数学语言的“悄悄话”

陈敏　吴宝莹

摘要数学语言的理解是数学语言交流和应用的基础，针对符号语言、文字语言和图表语言三类不同的数学语言有不同的理解方法与窍门，加强三种数学语言的相互转换，不但有助于理解数学语言，

也能有效提高数学语言表达与应用能力.

关键词符号语言文字语言图表语言理解

数学语言是储存、传承和加工数学思想信息的一种工具，它是以符号表达为主的高度抽象的专业语言.数学知识与数学思想最终要通过数学语言表示出来并获得理解、掌握、交流和应用.显然数学语言的理解是基础，是前提.那么如何理解数学语言呢？数学语言有“悄悄话”要

说一说.

数学语言是一种非日常和非自然的语言，其中一部分是被规定或定义的，用来表示理想化的数学对象，数学语言一般分为符号语言、文字语言和图表语言三类.

一、 “悄悄话”之把握根本要义，适度通俗化理解文字语言

文字语言是数学化的自然语言，或者称为自然语言中的数学语言.自然语言常具有模糊性，而数学是严谨的，容不得含糊.所以，数学中的文字语言不是自然语言的简单移植或组合，而是经过一定的加工、改造、限定、精确化而形成的，并且这些语言具有数学学科特指的确定的语义，常以数学概念、术语的形式出现.数学文字语言的理解最重要的是把握其根本要义.

如对简易逻辑中“充分条件与必要条件”这一概念，我们感到比较抽象，尤其是必要条件的理解有困难.笔者在教学时设计了这样一个flash

笑话情境：一位数学家从一间办公室前走过，听到室内有两人在大声吵闹.老板p对小秘q说：“有我p在，就有你q吃香的喝辣的！”小秘q很不服气，气急败坏地说：“你的底细我可全清楚，我完蛋了，你也完蛋了！”两个人都气急败坏，互不相让，这时数学家走上前，不紧不慢地说：“你们所说的正是数学逻辑学中的充分条件与必要条件问题，

老板在是小秘吃香的喝辣的充分条件，而小秘吃香的喝辣的是老板在的必要条件.”这个小笑话在讽刺丑恶现象的同时，揭示了“充分条件与必要条件”概念的根本要义，若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.这是因为只要p成立，q就成立，p对q来说就足够了，就充分了；但是若q不成立，p就不成立，所以q对p来说是必要的.

二、 “悄悄话”之追根溯源、类比联想、调整语序、直观形象化理解符号语言

符号语言是数学中通用的、特有的简练语言，是在人类数学思维长期发展过程中形成的一种语言表达形式.符号语言的理解可以用追根溯源、类比联想、调整语序、直观形象化等方法.

首先，追根溯源，搞清符号语言是如何产生的.数学符号语言又分为三种：象形符号语言、缩写符号语言以及约定符号语言.如几何学中的符号△、⊙、∥、⊥、∠等都是原形的压缩改造，属于象形符号.缩写符号是由数学概念的西文词汇缩写或加以改造而成的符号，比如自然数

再如椭圆的离心率与椭圆形状的关系：离心率e越小椭圆越圆，e越大椭圆越扁.对此死记硬背，容易混淆搞错，把这一规律形象化就简单多了.因为椭圆离心率e∈（0，1），如图2，e越小即越靠近0，因为0比较圆满，所以椭圆越圆，e越大即越靠近1，因为1比较扁平，所以椭圆越扁.（可以把0和1写得夸张一些） 这样椭圆的离心率与椭圆的形状关系就形象地牢牢地“画”在了学生的脑子里，永远不会忘记！

三、 “悄悄话”之拨开表面迷雾，洞察问题本质理解图表语言

图表语言是指包含一定数学信息的各种图形、图象或表格，可细分为图形语言（几何图形、统计分析图、集合维恩图等）、图象语言（函数图象或统计线图等）和表格语言（统计数据表、分析表、框图等），它们是数学形象思维的载体和中介，也是数学思维的重要材料和结果，

同时还是进行抽象思维的一个重要工具.图表语言是数学的一种直观性语言，其特点是直观形象、易于理解，但是直观形象有时会表现为一种假象，理解图表语言特别要拨开表面迷雾，透过现象洞察问题的本质.

