何种情况下用洛比达法则求函数极限较合适

何冬梅

摘 要： 洛比达法则是高等数学中的重要内容之一，是解决某些极限问题的重要方法.熟练掌握洛比达法则求极限的方法，对学好高等数学有十分重要的意义.

关键词： 洛比达法则 函数极限 求解方法

极限是微分学的基础，它贯穿微分学的始终，求极限是高等数学中的重要章节，洛比达法则是求极限方法中的一种重要方法，它能使運算过程简单化，但由于求极限的方法较多，本来可以用洛比达法则解决的问题，有的学生却不知该如何入手，采用什么方法解决问题.笔者就自己的教学工作经验，论述如下，希望能起到抛砖引玉的作用.

一、洛比达法则的定义

定理1：如果函数f（x）、g（x）满足

（1）当x→a或x→∞时，f（x）→0，g（x）→0

（2）f′（x）和g′（x）存在且g′（x）≠0

（3）lim■存在（或为无穷大）

那么lim■=lim■.

定理2：如果函数f（x）、g（x）满足

（1）当x→a或x→∞时，f（x）→∞，g（x）→∞

（2）f′（x）和g′（x）存在且g′（x）≠0

（3）lim■存在（或为无穷大）

那么lim■=lim■.

以上两个定理中所给出的求极限的方法统称为洛比达法则.

这个法则是由瑞士数学家约翰·伯努利发现的，因此也被称为伯努力法则.

二、求函数极限的方法

1.直接代入法

当未知数x→常数a，且函数在x→a的某一邻域内连续，则原极限等于x的地方用a代替，再计算出结果.

2.当x→a时，函数中的分母→0，则有以下情形：

（1）当函数是分式，可分别对分子、分母因式分解、约分、化简后再用代入法求极限.

（2）当函数中有根式出现时，则先对分子或分母有理化（用平方差公式）及化简后再求极限.

（3）当分子、分母都是多项式，且分子，分母都→0时，可用洛比达法则求极限.

3.运用两个重要极限公式求极限

（1）■■=1

（2）■（1+■）■=e

4.运用洛比达法则求极限

只要满足定理：1.定理2的求极限的条件，就可用洛比达法则.定理1和定理2中的求极限问题分别称为■型未定式、■型未定式，其他型的未定式∞-∞型、1■、0■、∞■均可转化为■型或■型，再进一步求极限.

5.利用等价无穷小量替换法求极限

当x→0，替换如下：

x～sinx～tanx～arctanx～arcsinx～ln（1+x）～e■-1；

1-cosx～■；（1+x）■-1～ax（a≠0）

只有在等价的无穷小前提下及因式中才可以替换.

三、在什么情况下用洛比达法则求极限较合适

显然，在上述中已叙述过，当求极限的问题属于■型、■型未定式可用洛比达法则，其他如∞-∞型、1■、0■、∞■型的未定式可转化成以上两种后再用洛比达法则.

采用此方法解题的好处是：简单：快捷.

两边夹法则：只有在等价的无穷及因式中才可以替换.

两边夹法则：若g（x）≤f（x）≤h（x）且■g（x）=■h（x）=A，

则■f（x）=A.

综上所述，当遇到“商的极限”且是属于■型或■型未定式时，用洛比达法则求极限比较合适.当然还有1■型、0■型、∞-∞型、∞■型经过转化后也可用此法则.解题时一定要注意，只有满足条件时才能用，否则就会导致错误；只要满足条件，则可连续使用；某些较复杂的题中，应与其他方法结合起来，简化运算过程.也只有熟练掌握以上求极限的各种方法，才能把高等数学学好，为今后各学科的学习打下坚实的基础.

参考文献：

[1]同济大学教研主编.高等数学.第四版上册，高等教育出版社，1998.

[2]张国楚，张如生.大学文科高等数学.高等教育出版社，2005.12.

[3]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学.高等教育出版社，2000.3.

[4]华东师范大学数学系.数学分析.高等教育出版社，1998.6.