能力谱法在钢框架结构抗震性能评估中的应用

张宇亮

摘 要：本文基于能力谱法，结合我国地震烈度设防规定给出了适合我国地震烈度设防的计算步骤，并结合sap2000有限元程序利用能力谱法对一个9层钢抗弯框架结构的抗震性能进行了评估，表明能力谱法是结构抗震性能评估的有效方法。

关键词：静力弹塑性分析，能力谱法，需求谱

Application of Capacity Spetrum Methods for Estimating Seismic Performance of Steel Frame Structure

Na Yang1， Fan Bai1

（1.School of Civil Engineering， Beijing Jiaotong University， Beijing 100124， China）

Abstract：： This paper elaborates the basic principal and method of capacity spetrum method.Its main calculation procedures for China seismic design are summarized. It also make a evaluation to the seismic performance of a 9-story steel frame structure by the finite element program sap2000. By this case， we can know the Capacity-Demand-Diagram method is an efficient way to estimate the structure.

Key words：Nonlinear Static Procedure；Capacity-Demand-Diagram Methods； Demand Diagram

能力谱法是静力弹塑性抗震设计方法中应用比较普遍的一种方法。1975年由Freeman[1]提出，1987年由Fajfa[2]以N2法的形式发表，到1996年被美国ATC-40[3]规范采用，也是日本建筑基准法BSL2000采用的方法[4]，到2005年，美国应急管理署FEMA440[5]对能力谱法做了完善的改进后，被美国联邦公路协会采用在桥梁抗震设计规范中。

本文利用能力谱法对美国钢结构SAC工程中设计建造的9层钢抗弯框架结构标准模型[6]，在中国地震烈度设防水准下的抗震性能进行了分析。

1 能力谱法

1.1 基本假定

能力谱法基于以下两个基本假定[7]：

（1）、实际结构的地震反应与某一等效单自由度体系的反应相关，也就是结构的地震相应仅由第一振型控制；

（2）、在地震过程中，不论结构变形大小，分析所假定的结构沿高度方向的形状向量都保持不变。

1.2 基本原理

基于以上两个假定，能力谱法将多自由度体系转化为非弹性的等效单自由度体系，将原结构体系通过静力推覆得到的基地剪力-顶点位移曲线转化为等效单自由度体系的谱位移-谱加速度格式的能力谱，并且按照此非线性单自由度体系的阻尼比对设计规范反应谱进行折减，得到针对该等效单自由度体系在给定地震水准下的弹塑性反应谱，并转化为谱位移-谱加速度格式，将能力谱和需求谱结合在一起，求出在给定地震作用下，等效单自由度体系的性能点，通过性能点反推到多自由度体系结构中的顶点和基底剪力，再根据基本假定，求出原结构各层的层间位移，屈服机制等结构性能，来评估原结构是否满足在指定地震水准下的性能目标。

2 能力谱法的技术路线

2.1能力谱的建立

能力谱：对结构模型施加逐步施加某种形式的水平荷载，进行静力推覆分析，得到结构的顶点位移和基底剪力的关系曲线，这一关系曲线反应了结构抵抗侧移的能力，描述了结构力-非弹性变形的行为，将其转化为结构等效单自由度体系的谱加速度-谱位移关系曲线，即为结构的能力谱曲线。

2.1.1 侧向荷载的施加模式

结构静力推腹时，侧向力的施加方式：

一般地將侧向荷载定义为下面一个或多个的比例组合：（1）、自定义的静荷载工况或组合，比如定义均匀或倒三角形分布的静力荷载工况，然后使用此静力荷载工况作为侧向荷载的分布；（2）、加速度荷载，作用于任意的整体X、Y、Z方向的均匀加速度。在每一节点的力与分配给节点的质量成比例，且作用在指定的方向。（3）、振型荷载，选取任意一个振型，在每一节点的力与振型位移，振型角频率平方及分配给节点的质量成比例。力作用于振型位移方向。通常情况下，加速度荷载相当于均匀分布侧向荷载，振型荷载相当于倒三角形分布侧向荷载。