如图3，一电工沿着竖立的梯子LN往上爬，当他爬到中点M处时，由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，则M点的轨迹是（）

由于梯子滑行的直觉表象，我们常常会选A.而实际上，根据直角三角形“斜边中点到直角顶点距离等于斜边长的一半”，斜边长即梯子LN的长度是定值，所以M点到原点O的距离始终是梯子LN的长度的一半，其轨迹是应当是以原点O为圆心、LN2为半径的圆弧，应选C.

四、 对“数学语言的悄悄话”的“悄悄话”

以上是如何理解符号语言、文字语言和图表语言的“悄悄话”，事实上，这三种数学语言各有其优势与不足：文字语言通俗、易懂，但描述起来是线性的，不易表露知识的内在结构；符号语言抽象，但简洁、精确；图表语言直观形象，但不严谨.所以，一种数学思想内容的表达常常是数学符号语言、文字语言和图表语言的有机融合.对“数学语言的悄悄话”笔者想说的“悄悄话”就是：“要灵活转换三种数学语言，做到扬长避短，优势互补”.这一点在立体几何中得到充分的体现，如直线与平面平行的性质定理的文字语言为：

加强三种数学语言的相互转换不但有助于理解数学语言，也是提高数学语言表达与应用能力的有效途径.如符号语言“实数x，y满足x2+y2=1，求x+y-2的取值范围”，可根据其几何意义，理解为单位圆上的任意点到直线x+y-2=0距离的2倍，也可以令t=x+y-2，其中t+2是平行直线系y=-x+t+2在y轴上的截距，利用线性规划解决.这样通过符号语言与图表语言的转换沟通了代数与解析几何的联系，使问题变得简单易解.

（江苏省锡山高级中学）

摘要数学语言的理解是数学语言交流和应用的基础，针对符号语言、文字语言和图表语言三类不同的数学语言有不同的理解方法与窍门，加强三种数学语言的相互转换，不但有助于理解数学语言，

也能有效提高数学语言表达与应用能力.

关键词符号语言文字语言图表语言理解

数学语言是储存、传承和加工数学思想信息的一种工具，它是以符号表达为主的高度抽象的专业语言.数学知识与数学思想最终要通过数学语言表示出来并获得理解、掌握、交流和应用.显然数学语言的理解是基础，是前提.那么如何理解数学语言呢？数学语言有“悄悄话”要

说一说.

数学语言是一种非日常和非自然的语言，其中一部分是被规定或定义的，用来表示理想化的数学对象，数学语言一般分为符号语言、文字语言和图表语言三类.

一、 “悄悄话”之把握根本要义，适度通俗化理解文字语言

文字语言是数学化的自然语言，或者称为自然语言中的数学语言.自然语言常具有模糊性，而数学是严谨的，容不得含糊.所以，数学中的文字语言不是自然语言的简单移植或组合，而是经过一定的加工、改造、限定、精确化而形成的，并且这些语言具有数学学科特指的确定的语义，常以数学概念、术语的形式出现.数学文字语言的理解最重要的是把握其根本要义.

如对简易逻辑中“充分条件与必要条件”这一概念，我们感到比较抽象，尤其是必要条件的理解有困难.笔者在教学时设计了这样一个flash

笑话情境：一位数学家从一间办公室前走过，听到室内有两人在大声吵闹.老板p对小秘q说：“有我p在，就有你q吃香的喝辣的！”小秘q很不服气，气急败坏地说：“你的底细我可全清楚，我完蛋了，你也完蛋了！”两个人都气急败坏，互不相让，这时数学家走上前，不紧不慢地说：“你们所说的正是数学逻辑学中的充分条件与必要条件问题，

老板在是小秘吃香的喝辣的充分条件，而小秘吃香的喝辣的是老板在的必要条件.”这个小笑话在讽刺丑恶现象的同时，揭示了“充分条件与必要条件”概念的根本要义，若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.这是因为只要p成立，q就成立，p对q来说就足够了，就充分了；但是若q不成立，p就不成立，所以q对p来说是必要的.

二、 “悄悄话”之追根溯源、类比联想、调整语序、直观形象化理解符号语言

符号语言是数学中通用的、特有的简练语言，是在人类数学思维长期发展过程中形成的一种语言表达形式.符号语言的理解可以用追根溯源、类比联想、调整语序、直观形象化等方法.

