阅读数学

陆建根，江苏省特级教师后备人才。江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象，镇江市十佳教师，镇江市数学学科带头人，江苏省考试研究会常务理事、中国数学奥林匹克一级教练员、全国高中数学联合竞赛优秀教练员。在《数学通报》等期刊上发表论文五十多篇，其中有数篇被人大报刊复印资料《高中数学教与学》转载，是江苏省高中数学课程教材改革实验先进个人。多次在市基本功竞赛、优质课、视频课评比中获一等奖，主持、参与了多项国家级、省级、市级课题的研究，近年来致力于“优化课本例题习题教学，提高课堂教学有效性的策略”和“高中生数学阅读能力的培养和提高”的研究，以“数学是语言，数学是文化”的观念倡导“阅读数学”。

曾以为学数学就是记公式、学解题，教数学就是教公式、教解题。刚工作的那几年，我也曾撇开课本带着学生一起做各种参考书上的习题，经老教师指点，知道了数学要教的不仅仅是课本上的概念、公式，教数学的目的也不仅仅是让学生会解题，教师还要让学生掌握隐藏在数学概念、定理、公式等知识后面的共同的、带有本质性的东西，这就是数学思想和数学方法。它们是知识中奠基性的成分，是使人们为获得概念、法则、性质、公式、公理、定理等所必不可少的。而数学解题也需要有数学思想方法的引领，否则再好的解题技巧也只是一种技巧而已。

曾以为数学是一面“筛子”，是用来选拔精英的，通过学习知道，数学应该是为大众服务的，是为所有人继续学习提供不竭动力的“泵”。数学教学应该为不同需求的人提供不同层次的数学。

曾以为“教学案”的诞生可以彻底改变数学教学的现状，让数学不再难教，也让数学不再难学。通过实践发现，教学案教学实际上是一种快餐式的教学，重结论、轻过程，重技巧、轻思想方法，这样的课堂看似高效，实则会影响学生长远的发展。随着自己对教材研究的不断深入，愈发感受到课本的重要性。我越来越感觉到数学教学需要回归课本，通过对基础知识、基本技能、基本方法的学习，掌握数学的思想方法。教师自己必须对数学课本内容有深刻的理解，要能对课本知识的重要组成部分——课本的例题习题作深刻的研究，要知道这些例题习题跟课本基础知识之间的关系，还要知道不同例题习题之间的联系，更要知道对这些例题习题可以作哪些拓展研究。为此，我对课本的很多例题习题作了大量的研究，写了三十多篇这方面的研究文章。

曾以为数学只是一大堆的公式和做不完的题目，慢慢地自己也感受到数学其实是一种语言，数学更是一种文化。苏联著名教育家斯托利亚尔说：“数学教学也就是数学语言的教学。”数学是一种语言，数学学习离不开对数学语言的阅读领会、理解交流。数学课程标准强调的一个理念是：注重学生各种能力的培养，其中包括数学阅读能力、数学应用能力和数学探究能力。在深化教育改革大力推进“素质教育”的今天，“教学生学会学习”已成为当今具有时代特征的教育口号，并成为教育心理学、学习学和教学论共同关注的热点问题。要教会学生学习无疑要先从课本入手，对学生加强数学阅读教学，进行数学阅读能力的培养。

数学阅读过程同一般阅读过程一样，是一个完整的心理活动过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素。同时，它也是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程。

由于数学语言的高度抽象性和精确性，阅读数学应注重逻辑思维能力和内部语言转化能力的训练。阅读数学常要求大脑建起灵活的语言转化机制，而这也是数学阅读有别于其他阅读的最主要的方面。笔者在教学实践中进行了如下几种数学阅读的尝试。

一、指导阅读

学生认识事物是一个循序渐进的过程，由浅入深、由近及远、由表及里逐步深化。同样，学生对阅读材料的理解、阅读能力的形成和发展也是逐步深化的。数学家王梓坤非常重视循序渐进，他在《论数学学习》中强调：“要循序渐进，不论是学数学或研究数学，都必须循序渐进，每前进一步，都必须立脚稳固。”在学生初次接触数学阅读教学时，由于学生的阅读能力较弱，不了解数学阅读的方法，需要教师进行指导。学生的阅读能力需要通过参与教师指导下的训练实践活动逐步形成。

