基于小波变换和混沌映射的彩色图像加密方法

张琼　方若宇　李斌

摘 要

本文提出一种基于小波变换和混沌映射的彩色图像加密算法。首先利用3D混沌猫映射来置乱明文图像的RGB三通道的小波变换系数，然后在空域上，利用耦合映像格子模型（CML）对置乱后明文图像进行扩散。该算法充分利用了空域和频域加密的优点，增强了加密效果。仿真实验结果表示了该算法的有效性。

【关键词】图像加密 混沌 3D猫映射 耦合映像格子 小波变换

1 引言

随着互联网技术的迅速发展，多媒体信息通讯的安全性显得越来越重要。对于数字图像而言，加密无疑是一种不可替代的有效保护措施。传统的密码技术，如DES等，是针对文本数据和二进制流数据提出的，并不适用于数字图像的加密。相比之下，基于混沌的密码系统具有与传统密码技术不同的特性，如混沌系统对初值和参数的敏感性、遍历性和混合特性，使得基于混沌的密码系统非常适用于图像加密。

一般而言，设计基于混沌的数字图像加密系统有两种主流方法，一种是空域加密，另一种是变换域加密。由于空域加密速度更快，实现更简单，所以空域加密应用得更为广泛。变换域加密方法主要是利用了图像数据具有冗余和高相关性的特性。当一个变换域系数发生了改变，所有的图像像素值都会发生改变。所以变换域加密方法具有更好的加密性能。通常的加密方法都是单纯在空域或单纯在频域加密，使得加密系统不能同时抵抗空域和变换域的攻击。

本文提出一种基于小波变换和混沌映射的彩色图像加密算法。首先利用改进的3D混沌猫映射来置乱明文图像的RGB三通道的小波变换系数，然后在空域上，利用耦合映像格子模型（coupled map lattices， CML）对置乱后明文图像进行扩散。本文算法采用在变换域置乱和空域扩散双重加密，弥补了单纯空域加密或单纯变换域加密的弱点，大大增强了加密强度。算法中可通过选用小波的分解层数和迭代次数来控制算法的复杂度与加密强度，使得该算法可以很好地适用不同的应用场合。

2 基于小波变换和混沌映射的彩色图像加密方法

2.1 三维混沌猫映射

[9]中提出2D混沌猫映射可以扩展3D，而且证明了扩展后的3D混沌猫映射仍然是1-1映射，保体积性，而且是可逆的，如式（1）所示：

（1）

其中

当应用于数字图像加密时，3D猫映射需要按下式来进行离散化：

（2）

式中M为3D猫映射的相空间。式（2）的离散化应当满足下面的渐近性质：

（3）

其中Cd（i，j，k）和C（i，j，k）表示式（1）和式（2）所表示的连续映射和离散映射。

2.2 基于小波变换的置乱过程

彩色明文图像首先分解为RGB三通道。分解后的每一个通道的数据矩阵大小与与明文图像相同，像素值的大小为0～255之间。为了降低三个通道之间的相关性，本文算法将各通道数据进行小波变换，小波函数选用的是db3小波。然后对各通道的2D小波系数矩阵变换3D，然后利用式（2）对3D小波系数矩阵进行置乱处理。

2.3 扩散过程

扩散机制对于一个好的加密系统而言是非常重要的。扩散机制使得离散混沌映射变得不可逆，而且扩散过程掩盖了原来明文图像的统计特性，使得攻击者无法通过分析明文和密文的统计特性来获取有用信息。

耦合映像格子CML具有优良的时空混沌特性，而且容易数值处理，因此在数字图像的加密领域得到广泛的研究。从扩散的角度来看，CML模型可以将一个格子的非常细小变化扩散到另一个格子中，这样可以使得其它的格子发生明显的变化。因此结合CML的扩散过程可以提高加密系统的初值敏感性，这正是加密中扩散机制所需要的特性。