首先，追根溯源，搞清符号语言是如何产生的.数学符号语言又分为三种：象形符号语言、缩写符号语言以及约定符号语言.如几何学中的符号△、⊙、∥、⊥、∠等都是原形的压缩改造，属于象形符号.缩写符号是由数学概念的西文词汇缩写或加以改造而成的符号，比如自然数

再如椭圆的离心率与椭圆形状的关系：离心率e越小椭圆越圆，e越大椭圆越扁.对此死记硬背，容易混淆搞错，把这一规律形象化就简单多了.因为椭圆离心率e∈（0，1），如图2，e越小即越靠近0，因为0比较圆满，所以椭圆越圆，e越大即越靠近1，因为1比较扁平，所以椭圆越扁.（可以把0和1写得夸张一些） 这样椭圆的离心率与椭圆的形状关系就形象地牢牢地“画”在了学生的脑子里，永远不会忘记！

三、 “悄悄话”之拨开表面迷雾，洞察问题本质理解图表语言

图表语言是指包含一定数学信息的各种图形、图象或表格，可细分为图形语言（几何图形、统计分析图、集合维恩图等）、图象语言（函数图象或统计线图等）和表格语言（统计数据表、分析表、框图等），它们是数学形象思维的载体和中介，也是数学思维的重要材料和结果，

同时还是进行抽象思维的一个重要工具.图表语言是数学的一种直观性语言，其特点是直观形象、易于理解，但是直观形象有时会表现为一种假象，理解图表语言特别要拨开表面迷雾，透过现象洞察问题的本质.

如图3，一电工沿着竖立的梯子LN往上爬，当他爬到中点M处时，由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，则M点的轨迹是（）

由于梯子滑行的直觉表象，我们常常会选A.而实际上，根据直角三角形“斜边中点到直角顶点距离等于斜边长的一半”，斜边长即梯子LN的长度是定值，所以M点到原点O的距离始终是梯子LN的长度的一半，其轨迹是应当是以原点O为圆心、LN2为半径的圆弧，应选C.

四、 对“数学语言的悄悄话”的“悄悄话”

以上是如何理解符号语言、文字语言和图表语言的“悄悄话”，事实上，这三种数学语言各有其优势与不足：文字语言通俗、易懂，但描述起来是线性的，不易表露知识的内在结构；符号语言抽象，但简洁、精确；图表语言直观形象，但不严谨.所以，一种数学思想内容的表达常常是数学符号语言、文字语言和图表语言的有机融合.对“数学语言的悄悄话”笔者想说的“悄悄话”就是：“要灵活转换三种数学语言，做到扬长避短，优势互补”.这一点在立体几何中得到充分的体现，如直线与平面平行的性质定理的文字语言为：

加强三种数学语言的相互转换不但有助于理解数学语言，也是提高数学语言表达与应用能力的有效途径.如符号语言“实数x，y满足x2+y2=1，求x+y-2的取值范围”，可根据其几何意义，理解为单位圆上的任意点到直线x+y-2=0距离的2倍，也可以令t=x+y-2，其中t+2是平行直线系y=-x+t+2在y轴上的截距，利用线性规划解决.这样通过符号语言与图表语言的转换沟通了代数与解析几何的联系，使问题变得简单易解.

（江苏省锡山高级中学）

摘要数学语言的理解是数学语言交流和应用的基础，针对符号语言、文字语言和图表语言三类不同的数学语言有不同的理解方法与窍门，加强三种数学语言的相互转换，不但有助于理解数学语言，

也能有效提高数学语言表达与应用能力.

关键词符号语言文字语言图表语言理解

数学语言是储存、传承和加工数学思想信息的一种工具，它是以符号表达为主的高度抽象的专业语言.数学知识与数学思想最终要通过数学语言表示出来并获得理解、掌握、交流和应用.显然数学语言的理解是基础，是前提.那么如何理解数学语言呢？数学语言有“悄悄话”要

说一说.

数学语言是一种非日常和非自然的语言，其中一部分是被规定或定义的，用来表示理想化的数学对象，数学语言一般分为符号语言、文字语言和图表语言三类.

一、 “悄悄话”之把握根本要义，适度通俗化理解文字语言

文字语言是数学化的自然语言，或者称为自然语言中的数学语言.自然语言常具有模糊性，而数学是严谨的，容不得含糊.所以，数学中的文字语言不是自然语言的简单移植或组合，而是经过一定的加工、改造、限定、精确化而形成的，并且这些语言具有数学学科特指的确定的语义，常以数学概念、术语的形式出现.数学文字语言的理解最重要的是把握其根本要义.

