一类含绝对值函数的探究

许飘勇

在讲解不等式选讲时，有道填空题要求解函数y=2|x-1|+|x-2|+|4x-3|的单调区间和值域，若用零点分区间法求出分段函数的表达式，再用图象，得出单调区间和值域，虽然思路简单，但耗时费力，准确率低.笔者思考能不能根据参数就可画出函数草图，数形结合就易得答案.

对于可化为形如f（x）=k1|x-a1|+k2|x-a2|+…+kn|x-an|（其中a1

当k1+k2+…+kn>0时，

若x∈（∞，a1]，则f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）

所以函数在（∞，a1]单调递减.

若x∈[an，+∞），则f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）

所以函数在[an，+∞）单调递增.

若x∈[ai，ai+1]（i=1，2…n-1）

当f（ai）

当f（ai）>f（ai+1）时，函数在[ai，ai+1]单调递减；

当f（ai）=f（ai+1）时，函数在[ai，ai+1]的图象是（ai，f（ai）），（ai+1，

f（ai+1））为端点的水平线段.

若记M=min{f（a1），f（a2）…f（an）}，则此时值域为[M，+∞）.

当k1+k2+…+kn<0时，

若x∈（-∞，a1]，则f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=

-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）

所以图象在（-∞，a1]单调遞增.

若x∈[an，+∞），则f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）

所以图象在[an，+∞）单调递减.

若x∈[ai，ai+1]（i=1，2…n-1）

当f（ai，）

当f（ai，）>f（ai+1）时，在[ai，ai+1]单调递减；

当f（ai，）=f（ai+1）时，在[ai，ai+1]图象是（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））为端点的水平线段.

若记N=max{f（a1），f（a2）…f（an）}，则此时值域为（-∞，N]

当k1+k2+…+kn=0时，

若x∈（-∞，a1]，则f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）=（k1a1+k2a2+…+knan）

所以图象在（-∞，a1]是以（a1，f（a1））为端点方向向左的水平射线.

若x∈[an，+∞），则f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）=-（k1a1+k2a2+…+knan）

所以图象在[an，+∞）是以（an，f（an））为端点方向向右的水平射线.

若x∈[ai，ai+1]（i=1，2…n-1）

当f（ai）

当f（ai）>f（ai+1）时，在[ai，ai+1]单调递减

当f（ai）=f（ai+1）时，在[ai，ai+1]图象是（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））为端点的水平线段.

若记M=min{f（a1），f（a2）…f（an）}，N=max{f（a1），f（a2）…f（an）}，则值域为[M，N].

总之，形如f（x）=k1|x-a1|+k2|x-a2|+…+kn|x-an|（其中a1

1.定义域x∈（-∞，+∞）.

2.图象、单调性、值域.整个图象是连续不断的折线.

当k1+k2+…+kn>0时，图象为W型.在（-∞，a1]单调递减，在[an，+∞）单调递增，中间是以（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））（i=1，2…n-1）为端点的线段连接而成的连续不断的折线.若记M=min{f（a1），f（a2）…

f（an）}，则值域为[M，+∞）.

当k1+k2+…+kn<0时，图象为M型，在（-∞，a1]单调递增，在[an，+∞）单调递减，中间是以（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））（i=1，2…n-1）为端点的线段连接而成的连续不断的折线.若记N=max{f（a1），f（a2）…

f（an）}，则值域为（-∞，N].

当k1+k2+…+kn=0时，图象为Z型，在（-∞，a1]是以（a1，f（a1））为端点方向向左的水平射线，在[an，+∞）是以（an，f（an））为端点方向向右的水平射线，中间是以（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））（i=1，2…n-1）为端点的线段连接而成的连续不断的折线.若记M=min{f（a1），f（a2）…

f（an）}，N=max{f（a1），f（a2）…f（an）}，则值域为[M，N].

所以y=2|x-1|+|x-2|-|4x-12|可化为y=2|x-1|+|x-2|-4|x-3|，先描（1，-7），（2-2），（3，5），计算2+1-4=-1，可得图象为M型，易得单调增区间为（-∞，3]，单调减区间为[3，+∞）]；值域为（-∞，5].