对偶原理在电路教学中的应用

毛先柏 刘素凯 赖旭芝

【摘要】本文分析了电路中所存在的对偶现象，阐述了对偶原理在电路分析时的应用，探讨了对偶原理及其在电路课程教学中及早建立对偶概念的必要性，根据电路理论中对偶原理，并运用心理学的观点，闲述了对偶原理在电路教学中的重要作用及应用时的关键点。

【关键词】对偶性原理；对偶元素；电路教学

1.引言

对偶，是客观世界中存在的一种特殊规律，其实质是指客观世界中两类变量的性质和地位完全一致。若对某一变量的定理成立，应用对偶原理，其对偶元素的对偶定理也成立。对偶性原理是认识事物和解决问题的一种简捷方便且行之有效的分析方法。几乎所有的学科领域都会涉及到对偶性原理的研究和运用，电路也一样，许多电路变量、电路元件、电路定律、定理及计算方法等都存在着明显的对偶关系。在电路的教学过程中，及时给学生建立对偶的概念并引导他们正确运用对偶原理，将能有效提高该课程的教学效率。

2.电路对偶特性的反映形式

电路中存在着“两类约束”。每一元件上电压电流之间的关系由元件的伏安关系式来描述，它与元件自身特性有关，称为“元件约束”；在电路中，由于各元件间的相互联接，必然又导致各元件的电流之间及电压之间存在一定的“约束”关系，这类约束关系称之为“拓扑约束”或“结构约束”，表示这类约束关系的是基尔霍夫定律，它包括基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。电路中的许多变量、元件、结构及定律都是成对出现的，并且存在相类似的一一对应的特性。这种特性就称为电路的对偶性。电路的对偶性，存在于电路变量、电路元件、电路定律、电路结构和电路方程之间的一一对应中。

1）电路元件对偶：电阻R—电导G；电感L—电容C；理想电压源—理想电流源；实际电压源—实际电流源等；

2）电路结构对偶：串联与并联；开路与短路；回路与结点等；

3）电路定律对偶：电路定律是基于电路元件及结构的。前两者的对偶，必然导致电路定律的对偶。例如欧姆定律：电阻R：u=Ri——电导G：i=Gu；基尔霍夫定律：针对回路的KVL定律（ΣU=0）——针对结点的KCL定律（Σ I=0）；

4）电路方程式对偶：由于电路结构及电路定律的对偶，必然导致电路方程式的对偶，从而方程的解必然对偶；

5）电路分析方法对偶：例如无源二端网络中，电阻串联与电导并联的计算方法对偶；电源的连接中，电压源串联与电流源并联的计算方法对偶；回路电流法与结点电压法的计算方法对偶等；

6）电路定理对偶：例如互易定理中电压源与电流源互易位置对偶；等效电源定理中实际电压源模型与实际电流源模型对偶；戴维宁定理与诺顿定理对偶等。

电路中存在着一系列的对偶关系，且是互为因果的，即对任何电路元件进行两次对偶变换便得到原来的元件，其他各种对偶关系也是如此。此外，电路的对偶特性及对偶方法只能用于平面电路，对非平面电路不适用；对偶电路仅仅相互对偶，但彼此之间并不等效，但是两个等效电路的对偶电路彼此也是等效的；当电路与其对偶的电路具有相同的线状图时，这种对偶称为自对偶。

3.对偶在电路教学实践中的应用

在电路教材中，对偶原理一般都是放在直流电阻电路的最后才提出的。其实，在之对偶现象已比比皆是，若在教學过程中尽早引导学生理解并掌握这一原理，将会增强课堂信息量，提高教学效率，提高学生的学习积极性和对电路探究的兴趣；同时，还能吸引学生自觉探索课程内容之间存在的联系。因此，在电路教学中让学生及早建立对偶的概念并引导他们正确运用对偶关系至关重要。

（1）对偶概念的建立

电路课程的开始，复习了电压、电流这两个基本变量；教学中可基于这两个基本变量引入对偶的概念，指明电流、电压是一对对偶变量，使得学生有一个初步的印象；紧接着，在介绍基尔霍夫定律的时候，给出结点——网孔、网孔电流——结点电压为对偶元素，同时指出KCL、KVL亦是一对对偶的定律；介绍电路连接时，指明串联——并联是一对对偶的连接方式，给出对偶的概念并分析其特点，进行总结。至此，学生脑中已意识到电路的基本变量和基本定律都是对偶的，基本建立了对偶的概念。