在必修1第一章第一节“集合的含义及其表示”的教学中，因为这一节内容陈述性知识较多，几乎没有程序性知识，学生是完全有能力理解的，所以这节课的内容我没有告诉学生什么叫集合、元素，什么是自然数集等等，而是设计了一组思考题：什么叫集合？什么叫元素？元素和集合之间的关系如何表示？集合有何特性？常见的集合表示方法有哪些？试举例说明。什么叫两个相等的集合？什么叫空集？试举例说明。常见的数集有哪些？如何表示？这样，让学生在初读课本的基础上带着思考题再读课本。

当学生再读、思考并对上述问题有了大致答案之后，我再带领学生一起讨论上述问题。当学生把上述问题全部搞清楚了，本节的教学目标也就基本达成了。事实证明，这样的教学效果远比学生没有阅读而直接听教师讲解要好得多。

如果教师经常这样引导学生去阅读，久而久之，学生就会自己根据课本内容列思考题，学生阅读的能力也就得到了提高。

二、概括阅读

经过一段时间的指导阅读教学之后，学生初步体验并了解了编写思考题的方法，则可以进入阅读的高级阶段，即要求学生自己整理归纳阅读要点并进行交流与评价。如采用概括阅读可以改变复习课“简单重复”的现象，通过指导学生剖析概念的内涵与外延，对已学过的知识进行整理和深加工，帮助学生对知识结构进行重组和深化。可以重点训练学生阅读概念、掌握找关键词的方法，让学生构建良好的阅读策略。

在学习了必修1之后，一般教师都会帮助学生建立一个有关函数知识的网络，来加深对函数部分知识的理解。我认为，“函数”是个核心概念，在高三复习阶段，还应让学生清楚函数知识与其他数学知识之间的逻辑关系。必修4将角的概念推广到任意角后，可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数，这样，就可以把三角函数纳入到一般函数的范畴，主要的学习内容还是研究三角函数的图象与性质，可以把这部分内容看成是必修1函数知识的一个应用。必修5中的数列虽自成体系，但它也可以看成是定义在正整数集上的函数，函数概念的外延在不断地拓展，学生对函数概念的理解也更有深度。选修系列中的导数也可以看成是为了研究更为复杂的函数性质而采用的更为先进的研究工具，其本质依然是函数。可见，整套高中教材都是以函数为主线贯穿其中。如果学生没有系统地阅读课标，没有悟出这些知识之间的联系，他们掌握的知识可能就是支离破碎的，也就很难编织清晰的知识网络，很难形成高效的正确的认知结构，对这些知识的理解就会缺乏高度。

对学生而言，教师告诉他的终究缺少他自己的体验和感受，而学生自己体会到的才能真正内化成自己的。

三、主题阅读

主题阅读就是就某一个确定的数学内容或主题，由教师推荐或学生自己选择相关的文献，供学生自主阅读学习，并达成一定的阅读目标（了解、理解、掌握、应用文献中的数学知识）。主题阅读是一种主动性和有创造性的阅读形式，数学主题阅读的意义就在于培养学生合理有效地查找信息、加工信息、表达信息的能力，“教学生学会学习”，让学生实现自我的可持续发展。

如教材必修1第3章“指数函数、对数函数和幂函数”的3.2.2“对数函数”后设置了“链接”，简要介绍了反函数的概念，必修4第1章“三角函数”的复习题后的“链接”补充了“反三角函数”的概念，我让学生成立学习小组，进行反函数和反三角函数性质的主题阅读，我为学生提供阅读参考书目，提出建议，让学生自己去阅读、归纳、整理，一段时间后，用某节课的部分时间，让小组成员在全班作汇报。我认为这个过程就让学生把课堂内的阅读延伸到了课外，如果学生经常参与此类研究，慢慢就会养成阅读的习惯，我们教育的目的也就达到了。