2.1.2 建立pushover曲线

按照上述侧向力施加模式对多自由度结构进行静力推覆，得到原结构体系的顶点位移-基底剪力的曲线。

图1 Pushover曲线[9]

Fig.1 Pushover Curve [9]

图中Vb 为基底剪力，UN 为顶点位移。

2.1.3 建立等效单自由度体系能力谱

在得到原结构体系的顶点位移-基地剪力曲线后，按照下述公式建立等效单自由度体系的能力谱曲线。

（2.1-1）

（2.1-2）

式中 Sa —谱加速度

Sd —谱位移

M1 —第一阶振型的有效模态质量

（2.1-3）

Γ1 —第一阶振型的振型参与系数

（2.1-4）

ΦN1—第一阶振型顶点的振幅

Φj1 —第一阶振型在第j层的振幅

图2 能力谱曲线的建立[8]

Fig.2 Capacity Diagram [8]

2.2 需求谱的建立

结构抗震性能需求谱是在给定地震作用下，不同周期结构的承载力和位移响应的需求值。对于弹性系统，弹性谱加速度需求可以采用常用的地震弹性反应谱或设计用弹性反应谱得到，弹性反应谱Sd与弹性谱加速度Sa可以采用下式相互转换 （2.2-1）

图3 需求谱曲线的转换[8]

Fig.3 Demand diagram[8]

结构进入塑性后的抗震性能评价需要能够反映结构弹塑性地震响应的弹塑性需求谱。

建立地震弹塑性需求谱有两种方法：

（1）通过对某一场地的地震动记录直接计算等效单自由度结构的弹塑性谱加速度和谱位移值。该方法需要某一场地的大量地震动记录，并需要能反映结构弹塑性特征的滞回模型，故而使用不多。

（2）通过将结构的弹塑性耗能等效为阻尼耗能后，采用等效阻尼折减线弹性反应谱。

现在抗震设计中，大多采用第二种方法，将其能力谱曲线按照能量相等的原理，近似为一个双线型弹塑性结构在往复受力滞回中保持稳定，那么它在一个往复周期里的弹塑性好能为ED。如果有一个弹性单自由度体系，它的刚度和弹塑性结构的割线刚度Keq相同，它一个周期振动的阻尼耗能和弹塑性体系一个往复阻尼耗能ED相同，那么由下图可以得到等效阻尼比为

（2.2-2）

图4 等效双线性能力谱线

Fig.4 Equivalent bilinear capacity spetrum

图中，α为屈服后切线刚度与初始刚度的壁纸，即屈服后刚度系数；Ke为弹性刚度，Keq为割线刚度，Sdy为屈服谱位移，Sdu为最谱大位移，μ为延性系数；ED为弹塑性滞回耗能；ES为最大应变能。

计算上述双线型能力谱线时，等效阻尼比ξeq并非是弹塑性结构的全部阻尼，只是根据结构自身弹塑性滞回耗能等效出来的阻尼比，结构系统本身还有初始的阻尼比，需要将这两部分的阻尼比叠加得到结构的阻尼等效阻尼比。考虑到将结构非弹性变形性能转化为与速度有关的等效阻尼可能带来的误差，以及弹塑性结构指挥模型的差异，ATC-40[2]中通过等效阻尼调整系数κ进行修正后直接与结构的初始阻尼比ξn相加得到弹塑性结构的综合等效阻尼比

（2.2-3）

等效阻尼调整系数κ取值如下图所示

图5 等效双线性能力谱线

Fig.5 Variation of damping modification

factor with equivalent viscous damping

其中，TpyeA为完全理想弹塑性滞回模型；TypeC为刚度和强度退化现象明显且既有捏拢现象的弹塑性滞回模型；TypeB为介于两者之间的弹塑性滞回模型。

2.3 在设防水准下性能点的求取

性能点的求取是一个迭代的过程，迭代步骤如下：

（1）、将结构推腹能力谱曲线转化为二折线的能力谱曲线，并确定能力谱曲线上相应的初始尝试点（Sai，Sdi）；

（2）、計算等效高阻尼弹性单自由体系的周期Teq和阻尼比ξeq。

（3）、根据地面运动记录或者规范反应谱，计算对应于等效阻尼比ξeq的等效单自由度结构的弹性反应谱，得到对应于周期Teq的单自由度体系谱加速度和谱位移需求（Sdeq Saeq），

