叶盘耦合共振条件中激励阶次的确定

乞 征 王建军

(北京航空航天大学 能源与动力工程学院，北京100191)

叶盘结构是航空发动机等旋转机械最重要的结构形式之一.随着航空发动机设计中对高推重比的日益追求，轮盘的厚度越来越薄，致使轮盘与叶片的刚度接近，叶盘耦合振动问题就变得十分突出[1].叶盘耦合振动问题中叶盘耦合共振条件的确定对于预防和抑制叶盘共振、避免共振灾害具有重要作用.叶盘耦合振动的共振条件为:①激振力频率等于叶盘固有频率;②激励阶次等于叶盘节径数[2].其中对于转静件干涉条件下叶盘所受激振力频率和激励阶次的确定，国内外学者做了大量的研究工作并取得了重要的研究成果.

晏砺堂等[3]认为转静件干涉条件下，叶盘所受激励阶次应等于前排静叶数目，所受激振力频率应等于所受激励阶次与转子转速的乘积[1－2].据此王延荣、张大义等[4－5]考虑到叶盘节径数最多为转子叶片数(即动叶)的一半，认为静叶数多于转子叶片数的一半时，便不会引起叶盘耦合共振.姚建尧[6]指出激励阶次应等于静叶数目与任意整数倍动叶数目的和，大多数情况下此任意整数为零或者较小负整数.辛健强和Li等[7－8]指出转静件干涉下转子受到的激振力频率应等于静叶数目与转子转速的乘积.Tyler和 Yves等[9－10]认为激励阶次应等于任意整数倍静叶数目与任意整数倍的动叶数目的和.

从上述研究可以看出，对于转静件干涉条件下叶盘所受激振力频率和激励阶次的确定，学者们的判定原则很不一致.因此本文通过对典型转子叶盘结构在多种静叶数目影响下所受激励特性的分析，证实了辛健强等提出的激振力频率公式的合理性;提出了一种全新的激励阶次的确定公式，并对其进行了数值与实验验证.

1 激励阶次的确定

文献[11]研究认为，转静件干涉条件下，可以假设转子的某个动叶旋转过静子的两个静叶间所受激励形式为正弦曲线的一个周期，那么此动叶旋转一圈受到的周期激励次数将等于静叶数目，于是转子叶片所受激振力频率fe应等于转子转速与静叶数目的乘积，即

其中，Ns为静叶数;Ω为转子转速，这就证明了辛健强等提出的激振力频率确定公式的合理性.

依据文献[11]上述假设，以叶盘实验件(图1)为例，假设其前排有8个静叶均匀分布时，画出某时刻8个静叶间气动激励形式和12个动叶叶尖此时受到的激振力示意图(见图2)，其中12个动叶叶尖所受激振力组成波形的周期个数代表转子叶盘受到的激励阶次.同理，画出前排静叶数为3时静叶间气动激励形式和12个动叶叶尖此时受到的激振力的示意图(见图3).观察图2可以发现，这种图像描述与数据采集中采样问题的图像描述非常类似.

简单介绍数据采集中采样问题的原理.对某个模拟信号x(t)每隔Δt时间采样一次，称Δt时间为采样周期，其倒数 1/Δt称为采样频率，x(0)，x(Δt)，x(2Δt)，…，称为采样值.

采样定理是指，只有采样频率fs大于等于两倍的原始信号频率f，才能根据采样值完全恢复原始信号(见图4).即fs≥2f时:

式中fa是实际采样得到的信号频率.

图1 叶盘实验件

图2 8个静叶时静子间气动力和12个动叶叶尖所受激振力示意图

图3 3个静叶时静子间气动力与12个动叶叶尖所受激振力示意图

图4 满足采样定理的采样过程

采样频率偏低的结果是采集得到的信号频率与原始信号不同(见图5)，即信号畸变，这种信号畸变叫做混叠.混叠频率是原始信号的频率与它最靠近的采样频率整数倍的差的绝对值[12].即fs＜2f时:

其中，n=int(f/fs+0.5)，y=int(x)为向下取整函数，x小数点后面的数全部舍去得到y.