（2）对偶概念的应用

及早建立起来的对偶的概念将会给后面的教学带来很多益处。例如，在电路课程中，节点电压法和网孔电流法是一对对偶的分析法方法，其中节点——网孔、节点电压——网孔电流、KCL方程——KVL方程等都是对偶的元素。在讲课时，先介绍了网孔电流法，再讲节点电压法，推导其节点电压方程通式时，只讲清推导思路，指出将支路电流用节点电压表示后带入KCL方程，整理后即可得到与网孔电流方程相对偶的一组节点电压方程。经此一点，学生必恍然大悟，较好的理解该方程建立的本质。

在电路课程中，戴维宁定理——诺顿定理、动态电路部分的RC串联电路——GL并联电路、RLC串联电路——GCL并联电路、正弦交流电路部分的串联谐振-并联谐振等内容均呈对偶关系。因此，在对偶的概念建立起之后，授课时即可运用这种对偶关系促进教学。

（3）对偶概念的借鉴

电路中有些内容严格意义上说并不具有对偶性质，但也可以借鉴对偶的思想，按照对偶的性质方法来记忆，更容易将知识记牢固。例如三相电路中星形负载与三角形负载连接时相电压与线电压、相电流与线电流的关系：

星形负载连接：

三角形负载连接：

上述表达式中，可将两组公式看成对偶公式，每组公式中，可讲电压和电流又看成对偶量，加深记忆。

4.几点运用对偶原理的体会

（1）利用对偶原理可增强知识的记忆

电路作为一门技术基础课，其目的就是让学员理解并记住电路的基本概念、基本原理，学会运用它们分析具体的电路，通过对具体电路的分析，掌握不同类型电路的工作特点及其分析方法。在教学中，充分运用电路的对偶关系，将会使学员对基本概念、基本原理、基本分析方法及电路工作特点理解的更加深刻、记忆更加牢固

（2）利用对偶原理可促进知识的正向迁移

学习的迁移是指一种学习对另一种学习的影响。凡是一种学习对另一种学习起促进作用的，都是正向迁移，而一种学习对另一种学习起干扰或阻碍作用的，则是负向迁移。

对偶关系，由于二者之间的相似性，在教与学的过程中可以形成学习的迁徙。在电路课程教学中，应充分利用这种迁移效果来促进教学，但由于具体电路的工作条件及我们分析电路的习惯等因素的作用，使得电路中对偶的一些关系的表现形式也略有不同；由于思维定式的影响，对偶关系之间亦会产生负向迁移效果。作为教员，应及时准确的引导学员避免负向迁移，恰当的利用已有的知识，促进知识的正向迁移。

（3）利用对偶原理可以促进知识的融会贯通

随着教学的进行，不同分析域之间的对偶性也日渐增强，作为老师，此时及时引导学生注意这种对偶关系的总结，最后得出结论：无论时域、频域、复频域，电路的工作都是受到基尔霍夫定律和元器件伏安关系所约束的，这是电路理论的根本所在。至此，学生对电路理论的认识有了质的飞跃，真正抓住了电路理论的实质。

在电路课程教学中，要随时注意发掘并指明对偶现象和对偶规律，利用对偶启发学生作对比分析，启发学生积极思考，帮助学生深入的掌握教学内容，一箭双雕，触类旁通。

5.结束语

综上所述，在电路教学中利用对偶原理，可以使得电路的分析方法变的简单，因为我们掌握了一些电路的分析方法之后，就可以根据对偶原理直接得出另外一些与之对应的电路的分析方法。这对于电路课程的掌握、理解、记忆都将提供很大的方便，也使得对电路的学习变得更为灵活。

参考文献

[1]邱关源.电路（第四版）[M].高等教育出版社，1999.

[2]周守昌.电路原理（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1998.

[3]张景莹.大学心理学[M].清华大学出版社，1986.

[4]R.E.斯科特[美]郑翔等译.线性电路[M].高等教育出版社，1965.