（4）、如果初始尝试点（Sai，Sdi）和（Sdeq Saeq）相同，或者相差在一定精度范围内满足要求，则说明等效弹性自由度体系参数合适，否则，需要调整（Sai，Sdi），重复（2）、（3）步直至（Sai，Sdi）和（Sdeq Saeq）相同，此时该点即为结构抗震性能的特征反应点，可以分析对应于该点结构的损伤和破坏情况。

3 计算实例

3.1 结构描述

本文选用依照美国加利福尼亚规范为SAC工程设计的9层钢结构，该结构结构主要依靠周边的钢抗弯框架结构抵抗地震作用，所以本文只对承受主要地震作用的一榀钢抗弯框架进行分析。

本抗弯框架结构宽45.73m，高37.19m，共有5跨，每跨跨距为9.15m。该结构有一个地下室，高度为3.65m，地上首层高度为5.49m，其余为标准层，高度为3.96m。框架梁采用强度为248Mpa的宽翼缘钢，框架柱采用强度为345Mpa的宽翼缘钢，柱转换节点分别在第二、四、六、八层，高于梁柱节点1.83m处，柱底铰接于地面上，周边土层限制着结构。结构的地震质量由钢框架结构的构件，楼板，设备层等构成，结构第一层分担的地震质量为5.05×105 kg，第二到八层的质量为4.945×105 kg，第九层的质量为5.35×105 kg，地面以上结构的质量为4.5×106 kg.。

图7 9层钢抗弯框架结构图

Fig.7 Nine-story benchmark building moment-resistant frame

为分析此框架结构抗震性能，本结构按照GB50011-2010建筑抗震设计规范中规定的抗震设防标准进行设防，设防地震烈度为8度（0.2g），设计地震分组为第二组，II类场地，框架抗震等级为三级，场地地震周期在多遇地震下为0.4s，在罕遇地震下为0.45s，考虑几何非线性P-△效应影响。

本算例FEMA356报告中对钢梁钢柱塑性铰模型的定义，对梁单元，在梁的两端施加仅考虑弯矩屈服的塑性铰（M3），将塑性铰赋予梁的两端，对柱单元，考虑由轴力和双向弯矩相关作用产生的的塑性铰（PMM），将塑性铰赋予柱的两端。

2.2 有限元模型驗证

利用有限元软件sap2000建立9层钢框架结构的模型，并对模型进行模态分析，采用集中质量法，将每层的质量施加到对应的每层梁柱接点上，并考虑梁柱质量折减后得到结果前三阶频率，与美国ASCE结构控制委员会用MATLAB仿真计算的结果进行比较，计算结果误差在5%以内，验证了模型的正确性。

2.3 pushover分析结果

对结构采用振型荷载，均布荷载，施加方式施加侧向力，得到相应的pushover曲线，并利用上文所述的性能点求解方法，确定出在结构在8度多遇地震以及8度罕遇地震下的性能点，并得出在性能点状态下各层层间相对位移曲线，以及层间位移角，与GB5002-2010建筑设计规范中规范条文进行比较。

对上述结构进行八度罕遇地震水准进行计算。

在罕遇地震时，结构阻尼比取为0.05.

3 结论

1）本结构能满足在8度多遇地震下弹性变形，8度罕遇地震下弹塑性变形。

2）作为一种重要的静力弹塑性分析方法，能力谱法能够有效评估结构在给定地震水准下的结构性能。

参考文献：

[1] S. A. Freeman， J.P. Nicoletti and J.V. Tyrell， Evaluations of existing buildings for seismic risk- A case study of Puget

Sound Naval Shipyard， Bremerton， Washington， Proc. 1st ；.S. National Conf. Earthquake Engng.， EERI， Berkeley，1975.

[2]Fajfar， P.， Fischinger， M. Non-linear seismic analysis of RC buildings： Implications of a case study[J]. European Earthquake Engineering， Vol. 1， pp. 31-43， 1987.