如对简易逻辑中“充分条件与必要条件”这一概念，我们感到比较抽象，尤其是必要条件的理解有困难.笔者在教学时设计了这样一个flash

笑话情境：一位数学家从一间办公室前走过，听到室内有两人在大声吵闹.老板p对小秘q说：“有我p在，就有你q吃香的喝辣的！”小秘q很不服气，气急败坏地说：“你的底细我可全清楚，我完蛋了，你也完蛋了！”两个人都气急败坏，互不相让，这时数学家走上前，不紧不慢地说：“你们所说的正是数学逻辑学中的充分条件与必要条件问题，

老板在是小秘吃香的喝辣的充分条件，而小秘吃香的喝辣的是老板在的必要条件.”这个小笑话在讽刺丑恶现象的同时，揭示了“充分条件与必要条件”概念的根本要义，若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.这是因为只要p成立，q就成立，p对q来说就足够了，就充分了；但是若q不成立，p就不成立，所以q对p来说是必要的.

二、 “悄悄话”之追根溯源、类比联想、调整语序、直观形象化理解符号语言

符号语言是数学中通用的、特有的简练语言，是在人类数学思维长期发展过程中形成的一种语言表达形式.符号语言的理解可以用追根溯源、类比联想、调整语序、直观形象化等方法.

首先，追根溯源，搞清符号语言是如何产生的.数学符号语言又分为三种：象形符号语言、缩写符号语言以及约定符号语言.如几何学中的符号△、⊙、∥、⊥、∠等都是原形的压缩改造，属于象形符号.缩写符号是由数学概念的西文词汇缩写或加以改造而成的符号，比如自然数

再如椭圆的离心率与椭圆形状的关系：离心率e越小椭圆越圆，e越大椭圆越扁.对此死记硬背，容易混淆搞错，把这一规律形象化就简单多了.因为椭圆离心率e∈（0，1），如图2，e越小即越靠近0，因为0比较圆满，所以椭圆越圆，e越大即越靠近1，因为1比较扁平，所以椭圆越扁.（可以把0和1写得夸张一些） 这样椭圆的离心率与椭圆的形状关系就形象地牢牢地“画”在了学生的脑子里，永远不会忘记！

三、 “悄悄话”之拨开表面迷雾，洞察问题本质理解图表语言

图表语言是指包含一定数学信息的各种图形、图象或表格，可细分为图形语言（几何图形、统计分析图、集合维恩图等）、图象语言（函数图象或统计线图等）和表格语言（统计数据表、分析表、框图等），它们是数学形象思维的载体和中介，也是数学思维的重要材料和结果，

同时还是进行抽象思维的一个重要工具.图表语言是数学的一种直观性语言，其特点是直观形象、易于理解，但是直观形象有时会表现为一种假象，理解图表语言特别要拨开表面迷雾，透过现象洞察问题的本质.

如图3，一电工沿着竖立的梯子LN往上爬，当他爬到中点M处时，由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，则M点的轨迹是（）

由于梯子滑行的直觉表象，我们常常会选A.而实际上，根据直角三角形“斜边中点到直角顶点距离等于斜边长的一半”，斜边长即梯子LN的长度是定值，所以M点到原点O的距离始终是梯子LN的长度的一半，其轨迹是应当是以原点O为圆心、LN2为半径的圆弧，应选C.

四、 对“数学语言的悄悄话”的“悄悄话”

以上是如何理解符号语言、文字语言和图表语言的“悄悄话”，事实上，这三种数学语言各有其优势与不足：文字语言通俗、易懂，但描述起来是线性的，不易表露知识的内在结构；符号语言抽象，但简洁、精确；图表语言直观形象，但不严谨.所以，一种数学思想内容的表达常常是数学符号语言、文字语言和图表语言的有机融合.对“数学语言的悄悄话”笔者想说的“悄悄话”就是：“要灵活转换三种数学语言，做到扬长避短，优势互补”.这一点在立体几何中得到充分的体现，如直线与平面平行的性质定理的文字语言为：

加强三种数学语言的相互转换不但有助于理解数学语言，也是提高数学语言表达与应用能力的有效途径.如符号语言“实数x，y满足x2+y2=1，求x+y-2的取值范围”，可根据其几何意义，理解为单位圆上的任意点到直线x+y-2=0距离的2倍，也可以令t=x+y-2，其中t+2是平行直线系y=-x+t+2在y轴上的截距，利用线性规划解决.这样通过符号语言与图表语言的转换沟通了代数与解析几何的联系，使问题变得简单易解.

（江苏省锡山高级中学）