本文算法的扩散过程设计如下：

（4）

其中d-1是f（·）的初始条件，It表示混沌序列输出值的序号，mk表示置乱后的图像第kth 像素值，dk表示扩散后的图像第kth 像素值，L表示像素值的范围。g（·）表示下式表示的量化过程：

g（X，L）=2L·X （5）

其中X=0x0x1…xi…xL表示一个二进制小数。

y（·）表示混沌CML映射，它的定义如下：

（6）

其中i （i=2，…L）表示格子的序号，yn 满足-1≤yn≤1。n表示离散时间步长。ε表示耦合系数，在这里取ε=0.9。边界满足yn（L+1）=yn（1），其中L 表示格子的大小，f（x）为logistic 函数，如下式所示：

f（x）=1-αx2 （7）

在本文算法中，式（7）中的参数a=1.948，L=2。

相应的解扩过程如下式所示：

（8）

2.4算法具体步骤

（1）步骤1：将彩色明文图像转换成RGB三通道数据，并进行小波变换；

（2）步骤2：将步骤1得到2D的小波系数矩阵按下式转换成3D矩阵：

（9）

其中假设变换前的2D矩阵大小为W×H，N1，N2，…，Nk为转换后3D立方体的边长，NR为剩下的像素。

（3）步骤3： 利用3D混沌猫映射对步骤2得到的3D矩阵进行置乱，然后进行小波逆变换。

（4）步骤4：进行扩散过程。

解密的过程与加密过程相类似，只是步骤3和 4需要执行其反操作。

3 实验结果

在仿真实验中，我们采用彩色lena图像作为明文图像，大小为256 ×256 ，如图2（a）所示。小波变换采用db3小波。置乱过程的3D立方体大小为83。密钥产生函数：

，（i=1，2，3，…15） （10）

其中 t 为迭代次数，每一次迭代过程采用相同的密钥， （i=1，2，3，…15） 表示加密过程所有需要的初始值，包括置乱过程中的ax， ay， az， bx， by， bz， rx， ry， rz 和扩散过程中对应RGB三通道所需要 和It，共15个初始值。endprint

3.1 加密结果

图2（b）为用密钥'123456789*ab2cdef'加密的结果，可以看到加密后的图像变得完全不可识别。图2（c）为用正确密钥'123456789*ab2cdef'得到正确解密的结果，图2（d）为用错误密钥'123456789*ab2cdee'解密后得到的错误结果。

3.2 统计特性分析

图2和图3分别是明文图像和密文图像的直方图。我们可以看到加密后的图像的三个通道均得到非常均匀的直方图，具有良好的统计特性，可以抵抗统计分析攻击。

4 结论

本文提出了一种针对彩色图像的加密算法。该算法利用小波变换和3D混沌猫映射对图像进行小波域内的置乱，然后再结合CML构建扩散机制。仿真实验结果表示了该算法非常适用于彩色图像的加密。

参考文献

[1]Ljupco Kocarev，Shiguo Lian.Chaos-Based Cryptography：Theory，Algorithms and Applications.Springer.1st Edition，2011.

[2]X.Y.Wang，T.Lin，Q.Xue.A novel colour image encryption algorithm based on chaos.Signal Processing.2012. 92（4）：1101-1108.

[3]彭玉楼，何怡刚.基于小波和混沌映射的函数水印算法[J].仪器仪表学报，2010，31（12）：2768-2773.

[4]N.R Zhou，Y.X Wang，and et al. Novel single-channel color image encryption algorithm based on chaos and fractional Fourier transform.Optics Communications.2011.12（284）：2789-2796.

[5]卢辉斌，王丽佳.基于Hopfield网络的彩色图像混沌加密算法[J].吉林大学学报（信息科学版）[J].2014，32（2）：131-137.

[6]郑继明，高文正.彩色图像的混沌加密算法[J].计算机工程与设计，2011，32（9）：2934-2937.

[7]杨自恒，王强，李博，丁群.基于混沌加密的小波域数字图像水印算法[J].电子测量技术，2009，32（2）：131-135.