[3] ATC 40， Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete buildings， [R]Vol.1， Applied Technology Council， Redwood City， CA，1996

[4]BSL2000，Building Standard Law，2000[S]

[5]FEMA 440，Improvement of Static Nonlinear Analysis Procedures[R]， Federal Emergency Management Agency， Washington， DC.2005

[6]Ohtori， Y.， Christenson， R. E.， Spencer， B. F.， Jr.， and Dyke， S. J. Benchmark control problems for seismically excited nonlinear buildings[J]， Notre Dame University， Indiana， 2000

[7]Helmut Krawinkler， Pros and cons of a pushover analysis of seismic performance evaluation， [J]. Engineering Structured，1988

[8] FEMA 356，Prestantard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings[R]，Federal Emergency Management Agency，Washington，D.C. 2000

[9]Chopra A K， Goel R K， Capacity-Demand-Diagram methods for estimating seismic deformation of inelastic structures： SDF Systems[R]， Reprot No. PEER-1999/02， Pacific Earthquake Engeering Research Center， University of Califonia， Berkely，1999

张宇亮

【摘要】本文基于能力谱法，结合我国地震烈度设防规定给出了适合我国地震烈度设防的计算步骤，并结合sap2000有限元程序利用能力谱法对一个9层钢抗弯框架结构的抗震性能进行了评估，表明能力谱法是结构抗震性能评估的有效方法。

【关键词】静力弹塑性分析，能力谱法，需求谱

能力谱法是静力弹塑性抗震设计方法中应用比较普遍的一种方法。1975年由Freeman[1]提出，1987年由Fajfa[2]以N2法的形式发表，到1996年被美国ATC-40[3]规范采用，也是日本建筑基准法BSL2000采用的方法[4]，到2005年，美国应急管理署FEMA440[5]对能力谱法做了完善的改进后，被美国联邦公路协会采用在桥梁抗震设计规范中。

本文利用能力谱法对美国钢结构SAC工程中设计建造的9层钢抗弯框架结构标准模型[6]，在中国地震烈度设防水准下的抗震性能进行了分析。

1 能力谱法

1.1 基本假定

能力谱法基于以下两个基本假定[7]：

（1）、实际结构的地震反应与某一等效单自由度体系的反应相关，也就是结构的地震相应仅由第一振型控制；

（2）、在地震过程中，不论结构变形大小，分析所假定的结构沿高度方向的形状向量都保持不变。

1.2 基本原理

基于以上两个假定，能力谱法将多自由度体系转化为非弹性的等效单自由度体系，将原结构体系通过静力推覆得到的基地剪力-顶点位移曲线转化为等效单自由度体系的谱位移-谱加速度格式的能力谱，并且按照此非线性单自由度体系的阻尼比对设计规范反应谱进行折减，得到针对该等效单自由度体系在给定地震水准下的弹塑性反应谱，并转化为谱位移-谱加速度格式，将能力谱和需求谱结合在一起，求出在给定地震作用下，等效单自由度体系的性能点，通过性能点反推到多自由度體系结构中的顶点和基底剪力，再根据基本假定，求出原结构各层的层间位移，屈服机制等结构性能，来评估原结构是否满足在指定地震水准下的性能目标。

2 能力谱法的技术路线

2.1能力谱的建立

能力谱：对结构模型施加逐步施加某种形式的水平荷载，进行静力推覆分析，得到结构的顶点位移和基底剪力的关系曲线，这一关系曲线反应了结构抵抗侧移的能力，描述了结构力-非弹性变形的行为，将其转化为结构等效单自由度体系的谱加速度-谱位移关系曲线，即为结构的能力谱曲线。

2.1.1 侧向荷载的施加模式

结构静力推腹时，侧向力的施加方式：

一般地将侧向荷载定义为下面一个或多个的比例组合：（1）、自定义的静荷载工况或组合，比如定义均匀或倒三角形分布的静力荷载工况，然后使用此静力荷载工况作为侧向荷载的分布；（2）、加速度荷载，作用于任意的整体X、Y、Z方向的均匀加速度。在每一节点的力与分配给节点的质量成比例，且作用在指定的方向。（3）、振型荷载，选取任意一个振型，在每一节点的力与振型位移，振型角频率平方及分配给节点的质量成比例。力作用于振型位移方向。通常情况下，加速度荷载相当于均匀分布侧向荷载，振型荷载相当于倒三角形分布侧向荷载。

