等边三角形确定摄像机内参数的线性方法

禹旺勋 王爱菊

摘要：本文提出了一种求解摄像机内参数的线性方法。首先通过空间平面上等边三角形的边计算灭点坐标，根据摄影变换的交比不变性，由拉盖尔定理及三角形的两边夹角计算出圆环点坐标。图像圆环点坐标方程构成内参数约束方程，从而计算出所有内参数。实验结果表明，该方法有较好的灵活性和较高的鲁棒性。

关键词：摄像机标定 圆环点 等边三角形

1 概述

摄像机标定是从二维图像信息获取三维空间信息必不可少的步骤。随着摄像机的普及，许多非视觉专业人士需要有一种简易、灵活的标定方法帮助他们完成与视觉有关的工作。因此近年来计算机视觉领域越来越多的有关人员开始研究如何利用摄像机标定获得更可靠的摄像机几何模型。目前报道的最为成功和实用的一种算法是Zhang 的平面标定算法，该算法摒弃了传统的标定块，采用的是平面模板，不仅简单灵活，还具有很高的标定精度。但是，该算法不利于实现自动化标定，需要进行人工干预，因为该算法需要测量出模板上角点的物理坐标，并需对每幅图像提取角点以及对角点及其图像点进行匹配。为此，Meng等人对这种算法进行了改进，即标定模板选择呈一圆周及经过圆心的若干条直线，然而改进后的算法仍然需要测量出圆心的物理位置，并且这个物理位置的确定性某种程度上影响该算法的精度和稳定性。为了有效解决这一问题，本文提出一种新的摄像机标定算法，所采用的标定模板为等边三角形。本文算法能够有效的解决以上所述问题，进行自动化标定，使标定算法的实用性和灵活性得到了大幅度的提高。

2 摄像机模型

本文使用的摄像机模型为经典针孔模型。设P为任意空间点，空间点齐次坐标和图像点齐次坐标分别为M=（xw，yw，zw，1）T和m=（u，v，1）T。通过透视投影几何关系M

与m之间的关系如下：

λm=K[R T]M（1）

其中，λ为比例因子；K=f■■ s u■0 f■ v■0 0 1为摄像机内参数矩阵；R和T分别为世界坐标系到摄像机坐标系的旋转矩阵和平移向量。

3 圆环点对摄像机内参数的约束

设π是空间上的一个有限远平面，分别取平面π上两条相互正交的直线为x轴和y轴，通过两个轴交点O且与平面正交的直线为z轴，建立坐标系O-xyz。于是平面方程为z=0。π上的无穷远直线为平面π与无穷远平面的交线方程为

w=0z=0（2）

设c是平面π上的任意一个圆，圆心坐标为（x0，y0，0，1）T，半径为r，则圆的方程为

x-x■w■+y-y■w■=w■r■z=0（3）

其中（x，y，z，w）T为圆上点的齐次坐标。

设m为空间点X在绝对二次曲线上的图像点，根据（1）式得到

mTK-TKTm=0（4）

由（4）式可知，绝对二次曲线的图像是与摄像机内参数有关的二次曲线。由于圆环点I，J是一对共轭点，所以对应的图像mi，mj也是一对共轭点，因此可记为

mi=（x1+x2i，y1+y2，1）T，mj=（x1-x2i，y1-y2，1）T （5）

把式（5）代入式（4）得

m■■ωm■=0m■■ωm■=0（6）

由式（6）可以得到两个关于摄像机内参数的线性约束

Re（m■■ωm■）=0Im（m■■ωm■）=0（7）

4 标定方法

4.1 确定灭点的图像坐标 本文使用等边三角形模板，每条边任意取三个点。模板如图1所示，等边三角形ABC，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点。3条直线AB，BC，AC的无穷远点分别是P1∞，P2∞，P3∞。等边三角形的图像如图2所示，a，b，c分别是点A，B，C的图像点。无穷远点的图像点分别为p1，p2，p3。a，b，c的坐标用（ui，vi）T（i=a，b，c）表示。

■

以边AB为例，根据射影几何理论，有如下结论：

①同一条边上的三个不同点和无穷远点的交比等于同一条边上三点分成的线段之比。

（AB，DP1∞）=γ，γ=AF/BF

②在射影变换下，由图形类的映射及射影不变量的性质，由结论①得

ab，dp■=γp■·a×b=0（8）

方程（8）的矩阵表示如下

1 0 0 1v■-v■ u■-u■u■v■

=（u■（u■-γu■）-（γ-1）u■u■）/（（1-γ）u■-u■+γu■）（v■（v■-γv■）-（γ-1）v■v■）/（（1-γ）v■-v■+γv■）u■v■-u■v■（9）

若γ已知，利用最小二乘法求出p1。同理，计算出p2，p3。

4.2 确定圆环点的坐标 根据射影几何中的拉盖尔理论，θ与比值μ的关系如下

μ=e2iθ（10）

根据射影变换下交比不变性和式（10），得如下推论：

推论1：设三角形abc的三个边ab，ac，bc的灭点分别是p1，p2，p3，有

■（u■-u■） u■+u■-2u■■（u■-u■） u■+u■-2u■x■x■=■（u■u■-u■u■）■（u■u■-u■u■）

■（v■-v■） v■+v■-2v■■（v■-v■） v■+v■-2v■x■x■=■（v■v■-v■v■）■（v■v■-v■v■）

利用推论1，计算出mi，mj的圆环点坐标。

5 确定摄像机内参数

设ω=K-TK-1=c■ c■ c■c■ c■ c■c■ c■ c■，令C=（c1，c2，c3，c4，c5，c6）T，根据式（7）得如下方程

x■■-x■■ 2（x■y■-x■y■） 2x■ y■■-y■■ 2y■ 1x■x■ x■y■+x■y■ x■ y■y■ y■ 0C=0（12）

从不同的方位拍摄n幅图像，然后求出每幅图像的圆环点图像坐标mil，mlj（l=1，2，…，n）。可以得到n個与式（12）相同的方程，将这些方程组合在一起得

AC=0（13）

其中A是一个2n×6的矩阵，当n？叟3时，矩阵C可以由式（13）唯一的确定。从而求出ω，然后对ω进行Cholesky分解即可确定摄像机的全部5个内参数。

6 实验结果

为了检验算法的有效性，本文做了真实的图像实验，实验采用的是佳能A2000数码相机分辨率设定为640×480像素。在真实图像实验中， 摄像机从不同方位拍摄3幅图像。按文中方法计算，结果如表1所示。

表1 本文算法标定结果

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7 结论

本文给出了基于等边三角形的摄像机自标定的一种方法。利用摄像机从3个或3个以上不同的方位摄取模板上的图像，由圆环点图像获得关于摄像机内参数的约束方程，从而确定摄像机的内参数。真实图像实验表明，本文所提出的标定方法原理简单，并具有较高的定标精度。

参考文献：

[1]杨卫.基于立体视觉的运动刚体位姿测量方法研究[D].哈尔滨工业大学，2009.

[2]张备伟，吴福朝.基于正十二边行平面模板的摄像机自标定[J].安微大学学报（自然科学版），2000-12-25.

[3]林立财.基于混合优化算法的摄像机自标定方法研究[D].南昌航空大学，2009.

基金项目：

关于摄像机标定方法的研究（云南省教育厅项目）2013C165。

作者简介：

禹旺勋（1982-），男，硕士，讲师，河南驻马店泌阳人，主要从事机器视觉方向研究。