[8]Chong Fu，Jun-jie Chen，Hao Zou，Wei-hong Meng， Yong-feng Zhan，Ya-wen Yu.A chaos-based digital image encryption scheme with an improved diffusion strategy.2012，20（3）：2363-78.

[9]G.R.Chen，Y.B.Mao，and C.K.Chui.A symmetric image encryption scheme based on 3d chaotic cat maps.Chaos，Solitons and Fractals，2004，12：749-761.

[10]Wang Xing-Yuan，Bao Xue-Mei.A novel image block cryptosystem based on a spatiotemporal chaotic system and a chaotic neural network. Chinese Phys.B.2013，22（5）：050508-1-9.

作者单位

1.汕头大学工学院 广东省汕头市 515063

2.汕头超声仪器研究所有限公司 广东省汕头市 515041endprint

3.1 加密结果

图2（b）为用密钥'123456789*ab2cdef'加密的结果，可以看到加密后的图像变得完全不可识别。图2（c）为用正确密钥'123456789*ab2cdef'得到正确解密的结果，图2（d）为用错误密钥'123456789*ab2cdee'解密后得到的错误结果。

3.2 统计特性分析

图2和图3分别是明文图像和密文图像的直方图。我们可以看到加密后的图像的三个通道均得到非常均匀的直方图，具有良好的统计特性，可以抵抗统计分析攻击。

4 结论

本文提出了一种针对彩色图像的加密算法。该算法利用小波变换和3D混沌猫映射对图像进行小波域内的置乱，然后再结合CML构建扩散机制。仿真实验结果表示了该算法非常适用于彩色图像的加密。

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[8]Chong Fu，Jun-jie Chen，Hao Zou，Wei-hong Meng， Yong-feng Zhan，Ya-wen Yu.A chaos-based digital image encryption scheme with an improved diffusion strategy.2012，20（3）：2363-78.

[9]G.R.Chen，Y.B.Mao，and C.K.Chui.A symmetric image encryption scheme based on 3d chaotic cat maps.Chaos，Solitons and Fractals，2004，12：749-761.

[10]Wang Xing-Yuan，Bao Xue-Mei.A novel image block cryptosystem based on a spatiotemporal chaotic system and a chaotic neural network. Chinese Phys.B.2013，22（5）：050508-1-9.

作者单位

1.汕头大学工学院 广东省汕头市 515063

2.汕头超声仪器研究所有限公司 广东省汕头市 515041endprint

3.1 加密结果

图2（b）为用密钥'123456789*ab2cdef'加密的结果，可以看到加密后的图像变得完全不可识别。图2（c）为用正确密钥'123456789*ab2cdef'得到正确解密的结果，图2（d）为用错误密钥'123456789*ab2cdee'解密后得到的错误结果。

3.2 统计特性分析

图2和图3分别是明文图像和密文图像的直方图。我们可以看到加密后的图像的三个通道均得到非常均匀的直方图，具有良好的统计特性，可以抵抗统计分析攻击。

4 结论

本文提出了一种针对彩色图像的加密算法。该算法利用小波变换和3D混沌猫映射对图像进行小波域内的置乱，然后再结合CML构建扩散机制。仿真实验结果表示了该算法非常适用于彩色图像的加密。

参考文献

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[5]卢辉斌，王丽佳.基于Hopfield网络的彩色图像混沌加密算法[J].吉林大学学报（信息科学版）[J].2014，32（2）：131-137.

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[7]杨自恒，王强，李博，丁群.基于混沌加密的小波域数字图像水印算法[J].电子测量技术，2009，32（2）：131-135.

[8]Chong Fu，Jun-jie Chen，Hao Zou，Wei-hong Meng， Yong-feng Zhan，Ya-wen Yu.A chaos-based digital image encryption scheme with an improved diffusion strategy.2012，20（3）：2363-78.

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[10]Wang Xing-Yuan，Bao Xue-Mei.A novel image block cryptosystem based on a spatiotemporal chaotic system and a chaotic neural network. Chinese Phys.B.2013，22（5）：050508-1-9.

作者单位

1.汕头大学工学院 广东省汕头市 515063

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