2.1.2 建立pushover曲线

按照上述侧向力施加模式对多自由度结构进行静力推覆，得到原结构体系的顶点位移-基底剪力的曲线。

图1 Pushover曲线[9]

Fig.1 Pushover Curve [9]

图中Vb 为基底剪力，UN 为顶点位移。

2.1.3 建立等效单自由度体系能力谱

在得到原结构体系的顶点位移-基地剪力曲线后，按照下述公式建立等效单自由度体系的能力谱曲线。

（2.1-1）

（2.1-2）

式中 Sa —谱加速度

Sd —谱位移

M1 —第一阶振型的有效模态质量

（2.1-3）

Γ1 —第一阶振型的振型参与系数

（2.1-4）

ΦN1—第一阶振型顶点的振幅

Φj1 —第一阶振型在第j层的振幅

图2 能力谱曲线的建立[8]

Fig.2 Capacity Diagram [8]

2.2 需求谱的建立

结构抗震性能需求谱是在给定地震作用下，不同周期结构的承载力和位移响应的需求值。对于弹性系统，弹性谱加速度需求可以采用常用的地震弹性反应谱或设计用弹性反应谱得到，弹性反应谱Sd与弹性谱加速度Sa可以采用下式相互转换 （2.2-1）

图3 需求谱曲线的转换[8]

Fig.3 Demand diagram[8]

结构进入塑性后的抗震性能评价需要能够反映结构弹塑性地震响应的弹塑性需求谱。

建立地震弹塑性需求谱有两种方法：

（1）通过对某一场地的地震动记录直接计算等效单自由度结构的弹塑性谱加速度和谱位移值。该方法需要某一场地的大量地震动记录，并需要能反映结构弹塑性特征的滞回模型，故而使用不多。

（2）通过将结构的弹塑性耗能等效为阻尼耗能后，采用等效阻尼折减线弹性反应谱。

现在抗震设计中，大多采用第二种方法，将其能力谱曲线按照能量相等的原理，近似为一个双线型弹塑性结构在往复受力滞回中保持稳定，那么它在一个往复周期里的弹塑性好能为ED。如果有一个弹性单自由度体系，它的刚度和弹塑性结构的割线刚度Keq相同，它一个周期振动的阻尼耗能和弹塑性体系一个往复阻尼耗能ED相同，那么由下图可以得到等效阻尼比为

（2.2-2）

图4 等效双线性能力谱线

Fig.4 Equivalent bilinear capacity spetrum

图中，α为屈服后切线刚度与初始刚度的壁纸，即屈服后刚度系数；Ke为弹性刚度，Keq为割线刚度，Sdy为屈服谱位移，Sdu为最谱大位移，μ为延性系数；ED为弹塑性滞回耗能；ES为最大应变能。

计算上述双线型能力谱线时，等效阻尼比ξeq并非是弹塑性结构的全部阻尼，只是根据结构自身弹塑性滞回耗能等效出来的阻尼比，结构系统本身还有初始的阻尼比，需要将这两部分的阻尼比叠加得到结构的阻尼等效阻尼比。考虑到将结构非弹性变形性能转化为与速度有关的等效阻尼可能带来的误差，以及弹塑性结构指挥模型的差异，ATC-40[2]中通过等效阻尼调整系数κ进行修正后直接与结构的初始阻尼比ξn相加得到弹塑性结构的综合等效阻尼比