四、分层阅读

美国阅读心理学家N.B.Smith在《阅读中理解的多样性》一文中，把通过阅读获得知识的过程分为四个层次：第一个层次是认知性阅读，通过对字面的理解，认识阅读材料的字、词和通读全文，获得材料的大概印象和字面的了解，即获得一种观点或阅读内容的最初的、直接的字面意思。第二个层次是理解性阅读，教师引导学生解释词语、分析段落、揭示主题、引导学生联系作品的文化背景，寻求作者的思想和风格，即不是直接按照原样照搬读物文字，而是进行概括、比较，发现内容潜在的意义。第三个层次是批判性阅读，这个阶段的阅读看重的是阅读的主体，是学生自己的观点和认识，它是在理解的基础上，要求表达出个人的见解。第四个层次是创造性阅读，是能够离开材料提出新问题、发表新见解或做出新答案。

阅读的四层次原理体现在数学阅读中，分别表现为：①唤起对学科知识的识记，不需要较长的思考时间，感知阅读内容“是什么”。②需要运用知识对问题做出阐述或说明，需要一定的思考时间，让学生知道“为什么”。③需要学生变换角度反思或能够作深层次的思考，学生能够提出“反思性问题”。④促进学生多角度思考问题，保证思维的发散性，对阅读内容能够进行推广。我在“柯西不等式”的教学中按照阅读的这四个层次，通过设计“问题链”展开教学。

1.认知性阅读层次。

学生先阅读课本，然后交流、研讨：定理1、定理2、定理3、定理4的内容分别是什么？ 定理1、定理2、定理3、定理4分别是怎么证明的？例1、例2、例3、例4、例5、例6分别是如何求解的？

通过三个问题解读，让学生初读课本，感知教材，知道课本内容是什么，这个阶段主要回答“是什么”的问题。通过阅读感知教材所涉及的主要内容，对这一节内容的概念、定理、公式有一个初步的认识，而阅读感知是包含着理解色彩的间接感知，感知内容的多少、程度的高低受阅读者自身知识水平、阅读注意力的影响。

2.理解性阅读层次。

首先让学生思考：定理1与定理2有何关系？定理1与定理3有何关系？定理1与定理4有何联系？这些定理与例题之间有何联系？例1、例2、例3、例4、例5、例6跟我们以前所学的有关不等式知识之间有何联系？柯西不等式的结构特征是什么？

通过交流、研讨，学生得到以下结论：定理2是定理1的向量形式，定理3反映了定理1的几何意义。定理3与定理1本质上是等价的，借助图形可以直观地认识到这一等式的正确性。给出定理2、定理3，旨在加深学生对定理1的本质的理解。定理4是定理1的推广，定理1是定理4的特例。

3.批判性阅读层次。

请学生思考：上述定理有没有其他的证明方法？上述例题有没有其他的求解方法？柯西不等式是用来解决什么问题的？试对例6作改编。试自编几道用柯西不等式求最值的问题。

4.创造性阅读层次。

学生思考：定理2是定理1的向量形式，类比定理2，能得到定理4即柯西不等式的几何解释吗？你能得到更一般的结论吗？

教材从定理1到定理4是推广，通过对教材的研读，也要让学生掌握推广的基本模式，培养学生推广的意识，这对培养学生创造性思维能力的发展具有重要意义。

五、比较阅读

比较阅读就是将两种或多种材料对照阅读，分析其相同点和不同点的一种阅读方法。在比较阅读教学时，一要选好对比点，如对比奇函数和偶函数的定义与性质、增函数和减函数的定义与图象特征、最大值和最小值的定义等等。二要对比较的结果作归纳分析，如在等比数列的教学中，我让学生与等差数列部分的内容进行比较阅读，然后将等比数列的定义、通项公式及推导方法、求和公式及推导等内容与等差数列比较，进行归纳，分析相似处、不同点，这样学生自己就能较好地掌握等比数列的基本知识。

美国著名心理学家龙菲尔德说“数学不过是语言所能达到的最高境界”，要想使新课程改革所要求的高中数学素质教育目标得到落实，使学生最终能独立自主地学习，就必须认识数学阅读能力培养的重要性，要重视数学阅读能力的培养，加强数学阅读教育研究，从而提高数学课堂教学的质量，帮助学生形成“终生教育、终生学习”的现代教育思想。

（作者单位：江苏省镇江中学）