，……时间内场强方向竖直向下；在T2～T，3T2～2T，……时间内场强方向竖直向上.

若电子无初速进入电场区，由于进入的时刻不同，将做不同种类的运动.为了认清运动过程，可借助电子的v-t图像直观地表示出来.由时刻对应关系，作出电子的v-t图像如图2所示.由图像的特征可知，在0～T2，T～3T2，……时间内加速度竖直向上；在T2～T，3T2～2T，……时间内加速度竖直向下，且不论何时进入，加速度的大小均相同，所以速度图线是平行的直线.

若电子在t=0时刻进入板间，则在0～T2时间内，将向B板加速运动，到T2时刻，电子已获得一定的竖直向上的速度，在T2～T时间内（电子也可能在此前或此间到达B板），电子做匀减速运动.根据运动的对称性，到T时刻，粒子速度减为零，此后重复上述运动，直到到达B板时止.故A对.

若电子在T8时刻进入，则电子在T8～T2时间内向B板加速运动，在T2～7T8时间内向B板减速运动，到7T8时刻速度为零；在7T8～T时间内反向向A板加速运动，在T～9T8时间内向A板减速运动，在9T8时刻速度为零；在9T8～3T2时间内又向B板运动.从v-t图像可以判断，正的位移比负的位移大，最终电子将到达B板.故B正确.类似的分析可以判断C、D错误.

2.关注过程分析挖掘周期性运动的规律

此类问题通常需要分析开始几个周期内的运动情况，找出粒子运动过程中所满足的共同规律和特点，从而归纳出N个周期以后的运动情况.

例2 （2002年广东高考）如图3所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）.在两板之间有一带负电的质点P.已知若在A、B间加电压U0，则质点P可以静止平衡.

现在A、B 间加上如图4所示的随时间t变化的电压U，在t=0时质点P位于A、B间的中点处且初速为0.已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而不与两板相碰，求图4中U改变的各时刻t1、t2、t3及tn的表达式.（质点开始从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次.）

解析设质点P的质量为m，电量大小为q.当A、B间的电压为U0时， qU0d=mg；当两板间的电压为2U0时，q2U0d-mg=ma ，可知P的加速度向上，其大小为a=g.

当两板间的电压为0时，P在重力作用下自由下落，加速度为g，方向向下.

在t=0时，两板间的电压为2U0，P自A、B间的中点向上做初速为0的匀加速运动，加速度为g.经过时间τ1，P的速度变为v1，此时使电压变为0，P在重力作用下向上作匀减速运动，再经过τ1，P正好达到A板且速度变为0.依据运动学公式v1=gτ1；0=v1-gτ1′；12d=12gτ21+v1τ1′-12gτ′21可得τ1=τ1′=22dg.根据题意可知 t1=τ1，所以t1=22dg.

在重力作用下，P由A板处向下做匀加速运动，经过时间τ2，P的速度变为v2，方向向下.此时加上电压使P向下做匀减速运动，再经过τ2′，P正好达到B板且速度变为0.依据运动学公式v2=gτ2；0=v2-gτ2′；d=12gτ22+v2τ2′-12 gτ′22，

可得τ2=τ2′=dg.

根据题意可知t2=t1+τ1′+τ2，所以t2=（2+1）dg.

在电场力和重力作用下，P又由B板向上作匀加速运动，经过时间τ3，速度变为v3，此时使电压变为0，让P在重力作用下向上作匀减速运动，经过τ3，P正好达到A板且速度变为0.

由运动学公式v3=τ3，0=v3-gτ3，d=12gτ23+v3τ3′-12gτ′23，可得τ3′=τ3=dg.

根据题意可知t3=t2+τ2′+τ3，所以t3=（2+3）dg.

根据上面的分析，粒子重复刚才的运动，因重力作用，P由A板向下做匀加速运动，经过τ2′，再加上电压P向下做匀减速运动，经过τ2，P到达B且速度为0，所以t4=t3+τ3′+τ2，即t4=（2+5）dg.

同样分析可归纳得tn=（2+2n-3）dg（n≥2）.

通过上述两个问题的探讨，可以清楚地感受到高考命题的一脉相承、推陈出新，变化与延续是高考命题永恒不变的脉络.从延续的角度看，两个问题都以匀变速直线运动规律和牛顿第二定律为基点，着重对学生的推理能力、分析综合能力和应用数学解决物理问题的能力的考查，充分体现动力学问题在高中物理的基础地位.从变化的角度看，近几年来高考命题更强调理论与实践的联系，在分析和推理能力的基础上进一步加大了数学方法处理物理问题能力的考查.平时的学习中如能加强这几个方面的训练，必将在高考中轻松应对，且事半功倍.