图5 不满足采样定理的采样过程

对比图5和图2可以发现二者的图像描述非常类似，图5中信号频率f是指单位时间内的信号波形个数，对应图2即是单位角度内的静子间气动激励波形个数，即Ns/2π;采样频率fs是指单位时间内的采样点数，对应图2是单位角度内的动叶数，即Nr/2π，其中Nr代表动叶数;采样得到的信号频率fa是指采样点在单位时间内组成波形的周期个数，对应图2是单位角度内的激励阶次，即Ne/2π，其中 Ne代表激励阶次.用Ns/2π，Nr/2π，Ne/2π 分别替换式(3)中的 f，fs，fa有

其中，n=int(Ns/Nr+0.5).同理，图4和图3的图像描述非常类似，用Ns/2π，Ne/2π分别替换式中的 f，fa有

不难发现Nr＞2Ns时，Ne=Ns只是式(4)中n=0的特殊情况;Nr=2Ns时，Ne=Ns也只是式(4)中n=1的特殊情况，合并式(4)和式(5)，得到Nr，Ns，Ne三者之间更简洁的关系公式:

其中n=int(Ns/Nr+0.5).可以看到，转静子干涉条件下，叶盘所受激励阶次只与动静叶数目有关，动静叶数目一旦确定，激励阶次就是唯一的.这就明确了激励阶次的影响因素，较姚建尧和Tyler等提出的激励阶次的确定原则避免了由任意整数带来的激励阶次的不确定性，减小了这种不确定性带来的判断叶盘共振条件的复杂性.

以叶盘实验件12个动叶为例，画出Ne与Ns的关系曲线，如图6所示，可以看到当动叶数确定，无论静叶数如何变化激励阶次最大为动叶数的一半.

图6 12个动叶时激励阶次与静子数关系

2 数值与实验验证

本节给出转静件干涉条件下叶盘结构所受激励阶次影响因素的数值仿真与实验验证.保持激振力频率不变，改变前排静叶数目，通过不同静叶数目下叶盘叶尖的轴向响应幅值比较，验证式(6)的合理性，激振力频率取叶盘4节径固有频率 98.75 Hz.

数值验证部分采用了ANSYS软件的直接耦合场压电分析功能，叶盘的有限元模型如图7所示，对叶盘内环节点施加全约束，叶片根部为压电陶瓷激振片，采用耦合场SOLID5六面体单元划分压电片网格，对其上下表面节点进行电压自由度耦合，并利用APDL编程对其施加不同静叶数下的模拟行波激励电压信号来进行瞬态响应分析，计算步长取激振力最小周期的1/20，给定阻尼比为2‰.

图7 叶盘实验件有限元模型

实验验证部分采用文献[13]搭建的实验系统，给叶盘实验件(见图7)施加不同静叶数下的模拟行波激励，测量叶盘叶尖节点在相同激振频率、不同前排静叶数下的轴向位移响应幅值.

数值仿真和实验结果如图8所示，可以看到有限元与实验结果得到了较好的相互验证.在激振力频率保持叶盘4节径固有频率不变时，只有在4，8，16，20静叶数下，叶盘发生了共振，说明只有此时激励阶次与节径数4相等.对于叶盘实验件，在式(6)的确定准则下其所受激励阶次为4时的前排静叶数也应是4，8，16，20，这就从有限元仿真和实验测试两个角度验证了式(6)的正确性.

图8 相同激励频率不同静叶数下叶盘叶尖的响应幅值

3 结论

1)转静件干涉条件下，叶盘结构所受激振力频率等于静叶数与转子转速的乘积，所受激励阶次等于静叶数和它最靠近的动叶数整数倍的差的绝对值.

2)静叶数多于转子叶片数的一半时，也会引起叶盘耦合共振.

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