（2.2-3）

等效阻尼调整系数κ取值如下图所示

图5 等效双线性能力谱线

Fig.5 Variation of damping modification

factor with equivalent viscous damping

其中，TpyeA为完全理想弹塑性滞回模型；TypeC为刚度和强度退化现象明显且既有捏拢现象的弹塑性滞回模型；TypeB为介于两者之间的弹塑性滞回模型。

2.3 在设防水准下性能点的求取

性能点的求取是一个迭代的过程，迭代步骤如下：

（1）、将结构推腹能力谱曲线转化为二折线的能力谱曲线，并确定能力谱曲线上相应的初始尝试点（Sai，Sdi）；

（2）、计算等效高阻尼弹性单自由体系的周期Teq和阻尼比ξeq。

（3）、根据地面运动记录或者规范反应谱，计算对应于等效阻尼比ξeq的等效单自由度结构的弹性反应谱，得到对应于周期Teq的单自由度体系谱加速度和谱位移需求（Sdeq Saeq），

（4）、如果初始尝试点（Sai，Sdi）和（Sdeq Saeq）相同，或者相差在一定精度范围内满足要求，则说明等效弹性自由度体系参数合适，否则，需要调整（Sai，Sdi），重复（2）、（3）步直至（Sai，Sdi）和（Sdeq Saeq）相同，此时该点即为结构抗震性能的特征反应点，可以分析对应于该点结构的损伤和破坏情况。

3 计算实例

3.1 结构描述

本文选用依照美国加利福尼亚规范为SAC工程设计的9层钢结构，该结构结构主要依靠周边的钢抗弯框架结构抵抗地震作用，所以本文只对承受主要地震作用的一榀钢抗弯框架进行分析。

本抗弯框架结构宽45.73m，高37.19m，共有5跨，每跨跨距為9.15m。该结构有一个地下室，高度为3.65m，地上首层高度为5.49m，其余为标准层，高度为3.96m。框架梁采用强度为248Mpa的宽翼缘钢，框架柱采用强度为345Mpa的宽翼缘钢，柱转换节点分别在第二、四、六、八层，高于梁柱节点1.83m处，柱底铰接于地面上，周边土层限制着结构。结构的地震质量由钢框架结构的构件，楼板，设备层等构成，结构第一层分担的地震质量为5.05×105 kg，第二到八层的质量为4.945×105 kg，第九层的质量为5.35×105 kg，地面以上结构的质量为4.5×106 kg.。

图7 9层钢抗弯框架结构图

Fig.7 Nine-story benchmark building moment-resistant frame

为分析此框架结构抗震性能，本结构按照GB50011-2010建筑抗震设计规范中规定的抗震设防标准进行设防，设防地震烈度为8度（0.2g），设计地震分组为第二组，II类场地，框架抗震等级为三级，场地地震周期在多遇地震下为0.4s，在罕遇地震下为0.45s，考虑几何非线性P-△效应影响。

本算例FEMA356报告中对钢梁钢柱塑性铰模型的定义，对梁单元，在梁的两端施加仅考虑弯矩屈服的塑性铰（M3），将塑性铰赋予梁的两端，对柱单元，考虑由轴力和双向弯矩相关作用产生的的塑性铰（PMM），将塑性铰赋予柱的两端。

图8 FEMA356报告中的塑性铰模型

Fig.8 The plastic hinges in FEMA356 report

2.2 有限元模型验证

利用有限元软件sap2000建立9层钢框架结构的模型，并对模型进行模态分析，采用集中质量法，将每层的质量施加到对应的每层梁柱接点上，并考虑梁柱质量折减后得到结果前三阶频率，与美国ASCE结构控制委员会用MATLAB仿真计算的结果进行比较，计算结果误差在5%以内，验证了模型的正确性。

2.3 pushover分析结果

对结构采用振型荷载，均布荷载，施加方式施加侧向力，得到相应的pushover曲线，并利用上文所述的性能点求解方法，确定出在结构在8度多遇地震以及8度罕遇地震下的性能点，并得出在性能点状态下各层层间相对位移曲线，以及层间位移角，与GB5002-2010建筑设计规范中规范条文进行比较。

对上述结构进行八度罕遇地震水准进行计算。

在罕遇地震时，结构阻尼比取为0.05.

3 结论

1）本结构能满足在8度多遇地震下弹性变形，8度罕遇地震下弹塑性变形。

2）作为一种重要的静力弹塑性分析方法，能力谱法能够有效评估结构在给定地震水准下的结构性能。